数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 14]

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極限(0) |

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kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

■52213 / 親記事)

　二項係数2nCn

□投稿者/ 二項係数一般人(1回)-(2023/06/01(Thu) 23:20:51)

nが2以上のとき
2nCn<2^(2n-1)
の証明教えて下さい

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52310 / ResNo.1)

　Re[1]: 二項係数2nCn

□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2023/09/11(Mon) 18:10:06)

# 今頃回答が付いても無意味かもしれませんが・・・。

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
組み合わせの数nCrをC(n, r)と表すこととします。

nを2以上の自然数として、
C(2n, n) = ((2n)!)/(n!)((2n-n)!)
= {(2n)(2n-1)(2n-2)・・・(2n-(n-1))}/{(n)(n-1)(n-2)・・・(n-(n-1))}
= {(2n)(2n-1)(2n-2)・・・(n+1)}/{(n)(n-1)(n-2)・・・(1)}

n = 2のとき、C(2*2, 2) = {4*3}/{2*1} = 6 かつ 2^(2*2-1) = 8 なので、
C(2n, n) < 2^(2n-1)という題意は成立します。

kを2以上の自然数として、n = kのときにC(2k, k) < 2^(2k-1)が成立すると仮定します。
C(2k, k) = {(2k)(2k-1)(2k-2)・・・(k+1)}/{(k)(k-1)(k-2)・・・(1)}です。

すると、n = k+1の場合、
C(2(k+1), k+1) = {(2(k+1))(2(k+1)-1)(2(k+1)-2)・・・((k+1)+1)}/{(k+1)((k+1)-1)((k+1)-2)・・・(1)}
= {(2k+2)(2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2)・・・(k+2)}/{(k+1)(k)(k-1)(k-2)・・・(1)}
= {{(2k+2)(2k+1)/(k+1)}/{(k+1)}}C(2k, k)

ここで、
{(2k+2)(2k+1)/(k+1)}/{(k+1)} = {(2k+2)/(k+1)}{(2k+1)/(k+1)} = 2{2-1/(k+1)} < 2^2
ですから、
C(2(k+1), k+1) < (2^2)C(2k, k) < 2^(2+(2k-1)) = 2^(2(k+1)-1)
となり、n = k+1でも題意は成立します。

以上から数学的帰納法により、nを2以上の自然数としてC(2n, n) < 2^(2n-1)が成立すると言えます。

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■52299 / 親記事)

　係数

□投稿者/ 係数一般人(1回)-(2023/09/06(Wed) 19:33:15)

Σ[k=0,∞](5x-3x^2)^kを展開して整理してa[0]+a[1]x+a[2]x^2+…+a[n]x^n+…
と表した時の係数a[n]はどのような式で表されるのか教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52300 / ResNo.1)

　Re[1]: 係数

□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 00:25:22)

2023/09/08(Fri) 00:22:54 編集(投稿者)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
また、xの値に関わらず(5x-3x^2)^0 = 1とします。

Σ[k=0,∞]{(5x-3x^2)^k} = 1/{1-(5x-3x^2)}ですから、
f(x) = 1/(3x^2-5x+1)と置けば、a[0], a[1], ・・・はf(x)のマクローリン展開の係数となり、
a[0] = f(0)/(0!), a[1] = f'(0)/(1!), a[2] = f''(0)/(2!), ・・・となります。

nを非負整数として、f(x)のn階導関数をf[n](x)と表すことにします。
f[0](x)はf(x)自身です。すると、a[n] = f[n](0)/(n!)となりますね。

# おそらく質問者さんは、a[n]をもっと具体的なnの式で表すことを期待されていると思うので、
# 上記の回答では期待外れでしょうけど。

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■52304 / ResNo.2)

　Re[2]: 係数

□投稿者/ 係数一般人(2回)-(2023/09/08(Fri) 15:25:38)

ありがとうございます。ちなみにですが、a[n]>0になることって簡単に分かったりしますか？

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■52308 / ResNo.3)

　Re[1]: 係数

□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2023/09/11(Mon) 00:18:25)

3x^2-5x+1 = 0とおくと、x = (5±√13)/6ですので、
u = (5+√13)/6, v = (5-√13)/6とすれば、3x^2-5x+1 = 3(x-u)(x-v)です。

よって、
1/(3x^2-5x+1) = 1/{3(x-u)(x-v)}
= (1/(3(u-v))){1/(x-u)-1/(x-v)}
= (1/√13){(1/v)/(1-x/v)-(1/u)/(1-x/u)}
= (1/√13){3u/(1-3ux)-3v/(1-3vx)}
= (3/√13){uΣ[k=0,∞]((3ux)^k)-vΣ[k=0,∞]((3vx)^k)}
= (3/√13)Σ[k=0,∞]{(3^k)((u^(k+1))-(v^(k+1)))(x^k)}

但し、xの値に関わらずx^0 = 1とします。
以上から、自然数nに対してa[n] = {((3u)^(n+1))-((3v)^(n+1))}/√13となります。
u > 1 > v > 0なので、(u^(n+1))-(v^(n+1)) > 0ですので、a[n] > 0と言えそうです。

# 計算間違いしている可能性もあるので、質問者さんの方で良く検算してみてください。

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■52309 / ResNo.4)

