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■52825 / 親記事)  青空学園数学科
□投稿者/ あおぞら 一般人(1回)-(2025/04/25(Fri) 08:18:50)
    青空学園数学科って消滅したんですか?
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■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52823 / 親記事)  積分
□投稿者/ Zespri ルビーレッド 一般人(1回)-(2025/04/19(Sat) 10:49:50)
    これどうやるのでしょうか?


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■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52821 / 親記事)  一次変数の微分可能性について
□投稿者/ 黒猫 一般人(1回)-(2025/04/15(Tue) 03:00:10)
    ファイルの問題の大問4の(1),(2)が分かりません。
    どうやって一次変数の微分可能性を考えれば良いか分かりません。
    教えてくださると幸いです。

    (携帯)

1744653610.zip
/49KB
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52824 / ResNo.1)  Re[1]: 一次変数の微分可能性について
□投稿者/ muturajcp 一般人(18回)-(2025/04/19(Sat) 22:53:27)
    関数g:[a,y]→R をg(x)=f(x)-xh(y) と定義する
    g(x)の最小値g(c1),最大値g(c2)が存在する
    f'+(c2)-ε<h(y)<f'+(c1)+ε
1000×1000 => 250×250

m2025041503.jpg
/165KB
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■52818 / 親記事)  三角形の面積の大小
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2025/04/14(Mon) 23:58:51)
    43年前の学習院大学理学部の入試問題です。
    「△ABC,△A'B'C'を2つの鋭角三角形とする。このとき,

    AB<A’B', BC<B'C', CA<C'A' ならば △ABC<△A'B'C'

    であることを証明せよ。」

    の証明の過程として、c<c',a<a',b<b'とするとき,
        
           0<b^2+c^2-a^2<2bc かつ 0<b'^2+c'^2-a'^2<2b'c'

    △ABC=1/4・sqr{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2

    △A'B'C'=1/4・sqr{4b'^2c'^2-(b'^2+c'^2-a'^2)^2}

    とここまで求めたのですが,これから,△ABC<△A'B'C' であることをどう導いたらいいのか分かりません。ご教授お願いします。


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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52820 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形の面積の大小
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2025/04/15(Tue) 01:31:10)
    その式からは導けません。
    例えば a=b=c=9, a'=b'=10,c'=19 は
    a<a', b<b', c<c',
    0<b^2+c^2-a^2<2bc かつ 0<b'^2+c'^2-a'^2<2b'c'
    を満たしますが、△ABC>△A'B'C'です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52827 / ResNo.2)  Re[2]: 三角形の面積の大小
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2025/04/25(Fri) 19:17:11)
    らすかる様、ご指摘有り難うございます。
             
    2つの三角形がとも鋭角三角形であることから、0<b^2+c^2-a^2<2bc, 0<c^2+a^2-b^2<2ca, 0<c^2+b^2-c^2<2ac および,a',b',c'についても上と同様の等式 計6つの等式が成立し、これらと a<a',b<b', c<c'の条件から,2つの三角形の面積の大小を示したいのですが、出来ず悩んでいます。
    何か, アドバイス頂ければ幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52828 / ResNo.3)  Re[3]: 三角形の面積の大小
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2025/04/25(Fri) 19:19:50)
    文中, 不等式の間違いです。お許し下さい。
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■52802 / 親記事)  最大公約数
□投稿者/ すき家のねずみ 一般人(1回)-(2025/04/04(Fri) 18:08:03)
    mを2以上の自然数とするとき
    2^m-2, 3^m-3, 4^m-4, 5^m-5, 6^m-6, 7^m-7, …
    の最大公約数ってどう求めるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52805 / ResNo.1)  Re[1]: 最大公約数
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2025/04/05(Sat) 14:06:56)
    求め方はわかりませんが、
    2^m-2,3^m-3,4^m-4,…の最大公約数は
    「m-1がp-1で割り切れる」を満たす素数pの積
    となるようです。
    具体的には、m=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,…に対して
    最大公約数は2,6,2,30,2,42,2,30,2,66,2,2730,2,…のようになります。
    ↓参考
    oeis.org/A027760

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52822 / ResNo.2)  Re[2]: 最大公約数
□投稿者/ すき家のねずみ 一般人(2回)-(2025/04/19(Sat) 09:45:03)
    とても参考になりましたありがとうございます。
    偶数の場合ですら難しいですね。
解決済み!
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■52826 / ResNo.3)  Re[1]: 最大公約数
□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2025/04/25(Fri) 14:00:43)
    # 解決済みになってるけど、解けた気がするので投稿しちゃいます!

    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    {2^m-2, 3^m-3, 4^m-4, 5^m-5, 6^m-6, 7^m-7, …}の最大公約数をg(m)とします。
    nを2以上の自然数とすれば、n^m-nは偶数なので、mの値に関わらずg(m)は2を因数に持ちます。

    (1)mが偶数の場合
    q = g(m)/2とおくと、qは自然数です。
    g(m) = 2qは2^m-2 = 2(2^(m-1)-1)の約数なので、qは2^(m-1)-1の約数となります。
    2^(m-1)-1は奇数なので、qも奇数となります。

    qが素因数を持つと仮定し、その素因数のひとつをpとします。pは奇素数となります。
    2からp-1までの自然数の中には法pの原始根が存在するので、原始根のひとつをaとします。
    pはa^m-a = a(a^(m-1)-1)の約数となりますが、2 ≦ a ≦ p-1なので、pはa^(m-1)-1の約数となります。

    a^(m-1)-1 ≡ 0 (mod p) つまり、a^(m-1) ≡ 1 (mod p)ならば、
    フェルマーの小定理とaが法pの原始根であることから、m-1はp-1の倍数でなければなりません。

    m-1は奇数で、p-1は偶数なので、m-1はp-1の倍数にはなり得ません。
    よって、奇数qの素因数pが存在しないので、q = 1であり、g(m) = 2といえます。

    (2)mが奇数の場合
    g(m)が素因数pを持つと仮定します。(p = 2も含みます。)
    つまり、nを2以上の自然数とするとき、n^m-n = n(n^(m-1)-1)はpを約数に持つと仮定します。

    nとn^(m-1)-1は互いに素ですから、仮定の成立には以下の2通りの場合があります。
    (2A) n ≡ 0 (mod p)
    (2B) n^(m-1)-1 ≡ 0 (mod p)

    nが法pで0に合同である場合、これは(2A)の成立そのものです。
    nが法pで0に合同でない場合、nが法pの原始根である可能性もあることから、
    (2B)の成立はフェルマーの小定理より、m-1がp-1の倍数であることが必要となります。

    従って、nが法pで0に合同であるかないかに関わらず、m-1がp-1の倍数であれば、
    n^m-nはpを約数に持ち、pはg(m)の因数であるといえます。

    更に、p^m-p = p(p^(m-1)-1)がp^2で割り切れないため、p^2はg(m)の因数とはなり得ないといえます。
    以上から、g(m) = Π{m-1がp-1の倍数である素数p}となります。
    上記g(m)をmの式で表せるのかは分かりませんでした。
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