数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 13]

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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

極限(3) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

確率(2) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

確率(0) |

■52292 / 親記事)

　整数問題

□投稿者/ たま一般人(1回)-(2023/09/02(Sat) 16:06:12)

nは2以上の整数で1+2^n+4^nが素数であるとき、nの素因数を求めよ。

教えてください。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52293 / ResNo.1)

　Re[1]: 整数問題

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2023/09/03(Sun) 00:55:51)

n=2,3,4,5,6,7,…に対して
2^n≡4,1,2,4,1,2,… (mod 7)
4^n≡2,1,4,2,1,4,… (mod 7)
なのでn≡1,2 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡0 (mod 7)
n≡0 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡3 (mod 7)
またn=3のとき1+2^n+4^n=73で素数
従って1+2^n+4^nが素数のときnは素因数3を持つ。

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■52288 / 親記事)

　二次方程式の定数を求める

□投稿者/ aaa 一般人(1回)-(2023/09/02(Sat) 15:14:00)

2x^2+(m-4)x+2=0

の式において実数解を持つときの定数mの値の範囲を求めよ
という参考書の問題において私は式を

2x^2+Ax+2=0に変形し

(2x+1)(x+2),(2X+2)(x+1),(2x-1)(x-2),(2X-2)(x-1)の形に変形することで、

Aが5または-5であるということを突き止めました。
つまり、私はmの範囲は-1と9以外のすべての実数だと考えました。
しかし、回答は

m≤0,m≥8と、私の回答とは違っており
私のこの解方において、計算間違いをしている箇所を指摘してください。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52289 / ResNo.1)

　Re[1]: 二次方程式の定数を求める

□投稿者/ aaa 一般人(2回)-(2023/09/02(Sat) 15:15:19)

回答が文字化けしてしましました。
mの範囲は
0以下、８以上
になります

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■52290 / ResNo.2)

　Re[1]: 二次方程式の定数を求める

□投稿者/ X 一般人(6回)-(2023/09/02(Sat) 15:25:30)

＞＞mの範囲は-1と9以外のすべての実数
というのは
＞＞(2x+1)(x+2),～突き止め
たことからの予想であり、証明がありません。

つまり、計算間違い以前に値の範囲の計算をしていません。

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■52291 / ResNo.3)

　Re[2]: 二次方程式の定数を求める

□投稿者/ aaa 一般人(3回)-(2023/09/02(Sat) 15:44:53)

そういえばですが、私の予想通りの形にならない場合があるから
解の公式が存在しているという認識は合っていますか

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■52281 / 親記事)

　正十二面体

□投稿者/ 130 一般人(1回)-(2023/09/02(Sat) 05:37:51)

正十二面体のサイコロをn回ふるとき、出た目の積が4の倍数になる確率と、12の倍数になる確率を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52286 / ResNo.1)

　Re[1]: 正十二面体

□投稿者/ X 一般人(5回)-(2023/09/02(Sat) 08:31:58)

n回の試行で積が2,3,4の倍数である事象をそれぞれC,B,Aとし
例えばAの余事象を\A
Aの確率をP[A]
と書くことにします。

前半)
条件から
P[C∩\A]=n(3/12)(1/2)^(n-1)=(n/2)(1/2)^n　　(注：積が4の倍数でない偶数)
P[\C]=(1/2)^n
∴P[A]=1-P[\A]
=1-P[\A∩(C∪\C)]
=1-{P[(\A∩C)∪(\A∩\C)]}
=1-{P[\A∩C]+P[\A∩\C]}
=1-{P[\A∩C]+P[\C]}
=1-(1+n/2)(1/2)^n (A)

後半)
n回の試行で積が12の倍数となる事象は
B∩A
となることに注意して
P[B∩A]=1-P[\(B∩A)]
=1-P[\B∪\A]
=1-{P[\B]+P[\A]-P[\B∩\A]}
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[(\B∩\A)∩(C∪\C)]
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[(\B∩\A∩C)∪(\B∩\A∩\C)]
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[\B∩\A∩C]+P[\B∩\A∩\C]
=1-{P[\B]+P[\A]}+P[\B∩\A∩C]+P[\B∩\C] (B)

