数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 62]

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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

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確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

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中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

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kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

■50719 / 親記事)

　期待値

□投稿者/ ゴリラ一般人(1回)-(2021/04/20(Tue) 14:32:17)

点Pは時刻0で正四面体のある頂点に位置し、1秒ごとに位置している頂点にとどまるか、
位置している頂点から他の3頂点のいずれかに動くかを、等しい確率で選択し実行する。
このとき、時刻0から時刻nまでの間に、点Pが現れた異なる頂点の数の期待値を求めよ。
ただしnは1以上の整数とする。

この問題なのですが、期待値E[n]の漸化式を立てて解くことは出来ますか？
E[n+1]をE[n]で表したいです。n+1秒を考えるときPの最初の動きで場合分けして
時刻1にPが位置している頂点にとどまればその後はE[n]/4ですよね。
時刻1にPが確率3/4で他の頂点にうつったときをE[n]で表せますか？

よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス13件(ResNo.9-13 表示)]

■50728 / ResNo.9)

　Re[9]: 期待値

□投稿者/ らすかる一般人(37回)-(2021/04/21(Wed) 00:26:58)

そうですね。
どちらかというと、「私には難しい」と考えているのではなく、
「この手のものは今までの経験から考えて「不可能」である可能性が高い」
（つまりどんな数学者が考えてもできないと思われる）と考えています。
・bはE[n]と直接関係ありそうな値ではない
・E[n]とE[n-1]からも導ける気がしない
・E[1]～E[n]を全部使えば導ける可能性はあるが、
その式を作るのも困難な上に、作った漸化式も解ける気がしない
・よって、普通に考えて無理。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50729 / ResNo.10)

　Re[10]: 期待値

□投稿者/ ゴリラ一般人(7回)-(2021/04/21(Wed) 00:35:13)

分かりました。有難うございます。

他の解法に興味が移ってきました。
こちらについても教えてください。

時刻nまでにk(k=1,2,3,4)個の頂点に位置した確率をそれぞれp_1,p_2,p_3,p_4とします。
求めたい期待値は
p_1+2*p_2+3*p_3+4*p_4
=
p_1 +
p_2 + p_2 +
p_3 + p_3 + p_3 + 
p_4 + p_4 + p_4 + p_4

なので、4=4*(p_1+p_2+p_3+p_4)から

      p_1 + p_1 + p_1
          + p_2 + p_2
                + p_3

を引けばいいわけですよね？
これって簡単に計算できますか？

横ではなく縦に足すと
p_1 + p_2 + p_3 = 3頂点 "以下" に位置した確率
p_1 + p_2       = 2頂点 "以下" に位置した確率
などとなって、うまく計算できるような気もするのですが…わかりませんでした。
最終的な答えとすり合わせると、この値が大変簡明な姿になることは分かっているのですが、
どうすればそうなるのか思いつかなくてもやもやです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50730 / ResNo.11)

　Re[11]: 期待値

□投稿者/ らすかる一般人(38回)-(2021/04/21(Wed) 02:41:40)

時刻nまでに1頂点(以下)に位置した確率は、
時刻nまで動かない確率なので(1/4)^nです。
時刻nまでに2頂点以下に位置した確率は、
正四面体OABC（時刻0でPがいる頂点がO）において
AにもBにも行かない確率は(1/2)^n
BにもCにも行かない確率は(1/2)^n
CにもAにも行かない確率は(1/2)^n
この3つを足すと「Oから移動しない確率」が3回足されて
重複してしまいますので、その分を引けば
2頂点以下に位置した確率は3・(1/2)^n-2・(1/4)^n
と計算されます。
時刻nまでに3頂点以下に位置した確率は、
Aに行かない確率は(3/4)^n
Bに行かない確率は(3/4)^n
Cに行かない確率は(3/4)^n
これを足すと「2頂点以下」3通りがそれぞれ2重複しますのでそれを引いて
引きすぎた1頂点の確率を足すことにより
3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n
と計算されます。
よって「1頂点」+「2頂点以下」+「3頂点以下」
={(1/4)^n}+{3・(1/2)^n-2・(1/4)^n}+{3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n}
=3・(3/4)^n
となります。