　私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください！

□投稿者/ Lambda Winner ＠一般人(1回)-(2023/09/11(Mon) 15:09:57)
http://xolotto.com/ja/

私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください！ハハハ、エッセイをたくさん書くように言ってもいいけど、数字を見ると頭が自動的に痛くなるみたい。とにかく高校の時、係数を勉強した記憶があってすごく大変でした。

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■52302 / 親記事)

　これだけで求められるの？

□投稿者/ 無糖一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 20:45:49)

0以上の実数から0以上の実数への関数fが
0≦x<yをみたす任意の実数x,yに対して
f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)}
をみたしています。
f(0)=1のときf(5)は何になるのでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52303 / ResNo.1)

　Re[1]: これだけで求められるの？

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2023/09/08(Fri) 01:47:12)

粗く考えたところf(5)=0でないといけないようですが、
きちんとした証明はできていません。

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■52305 / ResNo.2)

　Re[1]: これだけで求められるの？

□投稿者/ らすかる一般人(9回)-(2023/09/08(Fri) 21:58:32)

証明できました。
f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} から
f(x)^2≧f(y)^2 なので
f(x)は広義単調減少
またf(x)が広義単調減少であれば
f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} ⇔ f(x)^2≧(y-x)f(y)
なので、以下では広義単調減少を前提として
f(y)≦f(x)^2/(y-x) … (1)
について考える。

(1)で
(x,y)=(0,2)とすると f(2)≦f(0)^2/2=1/2
(x,y)=(2,3)とすると f(3)≦f(2)^2≦1/4
(x,y)=(3,7/2)とすると f(7/2)≦f(3)^2/(1/2)≦1/8
(x,y)=(7/2,15/4)とすると f(15/4)≦f(7/2)^2/(1/4)≦1/16
(x,y)=(15/4,31/8)とすると f(31/8)≦f(15/4)^2/(1/8)≦1/32
(x,y)=(31/8,63/16)とすると f(63/16)≦f(31/8)^2/(1/16)≦1/64
・・・
(x,y)=(4-1/2^n,4-1/2^(n+1))とすると
f(4-1/2^(n+1))≦f(4-1/2^n)^2/(1/2^(n+1))≦1/2^(n+3)
・・・
のようになるから、n→∞としてf(4)=0
f(x)は広義単調減少の非負値関数だから、x≧4のときf(x)=0となり、f(5)=0。

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■52306 / ResNo.3)

　Re[2]: これだけで求められるの？

□投稿者/ 無糖一般人(2回)-(2023/09/09(Sat) 15:28:57)

すごい…ありがとうございます。

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■52296 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ アルナルディ一般人(1回)-(2023/09/05(Tue) 03:44:09)

-1<a,b,c<1のとき(a+b+c)^2+3>(ab+bc+ca)^2+3(abc)^2の証明教えて下さい

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52297 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(7回)-(2023/09/05(Tue) 05:09:10)

(左辺)-(右辺)
=(1-a^2){(b+c)^2+b^2c^2+1}+(1-b^2){(c+a)^2+c^2a^2+1}+(1-c^2){(a+b)^2+a^2b^2+1}
＞0
で言えますね。

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■52298 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ アルナルディ一般人(2回)-(2023/09/05(Tue) 08:57:11)

このような複雑な式変形全く思いもつきませんでした
ありがとうございました

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■52280 / 親記事)

　期待値

□投稿者/ ハリス一般人(1回)-(2023/09/01(Fri) 11:25:45)

2023/09/01(Fri) 17:25:13 編集(投稿者)

nを正の整数とします。
0以上n以下の整数を無作為に1つ選び記録するという試行を繰り返します。
第k回目の試行において記録された整数をa_kとします(k=1,2,3,...)。
a_1, a_2, a_3, a_4, ......, a_k, ...... について、
初めてa_{k-1}<a_kとなる番号kの期待値と、
そのときのa_kの期待値を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52294 / ResNo.1)

　Re[1]: 期待値

□投稿者/ at 一般人(1回)-(2023/09/03(Sun) 10:10:53)

a_{k-1}<a_k となるような最初のkをXとすると、Xの期待値E(X)は、
E(X)
=Σ[j=1～∞]j*P(X=j)
=Σ[j=1～∞]([h=1～j]1)*P(X=j)
=Σ[h=1～∞][j=h～∞]P(X=j)
=Σ[h=1～∞]P(X≧h)
=Σ[h=0～∞]P(X>h)
=Σ[h=0～∞]C[n+h,h]*(1/(n+1))^h
=((n+1)^n)*Σ[h=0～∞]C[n+h,n]*(1/(n+1))^(n+h)
=((n+1)^n)*((1/(n+1))^n)/(1-(1/(n+1)))^(n+1)
=((n+1)/n)^(n+1).

a_{k-1}<a_k となるような最初のa_kをYとすると、Yの期待値E(Y)は、
E(Y)
=Σ[j=1～n]j*P(Y=j)
=Σ[j=1～n]j*Σ[s=2～∞](C[n+s-1,s-1]-C[n-j+s-1,s-1])/(n+1)^s
=(((n+1)^n)/(n^(n+1)))*Σ[j=1～n]j*(1-(n/(n+1))^j)
=n+(n+1)*(1-(1/2)*((n+1)/n)^n).

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■52295 / ResNo.2)

　Re[2]: 期待値

□投稿者/ ハリス一般人(2回)-(2023/09/04(Mon) 20:21:42)

教えていただき、ありがとうございました。

解決済み!

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