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■50762 / 親記事) 　数的推理
□投稿者/ 教えて 一般人(1回)-(2021/05/01(Sat) 11:56:56)
    異なる自然数A，B，C，D（A＞B＞C＞D）があり，このうち2つの数の差をすべての組合せについて求めると，それらは互いに異なる。
    （A−D）の値が最も小さくなるとき，（A−B）の取りうる値のみをすべて挙げているものは次のうちどれか。
    １．1
    ２．2
    ３．1，2
    ４．1，3
    ５．1，2，4

    教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50763 / ResNo.1) 　Re[1]: 数的推理
□投稿者/ らすかる 一般人(42回)-(2021/05/01(Sat) 12:44:16)
    「2つの数の差」は全部で4C2=6通りありますので
    A-Dは少なくとも6以上です。
    もしA-D=6の場合が存在するならばA=7,D=1である解があります。
    すべての差が異なる数でなければなりませんので、BもCも4にはできません。
    BもCも4より小さいとするとB=3,C=2,D=1となり「すべての差が異なる」を
    満たしませんので不適です。BもCも4より大きいとしても同様です。
    よって7＞B＞4＞C＞1でなければなりません。
    B=6のとき、7-6=1,6-1=5から差「1」「5」が生じます。
    B=5のとき、7-5=2,5-1=4から差「2」「4」が生じます。
    C=3のとき、7-3=4,3-1=2から差「2」「4」が生じます。
    C=2のとき、7-2=5,2-1=1から差「1」「5」が生じます。
    よって(B,C)=(6,3)(5,2)のように組み合わせればB-C=3となり、
    すべての差が網羅されて条件を満たすことがわかります。
    従って条件を満たす組み合わせは
    (A,B,C,D)=(D+6,D+5,D+2,D),(D+6,D+4,D+1,D)
    の2通りですから、A-Bは1または2となり、3が答えとなります。

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■50766 / ResNo.2) 　Re[2]: 数的推理
□投稿者/ 教えて 一般人(2回)-(2021/05/01(Sat) 15:42:22)
    有り難うございました。
解決済み!
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■50754 / 親記事) 　三角形の辺の長さ
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(1回)-(2021/04/27(Tue) 08:42:39)
    三角形ABCの辺ABとACの長さは変えずに∠Aを大きくすると
    BCの長さも大きくなることを三角関数を使わずに初等的に
    示したいのですが、なにか良い案があれば教えて下さい。

    私が考えるとどうしてもcosが出てきてしまって歯がゆいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■50756 / ResNo.2) 　Re[2]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(2回)-(2021/04/27(Tue) 12:04:52)
    座標も使わずに、となるとむずかしいのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50757 / ResNo.3) 　Re[3]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ らすかる 一般人(40回)-(2021/04/27(Tue) 14:50:59)
    「初等的に」ではなく「初等幾何的に」という希望でしょうか。
    それならば、例えば
    AB≧ACである△ABCがあり、AC'=AC,∠C'AB＞∠CABであるC'があるとする。
    ただし、C'は直線ABに関してCと同じ側にある。
    Aを中心としてCを通る円を描き、ABとの交点をP、BAの延長との交点をQとする。
    PQは円の直径で、C'は弧CQ上（端点を含まない）にある。
    このとき∠PCQ=90°なので∠BCC'＞90°となる。よってBC'＞BCなので
    ∠CABが大きいほうがBCが長い。

    # 「鈍角三角形の最長辺は鈍角に対する辺」を使いましたが、
    # これも未証明とするならば別に証明する必要があります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50758 / ResNo.4) 　Re[4]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(3回)-(2021/04/27(Tue) 18:49:51)
    こういうのを求めておりました！
    ありがとう御座います。

    ちなみに「鈍角三角形の最長辺は鈍角に対する辺」は
    (180度-∠CC'B)/2<∠BCC'
    (180度-∠CBC')/2<∠BCC'
    を示してBC=BC"、C'C=C'C'''となるC"、C'''を辺BC'にとれる、
    でいいのでしょうか？他により適当な方法があれば教えて下さい。
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■50759 / ResNo.5) 　Re[5]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ らすかる 一般人(41回)-(2021/04/27(Tue) 23:48:58)
    その方法で十分だと思います。
    というより、そういう基本的な事項の証明には後に出てくる定理は
    使えない（循環論法になる可能性があるから）かも知れませんので、
    そのような基本的な事柄しか使わない証明がベストだと思います。

