x 3 =1 の解は複素数を学習する上で非常に重要な式です。このページで詳しく解説します。

まず， x 3 =1 の解を求めてみます。 x 3 -1=0  の形にして因数分解します。
( x−1 )( x 2 +x+1 )=0   ･･････(1)
x−1 ， x 2 +x+1=0
x 2 +x+1=0  を解の公式を使って解くと，
x= −1± 1 2 −4·1·1 2 = −1± −3 2 = −1± 3 i 2 =− 1 2 ± 3 2 i  となり虚数解（ここを参照）となります。

すなわち， x 3 =1 の解は1， − 1 2 + 3 2 i ， − 1 2 - 3 2 i  となる。

理解をさらに深めるために求まった解を極形式に変えてみる(偏角 θの範囲を 0°<θ<360° とする)。

1=cos0°+sin0° 　

− 1 2 + 3 2 i=cos120°+isin120° 　

− 1 2 - 3 2 i=cos240°+isin240° 　

となり，複素数の絶対値が1で偏角が0°，120°，240°の120°間隔になっている特徴がある。

x 3 =1 の3つの解を複素平面上に表すと下図のようになる。

この特徴をさらに発展させてみる。

x=1 に − 1 2 + 3 2 i( =cos120°+isin120° ) を3回掛けると360°回転して元に戻る。式で表すと，

1·( − 1 2 + 3 2 i )( − 1 2 + 3 2 i )( − 1 2 + 3 2 i )= ( − 1 2 + 3 2 i ) 3
= ( cos120°+isin120° ) 3 ={ cos( 120°×3 )+isin( 120°×3 ) }=cos360°+isin360° =1 　

x=1 に − 1 2 - 3 2 i( =cos240°+isin240° ) を3回掛けると720°回転して元に戻る。式で表すと，

1·( − 1 2 - 3 2 i )( − 1 2 - 3 2 i )( − 1 2 - 3 2 i )= ( − 1 2 - 3 2 i ) 3
= ( cos240°+isin240° ) 3 ={ cos( 240°×3 )+isin(240°×3 ) }=cos720°+isin720° =1 　

このような特徴を一般化したものがド・モアブルの定理であり， z n =α の解である。

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