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■52356 / 親記事)

　(x+1)^n-x^n

□投稿者/ plan:D 一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 20:20:47)

nは3以上の奇数で、pはnを割り切る素数のうち最小のものとする。
このとき、任意の整数xに対して(x+1)^n-x^nはpで割り切れない、
というのは正しいでしょうか？
反例か証明を教えてほしいです。よろしくお願いします。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52366 / ResNo.1)

　Re[1]: (x+1)^n-x^n

□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2023/10/14(Sat) 22:36:21)

# 証明できたような気がしますが、あまり自信がないので識者の方のツッコミをお願いします。

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
素数pは正の整数とします。

x ≡ 0 (mod p)または、x+1 ≡ 0 (mod p)つまりx ≡ -1 (mod p)の場合、
(x+1)^n-x^nがpで割り切れないことは容易に分かるので、
以下でxは法pで0にも-1にも合同でない整数とします。

xの法pで(剰余体Z/pZで)の逆元をyとします。つまりxy ≡ 1 (mod p)です。
xは法pで0に合同ではないので、このようなyは必ず存在し、剰余類としては唯一に定まります。
また、yも法pで0に合同ではありません。
更に、xは法pで-1に合同ではないのと、-1の逆元は-1であることから、yは-1に合同ではありません。
# 合同でない2つの剰余類の逆元同志も合同にはならない為。

(x+1)^n-x^n = rとおくと、
⇒ (y(x+1))^n-(yx)^n ≡ (y^n)r (mod p)
⇒ (1+y)^n-1 ≡ (y^n)r (mod p)
つまり、r ≡ 0 (mod p)であることと、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは同値です。

yは法pで0にも-1にも合同ではないので、1+yは法pで1にも0にも合同ではありません。
よって、1 < m ≦ p-1である自然数mが存在して、(1+y)^m ≡ 1 (mod p)となります。
尚、mは(1+y)^m ≡ 1 (mod p)を満たす最小の自然数とします。
# 上記はフェルマーの小定理の応用で、mはp-1の約数となります。

(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であるためにはnがmの倍数であることが必要です。
しかし、nの最小因数がpであり、1 < m < pであるため、nはmで割り切れません。

以上から、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは不可能であり、
(x+1)^n-x^n = r ≡ 0 (mod p)であることも不可能と言えます。

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■52355 / 親記事)

　定積分

□投稿者/ cysteine 一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 19:36:08)

∫[0→π] (√sinθ) sin(θ/2) dθ
の求め方をご教示下さい

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52365 / ResNo.1)

　Re[1]: 定積分

□投稿者/ X 一般人(10回)-(2023/10/13(Fri) 19:15:19)

ガリガリ解くと以下の通りです。
(お勧めはできませんが。)

tan(θ/2)=t
と置くと、
θ:0→π
に
t:0→∞
が対応し、
sinθ=2t/(1+t^2)
sin(θ/2)=t/√(1+t^2)
dθ=2dt/(1+t^2)
∴(与式)=2√2∫[t:0→∞]{(t√t)/(1+t^2)^2}dt
更に
√t=u
と置くと
t=u^2
dt=2udu
で
(与式)=4√2∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
=4√2{∫[u:0→∞]du/(1+u^4)-∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2} (A)
ここで
I=∫[u:0→∞]du/(1+u^4) (B)
とすると
I=[u/(1+u^4)][u:0→∞]+4∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
=4I-4∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2
∴∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2=(3/4)I
となるので(A)(B)から
(与式)=(√2)∫[u:0→∞]du/(1+u^4)

さて、
1+u^4=(1+u^2)^2-2u^2
=(u^2+u√2+1)(u^2-u√2+1)
に注意すると
1/(1+u^4)=(au+b)/(u^2+u√2+1)+(cu+d)/(u^2-u√2+1) (C)
(a,b,c,dは定数)
の形に部分分数分解でき、(C)の右辺を通分すると
((C)の右辺を通分したときの分子)=(u^2-u√2+1)(au+b)+(u^2+u√2+1)(cu+d)
=(a+c)u^3+(b+d-a√2+c√2)u^2+(a+c-b√2+d√2)u+b+d
∴(C)の両辺の係数比較により
a+c=0 (D)
b+d-a√2+c√2=0 (E)
a+c-b√2+d√2=0 (F)
b+d=1 (G)
(D)(E)(F)(G)を連立で解いて
(a,b,c,d)=(1/(2√2),1/2,-1/(2√2),1/2)

∴1/(1+u^4)=(u/√2+1)/{2(u^2+u√2+1)}+(-u/√2+1)/{2(u^2-u√2+1)}
となるので
(与式)=(1/2)∫[u:0→∞]{(u+√2)/(u^2+u√2+1)-(u-√2)/(u^2-u√2+1)}du
=(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+2√2)/(u^2+u√2+1)-(2u-2√2)/(u^2-u√2+1)}du
=(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+√2)/(u^2+u√2+1)+(√2)/{(u+1/√2)^2+1/2}
-(2u-√2)/(u^2-u√2+1)+(√2)/{(u-1/√2)^2+1/2}}du
=(1/4)[log{(u^2+u√2+1)/(u^2-u√2+1)}+2arctan(u√2+1)+2arctan(u√2-1)][u:0→∞]
=(1/4)・2π
=π/2