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■50760 / ResNo.6) 　Re[6]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(4回)-(2021/04/28(Wed) 07:05:07)
    ありがとうございました！！
解決済み!
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■50751 / 親記事) 　単位円と三角形
□投稿者/ 複素数 一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 16:26:43)
    絶対値が1の相異なる3つの複素数α,β,γが複素数平面上で表す点をそれぞれA,B,Cとします。
    点Aから直線BCにおろした垂線の足に対応する複素数をα,β,γで表すにはどうすればいいのでしょうか？
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50752 / ResNo.1) 　Re[1]: 単位円と三角形
□投稿者/ 極限 一般人(9回)-(2021/04/24(Sat) 03:32:10)
    複素数は積・商を忘れてやれば、「2次元の実ベクトル」と見ることもできます。

    ベクトルを勉強したときに習ったとおり、直線BC上の点は
    tβ + (1-t)γ (ただしtは実数)
    とかけます。（ちなみに積を忘れると書いたのは「一般の複素数同士の積」の話で、「実数倍（スカラー倍、実数と複素数の積）」まで忘れると2次元実ベクトルですらなくなります）


    この問題では「垂直（垂線）」が登場するので、ベクトルの内積を考えたくなります。
    準備として複素数xと複素数yの（実2次元ベクトルしての）内積がどうなるかを確認しましょう。

    複素数xを実2次元ベクトルと思うとは、「複素数xを実2次元ベクトル(Re(x), Im(x))と思う」と言い換えることもできます。よってベクトルで習った内積の定義をそのまま適用すれば
    x * y = Re(x)Re(y) + Im(x)Im(y)
    です。ここで「*」は（複素数の積ではなく）内積を表す記号として使っています。

    このままでも別にいいのですが、最終形にReやImのような記号が乱発されるよりは、複素共役の記号で書き直すほうがスッキリすると個人的には感じます。上付きバーが書けないのでここでは複素数xの複素共役をBar(x)とかくことにします。つまり
    Bar(x) = Re(x) - iIm(x)
    Bar(y) = Re(y) - iIm(y)
    です。よって内積は
    x * y = (xBar(y) + Bar(x)y) / 2
    と書き直されます。

    ここまで準備すれば、（計算量はともかく）垂線の足を求めるは簡単です。
    先に書いたとおり垂線の足をhとすると、これは直線BC上にあるので
    h = tβ + (1-t)γ (tは実数)
    という形でかけます。tは内積条件
    (α - h) * (β - γ) = 0
    から決まるという具合です。


    先に準備した複素共役系の内積式を使って計算をすすめていきましょう。
    (α - h) * (β - γ) = 0
    (α - tβ - (1-t)γ) * (β - γ) = 0
    (α - tβ - (1-t)γ)Bar(β - γ) + Bar(α - tβ - (1-t)γ)(β - γ) = 0 (分母の2は払っています)
    (α - γ)Bar(β - γ) + Bar(α - γ)(β - γ) = 2t(β - γ)Bar(β- γ) (tを含む項を右辺に。)

    これでtは求まったので、hをα,β,γ（とその共役）の形でかけます。思ったより項の数が増えそうなのでここまでにします。
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■50744 / 親記事) 　1/xについて
□投稿者/ e^x氏 一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 12:45:20)
    2021/04/23(Fri) 16:20:03 編集(投稿者)

    0<x<1のとき1/xをlogxでべき級数に展開するにはどうすればよいのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50748 / ResNo.1) 　Re[1]: 1/xについて
□投稿者/ 極限 一般人(8回)-(2021/04/23(Fri) 14:14:43)
    y = log(x)とおくと、1/x = exp(-y)ですね。

    すると「1/xをlog(x)でべき級数に展開する」は「exp(-y)をyでべき級数に展開する」と言い換えられるので、よく知られている通り

    exp(-y) = Σ[n=0→∞] {(-y)^n}/(n!)

