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レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

極限(3) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

確率(2) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

確率(0) |

■52423 / 親記事)

　極限の問題２

□投稿者/ むぎ一般人(2回)-(2023/12/30(Sat) 17:08:57)

この問題の解法を教えていただきたいです

1907×860 => 250×112

S__137854994_0.jpg/125KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52427 / ResNo.1)

　Re[1]: 極限の問題２

□投稿者/ WIZ 一般人(15回)-(2023/12/30(Sat) 17:33:48)

2023/12/30(Sat) 22:36:53 編集(投稿者)

πを以下の様な無限級数と考えます。
π = 3.1415・・・
= 3+1/10+4/(10^2)+1/(10^3)+5/(10^4)+・・・

ここでπを10進小数で表した時の各桁の数字を数列と見なし、
a[0] = 3, a[1] = 1, a[2] = 4, a[3] = 1, a[4] = 5, ・・・
とすれば、
π = Σ[k=0,∞]{a[k]/(10^k)} = Σ[k=0,∞]{a[k](10^(-k))}
と表せます。

lim[n→∞]{[(10^n)π]/(10^n)}
= lim[n→∞]{[(10^n)Σ[k=0,∞]{a[k](10^(-k))}]/(10^n)}
= lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}

ガウスの記号の中の小数部分、つまり正で1未満となる部分は無視できますから、
# 厳密には、lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}において、
# k > nの部分の和は、
# Σ[k=n+1,∞]{a[k](10^(n-k))} < Σ[k=1,∞]{9*(10^(-k))} = 9*(1/10)/(1-(1/10)) = 1
# なので、ガウスの記号内のΣ[k=n+1,∞]{a[k](10^(n-k))}の値は無視できるということです。

lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}
= lim[n→∞]{(Σ[k=0,n]{a[k](10^(n-k))})/(10^n)}
= lim[n→∞]{Σ[k=0,n]{a[k](10^(-k))}}
= π
となります。

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■52421 / 親記事)

　極限の問題

□投稿者/ むぎ一般人(1回)-(2023/12/30(Sat) 17:03:21)

写真の問題の解き方を教えていただきたいです。

1668×982 => 250×147

1703923401.jpg/158KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52425 / ResNo.1)

　Re[1]: 極限の問題

□投稿者/ むぎ一般人(6回)-(2023/12/30(Sat) 17:20:29)

こちらの問題は間違っていました失礼しました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52416 / 親記事)

　複素数

□投稿者/ はんなり一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)

α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52419 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)

2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

条件から
d[k]=|(1+α^k)/2|
∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
=(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
=(1/4){2+α^k+\(α^k)}
更にθ=2π/11と置くと
d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
={cos(kθ/2)}^2
ここでk=1,2,3,4,5より
kθ/2＜π/2
∴d[k]=cos(kθ/2)
となるので
e^(iθ/2)=β
と置くと
β^11=-1
d[k]=(β^k+1/β^k)/2
よって
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1～5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
=(1/2)Σ[k=1～5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
=(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
=(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
=(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
=(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
=1/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52434 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数

□投稿者/ はんなり一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)

ありがとうございました！

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52415 / 親記事)

　三角形

□投稿者/ バイアス一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:47:35)

△OABにおいて角Oの大きさをθラジアンとする。
2AB>(1-cosθ)(OA+OB)
が成り立つことを示せ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52420 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形

□投稿者/ X 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 07:59:07)

2023/12/30(Sat) 09:09:48 編集(投稿者)

2AB>(1-cosθ)(OA+OB)⇔2sinθ>(1-cosθ)(sinA+sinB) (∵)正弦定理
⇔2sin(A+B)>{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) (A)
∴(A)を証明します。

((A)の左辺)-((A)の右辺)=2sin(A+B)-{1+cos(A+B)}(sinA+sinB)
=2sin(A+B)-4sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}{cos{(A+B)/2}}^2
((∵)和積の公式と半角の公式)
=2sin(A+B)-2sin(A+B)cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}
=2sin(A+B){1-cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}} (B)
ここで
0＜A＜π,0＜B＜π,0＜θ＜π (P)
A+B+θ=π (Q)
∴
0＜A+B＜π
なので
sin(A+B)＞0 (C)
更に(P)(Q)より
0＜(A+B)/2＜π/2
-π/2＜(A-B)/2＜π/2
又、
(A+B)/2=(A-B)/2=0
とはなりえないので
cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}＜1 (D)
(C)(D)より
(B)＞0
よって(A)は成立します。

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■52414 / 親記事)

　確率

□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:17:22)

2個のサイコロX,Yをn回投げる。
k回目に出たX,Yの目をx[k],y[k]とする。
x[1]y[1]+x[2]y[2]+…+x[n]y[n]
が3の倍数になる確率を求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52417 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2023/12/28(Thu) 21:22:46)

2023/12/28(Thu) 22:48:19 編集(投稿者)

a[k] = Σ[j=1,k]{x[j]y[j]}とおきます。

k回目でa[k]の値が、3の倍数になる確率をp[k]、
3で割った余りが1になる確率をq[k]、
3で割った余りが2になる確率をr[k]とします。

k = 1のとき、(x[1], y[1])の組み合わせは全部で6*6 = 36通りです。

(1, 1)(1, 4)(2, 2)(2, 5)(4, 1)(4, 4)(5, 2)(5, 5)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 1 (mod 3)なので、q[1] = 8/36 = 2/9です。

(1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5, 4)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 2 (mod 3)なので、r[1] = 8/36 = 2/9です。

残りの20通りはx[1]またはy[1]が3の倍数なので、p[1] = 20/36 = 5/9です。

k > 1のとき、
a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 0 (mod 3)なので、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(1)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 1 (mod 3)なので、
q[k] = (2/9)p[k-1]+(5/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(2)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 2 (mod 3)なので、
r[k] = (2/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(5/9)r[k-1]・・・(3)
となります。

(2)-(3)より、
q[k]-r[k] = (3/9)q[k-1]-(3/9)r[k-1]
⇒ q[k]-r[k] = ((3/9)^(k-1))(q[1]-r[1]) = 0
⇒ q[k] = r[k]・・・(4)

(4)→(1)より、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(4/9)q[k-1]
⇒ q[k-1] = (9/4)p[k]-(5/4)p[k-1]・・・(5)

(4)(5)→(2)より、
(9/4)p[k+1]-(5/4)p[k] = (2/9)p[k-1]+(7/9)((9/4)p[k]-(5/4)p[k-1])
⇒ (9/4)p[k+1]-(12/4)p[k]-(3/4)p[k-1] = 0
⇒ 3p[k+1]-p[k] = 3p[k]-p[k-1]・・・(6)

(1)より、
p[2] = (5/9)p[1]+(2/9)q[1]+(2/9)r[1] = 11/27・・・(7)

(6)(7)より、
3p[k+1]-p[k] = 3p[2]-p[1] = 2/3
⇒ 3p[k+1]-1 = p[k]-1/3
⇒ p[k]-1/3 = ((1/3)^(k-1))(p[1]-1/3) = 2/(3^(k+1))
⇒ p[k] = 1/3+2/(3^(k+1))

上記はk = 1でも成り立ちます。

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■52436 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ Z 一般人(2回)-(2024/01/02(Tue) 15:24:17)

詳しくありがとうございます。

解決済み!

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