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■52357 / 親記事)

　複素数平面

□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2023/10/12(Thu) 13:05:25)

すみません。問題と質問内容はファイルにしました。よろしくお願いいたします。

745×1053 => 177×250

1697083525.jpg/116KB

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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■52359 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数平面

□投稿者/ waka 一般人(2回)-(2023/10/12(Thu) 18:31:48)

ありがとうございます。確かに教科書にそう書いてありました。
この方法でやることはこの問題では無理なのでしょうか？
もし添付ファイルの解き方で解けるのであれば教えていただきたいです。
どうしてもこの形だと両辺を2乗したくなります。
よろしくお願いいたします。

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■52360 / ResNo.3)

　Re[3]: 複素数平面

□投稿者/ らすかる一般人(23回)-(2023/10/13(Fri) 00:14:27)

普通にzに関する二次方程式
(√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
を解の公式で解けばよいと思います。

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■52361 / ResNo.4)

　Re[4]: 複素数平面

□投稿者/ waka 一般人(3回)-(2023/10/13(Fri) 08:54:33)

ありがとうございました。解けました。
念のため確認なのですが、解の公式で係数が虚数のときでも、zに関する2次方程式の時には解の公式が使えるという認識でよろしいでしょうか。係数が虚数の時は使えないという問題があったと思うのですが。

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■52362 / ResNo.5)

　Re[5]: 複素数平面

□投稿者/ らすかる一般人(24回)-(2023/10/13(Fri) 09:04:47)

解の公式は
ax^2+bx+c=0
a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)+c=0
a(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a)
(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
x+b/(2a)=±√(b^2-4ac)/(2a)
x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
というただの式変形ですから、虚数でも問題なく使えます。
√の中身が虚数になる場合は展開する必要がありますが、
今回の問題では（負の）実数ですのでそのような問題もありません。

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■52363 / ResNo.6)

　Re[3]: 複素数平面

□投稿者/ パン一般人(1回)-(2023/10/13(Fri) 09:45:32)

(√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
(√3+i)z^2-(√3+i)(√3-i)z+(√3+i)(√3-i)^2=0
z^2-(√3-i)z+(√3-i)^2=0
z^2+(i-√3)z+(i-√3)^2=0
z^3-(i-√3)^3=0
z^3=(i-√3)^3
z=(i-√3)ωと(i-√3)ω^2

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■52352 / 親記事)

　円に内接する四角形

□投稿者/ 平松一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 14:39:51)

円に面積が4の四角形が内接しており、その四角形のどこか隣り合う二辺はどちらも長さが1である。
このような状況において考えうる円の直径の最小の値はいくらになるのか教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52353 / ResNo.1)

　Re[1]: 円に内接する四角形

□投稿者/ らすかる一般人(21回)-(2023/10/10(Tue) 15:25:14)

AB=BC=1,AC=2aとすると△ABCの外接円の半径は1/{2√(1-a^2)}となり
円に内接する四角形の面積Sの範囲は
a√(1-a^2)＜S≦a/√(1-a^2)
a/√(1-a^2)=4を解くとa^2=16/17なので
円の直径の最小値は1/√(1-a^2)にこの値を代入して√17

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■52354 / ResNo.2)

　Re[2]: 円に内接する四角形

□投稿者/ 平松一般人(2回)-(2023/10/10(Tue) 17:49:16)

なるほど…たしかにおっしゃる通りですね。
全然気づきませんでしたが、こう考えれば簡単ですね。
ありがとうございました。

解決済み!

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■52341 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ ガウ一般人(1回)-(2023/10/02(Mon) 13:53:04)

1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4>0
教えてください

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52342 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(18回)-(2023/10/02(Mon) 14:06:09)

ただ不等式が書かれただけでは何をすればよいのかわかりませんが、
何を教えてほしいのですか？

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■52343 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ ガウ一般人(2回)-(2023/10/02(Mon) 19:57:07)

多項式f[1](x,y),f[2](x,y),f[3](x,y),f[4](x,y),f[5](x,y),f[6](x,y)で
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4=(f[1](x,y)/f[2](x,y))^2+(f[3](x,y)/f[4](x,y))^2+(f[5](x,y)/f[6](x,y))^2
が常に成り立つものを見つけることによって任意の実数x,yに対して
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4>0
が成り立つことを証明する方法を教えてください

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■52345 / ResNo.3)

　Re[3]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(20回)-(2023/10/03(Tue) 18:42:21)

x=±1,y=±1のとき(左辺)=0となって成り立たず証明できませんが、
もし問題が
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4＞0
でなく
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4≧0
ならば
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4
={(x^2+y^2+1)(x^2y^2-1)^2+x^2y^2(x^2-y^2)^2} / {(x^2+1)(y^2+1)}
≧0　（等号はx=±1,y=±1（複号任意）のとき）
のように示せますね。

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■52348 / ResNo.4)

　Re[4]: 不等式

□投稿者/ ガウ一般人(3回)-(2023/10/05(Thu) 13:33:54)

ありがとうございます!!m(_ _)m

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