    です。xを陽に含む形でかけば

    1/x = Σ[n=0→∞] {(-log(x))^n}/(n!)
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■50750 / ResNo.2) 　Re[2]: 1/xについて
□投稿者/ e^x氏 一般人(2回)-(2021/04/23(Fri) 15:48:20)
    なるほどです。
    ありがとうございました。

解決済み!
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■50737 / 親記事) 　命題の真偽
□投稿者/ デヴス 一般人(1回)-(2021/04/22(Thu) 14:31:57)
    実数aに関する以下のような命題は、
    真偽はどう考えればよいのでしょうか？
    1. a≧0ならばa^0=1である。
    2. a≧0ならば1/a＞0である。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス8件(ResNo.4-8 表示)]
■50742 / ResNo.4) 　Re[3]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(5回)-(2021/04/23(Fri) 02:59:26)
    人によって意見が分かれると思います。

    僕は質問者さんと同じ立場です。

    たとえば「a≧0ならば、aはどらえもんではない」（もしくは「a≧0ならば、aはどらえもんである」でもいいですが）に対して、
    * どらえもんは（一般数学用語としては）定義されていないからナンセンス（命題ではない）
    * 「どらえもんが定義されていない」という事実と「仮定は数学的に定義されている」という事実から命題と考えられ、かつ偽
    のどちらのスタンスに立つか、と言い換えられると思います。

    そして僕はこう言いかえるとナンセンスさがさらに際立つと思うので先に書いたように質問者さんと同じ立場です。
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■50743 / ResNo.5) 　Re[1]: 命題の真偽
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 08:55:08)
    こういう条件文のときは、まず、変数（この場合はa)がとりうる全体集合が何かを決めておく必要があります。
    もし、実数全体であれば、0^0=1　は偽（こう定義しているなら真かもしれませんが）ですし、1/0 は少なくとも数ではないので 1/0>0 は偽です。
    高校数学では、定義できない場合は最初から全体集合に含めないとする場合も多いので、最初からaの取りうる値は0以外の実数、とするのであれば、真となります。

    気になるのであれば、
    「ab>0　かつ a+b>0」 ならば「 a>0 かつ b>0」である　
    を考えてみてください。a,b が実数（有理数でも整数でもいいですが）であれば真ですが、複素数だと偽、というのはいいのでしょうか？（a=1+i, b=1-iなど）
    これもおかしいと思うのであれば、最初からきちんと全体集合は何か、確認するようにしましょう。
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■50745 / ResNo.6) 　Re[2]: 命題の真偽
□投稿者/ sage 一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 12:54:32)
    えっ、複素数で考えても例えば
    「a>0かつb>0」ならば「ab>0」
    のような命題なら真では？
    そして今回の2.の対偶
    「1/a≦0ならばa<0である」
    は上記と同様のケースとなり、 真 でしょう。
    対偶が真なので「a≧0ならば1/a>0である」も真かと。
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■50746 / ResNo.7) 　Re[3]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 13:59:14)
    sagaさん、

    黄桃さんが言っているのは
    > 「ab>0　かつ a+b>0」 ならば「 a>0 かつ b>0」である
    であり、これはa,bが実数の範囲なのか、複素数の範囲なのかで真偽が変わる命題ですよ。

    こういう例があるので本来使う文字の定義（数としての範囲）は先にきちんと定めておく必要があるという話でしょう。


    また対偶を取ったところで、aの範囲をはっきりさせない以上「1/aという表記自体意味をもたず、命題としてナンセンス」という解釈もありえるので本質は何も変わっていないです。


    さらに、2. の対偶を考えるさいに 1/a>0の否定を「1/a≦0」だと考えられているようですがこれは本当に正しいでしょうか？
    「1/a≦0 もしくは 1/a は定義されない」という可能性（解釈）はありえないですか？
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■50747 / ResNo.8) 　Re[4]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(7回)-(2021/04/23(Fri) 14:07:13)
    1/a>0の否定に関する補足です。

    1/a>0とは「1/aが数として定義され、かつ0と大小関係をもち、その結果が1/a>0」ということです。
    よってこの否定は「1/aが数として定義されない、もしくは定義されるが0と大小関係は持たない、もしくは定義されて0との大小関係を持ちその結果が1/a≦0」とするのが正しいと思います。

    もちろんaが非零実数であることが前提としてあるのなら「1/a>0」の否定は「1/a≦0」と簡潔に書くことはできます。
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