ここで(A)から
P[\A]=(1+n/2)(1/2)^n (C)
又
P[\B]=(1-1/3)^n=(2/3)^n (D)
P[\B∩\C]=(1/3)^n (E)　　(注：積が3の倍数でない奇数)
P[\B∩\A∩C]=n(1/6)(1/3)^(n-1)　　(注：積が3,4の倍数でない偶数)
=(n/2)(1/3)^n (F)
(B)に(C)(D)(E)(F)を代入して
P[B∩A]=1-(1+n/2)(1/2)^n-(2/3)^n+(1/3)^n+(n/2)(1/3)^n
=1-(1+n/2)(1/2)^n+(n/2+1-2^n)(1/3)^n

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■52287 / ResNo.2)

　Re[2]: 正十二面体

□投稿者/ 130 一般人(2回)-(2023/09/02(Sat) 09:45:27)

ありがとうございます！

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■52280 / 親記事)

　期待値

□投稿者/ ハリス一般人(1回)-(2023/09/01(Fri) 11:25:45)

2023/09/01(Fri) 17:25:13 編集(投稿者)

nを正の整数とします。
0以上n以下の整数を無作為に1つ選び記録するという試行を繰り返します。
第k回目の試行において記録された整数をa_kとします(k=1,2,3,...)。
a_1, a_2, a_3, a_4, ......, a_k, ...... について、
初めてa_{k-1}<a_kとなる番号kの期待値と、
そのときのa_kの期待値を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52294 / ResNo.1)

　Re[1]: 期待値

□投稿者/ at 一般人(1回)-(2023/09/03(Sun) 10:10:53)

a_{k-1}<a_k となるような最初のkをXとすると、Xの期待値E(X)は、
E(X)
=Σ[j=1～∞]j*P(X=j)
=Σ[j=1～∞]([h=1～j]1)*P(X=j)
=Σ[h=1～∞][j=h～∞]P(X=j)
=Σ[h=1～∞]P(X≧h)
=Σ[h=0～∞]P(X>h)
=Σ[h=0～∞]C[n+h,h]*(1/(n+1))^h
=((n+1)^n)*Σ[h=0～∞]C[n+h,n]*(1/(n+1))^(n+h)
=((n+1)^n)*((1/(n+1))^n)/(1-(1/(n+1)))^(n+1)
=((n+1)/n)^(n+1).

a_{k-1}<a_k となるような最初のa_kをYとすると、Yの期待値E(Y)は、
E(Y)
=Σ[j=1～n]j*P(Y=j)
=Σ[j=1～n]j*Σ[s=2～∞](C[n+s-1,s-1]-C[n-j+s-1,s-1])/(n+1)^s
=(((n+1)^n)/(n^(n+1)))*Σ[j=1～n]j*(1-(n/(n+1))^j)
=n+(n+1)*(1-(1/2)*((n+1)/n)^n).

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■52295 / ResNo.2)

　Re[2]: 期待値

□投稿者/ ハリス一般人(2回)-(2023/09/04(Mon) 20:21:42)

教えていただき、ありがとうございました。

解決済み!

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■52275 / 親記事)

　複素数と図形

□投稿者/ sato 一般人(1回)-(2023/08/24(Thu) 20:43:57)

異なる複素数α、β、γが2α^2+β^2+γ^2-2αβ-2αγ=0を満たすとき、
(1) (γ-α)/(β-α) の値を求めよ。
(2) 複素数平面上で、3点A(α)、B(β)、C(γ)を頂点とする△ABCはどのような三角形か。
(3)α、β、γがxの3次方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)の解であるとき、α、β、γおよびkの値を求めよ。

という問題です。

(3)が質問です。

解答の最初では以下のようになっています。

　①からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。
よって、方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。
　【①とは(1)の解答の中で、(γ-α)/(β-α)=±i とあります】

質問１
　「①からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。」

　これは、少なくとも1つが虚数でなければ、iが出てこないからという理解でよいでしょうか。

質問２
　　「方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。」

　この説明で、例えば、「1つが虚数解で、2つが実数解」ということはありえないのでしょうか。

以上2点よろしくお願いいたします。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52276 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数と図形

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2023/08/24(Thu) 22:05:51)

質問１はその考え方でOKです。
質問２に関して
実数係数三次方程式の解は
・実数解１つのみ
・実数解２つのみ
・実数解３つのみ
・実数解１つと虚数解２つ
の場合しかあり得ません。
なぜなら、実数係数n次方程式において
x=a+bi（b≠0）が解であるとき、x=a-biも必ず解になるからです。
これにより、虚数解は必ず偶数個となります。

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