しかし上記の計算は重複分の考慮がやや難しい（混乱しやすい）ので、
以下のように（"以下"にせずに）具体的に考えた方が確実のような気がします。
時刻nまでに
Oのみ (1/4)^n
OとA (1/2)^n-(1/4)^n
OとB、OとCも同じ
OとAとB (3/4)^n-2{(1/2)^n-(1/4)^n}-(1/4)^n=(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n
OとBとC、OとCとAも同じ
よって期待値は
4-3・(1/4)^n-2・3{(1/2)^n-(1/4)^n}-1・3{(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n}
=4-3(3/4)^n

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50731 / ResNo.12)

　Re[12]: 期待値

□投稿者/ name 一般人(1回)-(2021/04/21(Wed) 14:13:59)

$2$x^2$
あ

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50736 / ResNo.13)

　Re[12]: 期待値

□投稿者/ ゴリラ一般人(8回)-(2021/04/21(Wed) 20:19:11)

3^(n+1)/4^nがすっきりしているので期待してしまいました。
ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50732 / 親記事)

　因数分解

□投稿者/ megumi 一般人(3回)-(2021/04/21(Wed) 16:53:58)

行列式
(L-3　-2　　1)
(-2　 L-3　 1)
(-2　　1　 L-3)
を1行で展開すると

(L-3)( (L-3)^2 - 1 ) + 2(-2(L-3)) + 2) + (-2 + 2(L-3) )
= (L-3)(L-3)^2 - (L-3) - 4(L-3) + 4 - 2 + 2(L-3)
= (L-3)( L^2-6L+9 - 1 - 4 + 2 ) + 2
= (L-3)( L^2-6L+6 ) + 2
= L^3-6L^2+6L - 3L^2+18L-18 + 2
= L^3-9L^2+24L-16
　これを因数分解する。
　　　　L^2-8L+16
　　　　─────────
　(L-1)| L^3-9L^2+24L-16
　　　　 L^3-L^2
　　　　 ----------------
　　　　　　-8L^2+24L-16
　　　　　　-8L^2+8L
　　　　 ----------------
　　　　　　　　　16L-16
L^3-9L^2+24L-16 = (L-1)(L^2-8L+16) = (L-1)(L-4)^2

因数分解でもっと気の利いた解き方はありませんか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50734 / ResNo.1)

　Re[1]: 因数分解

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2021/04/21(Wed) 18:52:36)

2021/04/21(Wed) 19:06:16 編集(投稿者)

以下の操作を行列式に行います。
(1)
1行目から2行目を引く
(2)
1行目からL-1を行列式の外に括り出す。
(3)
2行目から3行目を引く。
(4)
2行目からL-4を行列式の外に括り出す。
(5)
1行目を2行目、3行目に足す。
(6)
2列目で余因子展開する。

注)
飽くまで1例です。
コツは行、列の足し引きによって
(i)変数部をできるだけ括り出す。
(ii)0を2行、又は2列並ぶようにする
です。
詳しくは線形代数学の参考書で
行列式の例題の模範解答をどうぞ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50735 / ResNo.2)

　Re[2]: 因数分解

□投稿者/ megumi 一般人(4回)-(2021/04/21(Wed) 20:06:40)

ああ、行列のほうを操作するのですね。ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50714 / 親記事)

　√の問題

□投稿者/ 許して一般人(1回)-(2021/04/19(Mon) 07:33:31)

2021/04/19(Mon) 08:46:37 編集(投稿者)

(1) a>0, b>0 のとき √a+2√b>√(a+4b) を示せ。
(2) √14-√10>√15-√11 を示せ。

という問題なのですが、(2)は(1)を使うとうまく解けたりするのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50715 / ResNo.1)

　Re[1]: √の問題

□投稿者/ らすかる一般人(33回)-(2021/04/19(Mon) 14:17:40)

(2)には(1)が使えない気がします。

(1)
√a+2√b=√{(√a+2√b)^2}
=√{a+4b+4√(ab)}＞√(a+4b)

(2)
(√14+√11)^2=25+2√154＞25+2√150=(√15+√10)^2から
√14+√11＞√15+√10なので
√14-√10＞√15-√11

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50717 / ResNo.2)

　Re[2]: √の問題

□投稿者/ 許して一般人(2回)-(2021/04/19(Mon) 21:33:32)

ありがとうこざいます

解決済み!

