z=r  ( cosθ+isinθ ) のとき

z n = r n ( cosnθ+isinnθ )

ただしn は任意の整数（負の整数，0，正の整数）

【証明】
z=r  ( cosθ+isinθ )  ･･････(1)
z n = r n ( cosnθ+isinnθ )  ･･････(2)
とおく。
n＝1のとき，(2)は
z=r( cosθ+isinθ )
となり，(1)そのものであるので、n＝1のとき(2)は成り立つ。
n＝m (m：自然数) のとき(2)が成り立つとする。
次に，
z m ·z= r m ( cosmθ+isinmθ )r( cosθ+isinθ )
       = r m+1 { cosmθcosθ−sinmθsinθ+i  ( sinmθcosθ+cosmθsinθ ) }
       = r m+1 { cos( mθ+θ )+isin( mθ+θ ) }      （ ∵三角関数の加法定理より）
       = r m+1 { cos( m+1 )θ+isin( m+1 )θ }
となり，n＝mで(2)が成り立つと，n＝m+1も(2)がなりたつ。
よって，帰納法より自然数，言い換えると正の整数について(2)が成り立つ。
n＝0のときは(2)は左辺＝右辺＝0となり成り立つ。
n が負の整数場合は，(m：自然数とする)
z −m = 1 z m
= 1 r m ( cosmθ+isinmθ )

= r −m cosmθ−isinmθ cos 2 mθ+ sin 2 mθ

= r −m cos( −mθ )+sin( −mθ )      ( ∵cosmθ=cos( −mθ ),−sinmθ=sin( −mθ ) )
となり，n が負の整数でもなりたつ。

以上より(2)は全ての整数で成り立つ。

【関連ページ】
カテゴリー分類>>複素数

・ z n =α の解
・ x 3 =1 の解
・複素数の積