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■50707 / 親記事)

　極形式

□投稿者/ 出川マリエ一般人(1回)-(2021/04/17(Sat) 08:00:02)

θ, φ, ｒ, α は実数で、
０≦θ≦π
０≦φ≦π
ｒ＞０
ｒ(cosα＋ｉsinα)＝２cosθ＋２ｉsinθ＋cos(θ-φ)＋ｉsin(θ-φ)
を満たしている。
cosθ をｒと α であらわせ。

教えて下さい。
よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■50709 / ResNo.2)

　Re[2]: 極形式

□投稿者/ 出川マリエ一般人(2回)-(2021/04/17(Sat) 13:44:41)

有難うございます。
±はどちらもありますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50710 / ResNo.3)

　Re[3]: 極形式

□投稿者/ らすかる一般人(31回)-(2021/04/17(Sat) 14:08:28)

もしどちらかしかない場合は排除しなければなりませんので
検討しましたが、どちらもありました。
（ただし、値によっては一方が不適解の場合もあります）
例えばα=π/4, r={√2+√6-2√(√3-1)}/2のときθ=π/6,π/3となりますが、
図を描いてみればどちらも適解であることがわかります。
r(cosα+isinα)が(1+√3-√(2√3-2))(1+i)/2≒0.761+0.761iで
θ=π/6のとき2cosθ+2isinθ=√3+i≒1.732+i、
θ=π/3のとき2cosθ+2isinθ=1+(√3)i≒1+1.732iとなり、
いずれもr(cosα+isinα)≒0.761+0.761iまでの距離が1ですので
条件を満たすφが存在します。

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■50711 / ResNo.4)

　Re[4]: 極形式

□投稿者/ 出川マリエ一般人(3回)-(2021/04/17(Sat) 15:49:36)

θ＝π/6 のとき
0.761＋0.761ｉ＝1.732＋ｉ＋cos(π/6-φ)＋ｉsin(π/6-φ)
すなわち
－0.971－0.239ｉ＝cos(π/6-φ)＋ｉsin(π/6-φ)
これをみたす０≦φ≦πは存在しますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50712 / ResNo.5)

　Re[5]: 極形式

□投稿者/ らすかる一般人(32回)-(2021/04/17(Sat) 17:19:20)

ごめんなさい、勘違いしていました。
条件は0≦φ≦πなのに勘違いして
0≦θ-φ≦πで考えてしまっていました。
0≦φ≦πならば解は一つしかないですね。
θは大きい方だけ適解なのでcosθは小さい方が適解となり、
cosθ={(r^2+3)cosα-|sinα|√{16r^2-(r^2+3)^2}}/(4r)
が解になると思います。

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■50713 / ResNo.6)

　Re[6]: 極形式

□投稿者/ 出川マリエ一般人(4回)-(2021/04/17(Sat) 18:33:54)

とんでもないです。
とても参考になりました。
有難うございました。

解決済み!

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■50704 / 親記事)

　tanと自然数

□投稿者/ こうさく一般人(1回)-(2021/04/16(Fri) 01:25:26)

自然数m,nは、
tanα=1/m,tanβ=1/n
を満たす角度α,βをとると
tan(α+β)が整数になるという。
m,nを求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50705 / ResNo.1)

　Re[1]: tanと自然数

□投稿者/ らすかる一般人(29回)-(2021/04/16(Fri) 06:46:37)

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(1/m+1/n)/{1-(1/m)(1/n)}
=(m+n)/(mn-1)
少なくとも(分母)≦(分子)でなければならないので
mn-1≦m+n
mn-m-n-1≦0
mn-m-n+1≦2
(m-1)(n-1)≦2
m=1のときtan(α+β)=(n+1)/(n-1)=1+2/(n-1)となるのでn=2,3
n=1のときも同様にm=2,3
m＞1かつn＞1のとき、(m-1)(n-1)≦2を満たす自然数(m,n)の組は
(2,2),(2,3),(3,2)だが、このうち(2,2)は(m+n)/(mn-1)が整数とならず不適。
他はすべて条件を満たすので、求める答えは
(m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

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■50706 / ResNo.2)

　Re[2]: tanと自然数

□投稿者/ こうさく一般人(2回)-(2021/04/16(Fri) 08:38:01)

ありがとうございます！！

解決済み!

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