数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 95]

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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

■50240 / 親記事)

　四角形の極限

□投稿者/ ストラディ罵詈一般人(1回)-(2020/03/07(Sat) 21:39:15)

四角形ABCDは、
円に内接し、
∠ABCと∠ACDが鈍角で、
ABの長さはa、BCの長さはb、CDの長さはcである(a,b,cは定数)。
四角形ABCDの外接円の半径をR、DAの長さをdとしたとき、
lim[R→∞]R^2(a+b+c-d)を求めよ。

教えて下さい。よろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50241 / ResNo.1)

　Re[1]: 四角形の極限

□投稿者/ m 一般人(5回)-(2020/03/08(Sun) 12:49:16)

2020/03/08(Sun) 12:51:41 編集(投稿者)

ゴリゴリやればできます。
もっといい方法がありそうだけど。

（記号" $2$\angle XYZ$ "は角XYZを意味します。なぜかうまく変換されない。）

$2$ \angle ADB = \alpha, \angle BAC = \beta, \angle CAD = \gamma$
とおく。
$2$\triangle ABD$ に注目して $2$ \angle DBA = \pi - (\alpha + \beta + \gamma)$ だから正弦定理より
$2$ 2R = a / \sin \alpha = b / \sin \beta = c / \sin \gamma = d / \sin (\alpha + \beta + \gamma)$

よって
$2$ d = 2R \sin (\alpha + \beta + \gamma) \\ = 2R (\sin \alpha \cos (\beta + \gamma) + \cos \alpha \sin (\beta + \gamma)) \\ = 2R ( \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma ) \\ = a \cos \beta \cos \gamma - abc / (2R)^2 + b \cos \alpha \cos \gamma + c \cos \alpha \cos \beta$

より
$2$ R^2(a+b+c-d) \\ = R^2 (a(1-\cos \beta \cos \gamma) + b(1-\cos \gamma \cos \alpha) + c(1-\cos \alpha \cos \beta) ) +abc/4 \\$

ここで
$2$ R^2 (1-\cos \beta \cos \gamma) = R^2 \frac{1 - \cos ^2 \beta \cos ^2 \gamma}{1+\cos \beta \cos \gamma} \\ = R^2 \frac{1 - (1-\sin ^2 \beta) (1-\sin ^2 \gamma)}{1+\cos \beta \cos \gamma} \\ = R^2 \frac{\sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma -\sin ^2 \beta \sin ^2 \gamma}{1+\sqrt{(1-\sin ^2 \beta) (1-\sin ^2 \gamma)}} \\ = R^2 \frac{(b/2R)^2 + (c/2R)^2 - (b/2R)^2 (c/2R)^2 }{1+\sqrt{(1-(b/2R)^2) (1-(c/2R)^2)}} \\ = \frac{b^2/4 + c^2/4 - b^2 c^2/(16R^2) }{1+\sqrt{(1-(b/2R)^2) (1-(c/2R)^2)}} \\ \to \frac{b^2/4 + c^2/4 -0}{1+1} = \frac{b^2 + c^2}{8} \ (R \to \infty)$
が成り立つ。他の項も同様。

よって
$2$ R^2(a+b+c-d) \to \frac{1}{8}(a(b^2+c^2) + b(c^2+a^2) + c(a^2+b^2) +2abc) \\ = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}$

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■50245 / ResNo.2)

　Re[2]: 四角形の極限

□投稿者/ ストラディ罵詈一般人(2回)-(2020/03/10(Tue) 10:02:39)

有り難うございます。
勇気をもって加法定理を使えばよかったのですね・・・。

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■50234 / 親記事)

　ベルトラン・チェビシェフの定理について。

□投稿者/ コルム一般人(1回)-(2020/03/04(Wed) 14:56:37)

12番目の動画は理解できました。ですが、12番目の動画には誤りがあって、それを13番で解説しているのですが、それがわかりません。なぜ、√(2n)なのでしょうか？

後、
適用できないというのは、逆数をとるからでしょうか？なぜ、f(√(2n))は考えるのが、難しいのでしょうか？一番考えやすい1にするのでしょうか？教えていただけると幸いです。
お手数ですが、詳しくは、AKITOの部屋のベルトラン・チェビシェフの定理について。と検索して、動画を見ていただけると幸いです。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50242 / ResNo.1)

　Re[1]: ベルトラン・チェビシェフの定理について。

□投稿者/ 通りすがり一般人(3回)-(2020/03/09(Mon) 09:18:42)

リンクを張らなければいいだろうと考えたのだろうが

>お手数ですが、詳しくは、AKITOの部屋のベルトラン・チェビシェフの定理について。と検索して、動画を見ていただけると幸いです。

ではリンクを張ったのと同じこと
あちこちの掲示板でで叩かれている理由を考えなさい
物事の本質を考えなさい

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■50244 / ResNo.2)

　Re[1]: ベルトラン・チェビシェフの定理について。

□投稿者/ 都の西北倭背堕の隣罵化多大学一般人(2回)-(2020/03/09(Mon) 15:39:32)

ttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10220837460
ttps://okwave.jp/qa/q9717523.html
で懇切丁寧な回答をもらっているではないか。知恵袋ではコイン500を払うのをケチって受付終了にしたのか？
相変わらず無礼なやつだwwwwwwww
　その回答でわからないということは12番以前の動画の内容もろくにわかってないだろう。
　わかっているのなら、動画を見てくれなどというような不遜なことを言わず、きちんと自分でノートしたものを公開して質問するべきだろう。
　そもそも、ついこの間まで「以下」と「未満」の区別がつかなかったよう者が挑戦するようなテーマか（笑）。

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■50239 / 親記事)

　cosの積分の評価

□投稿者/ 実数K 一般人(1回)-(2020/03/05(Thu) 09:45:21)

ふと疑問に思ったことなのですが、よろしくお願いします。

相異なる互いに素な自然数m,nを様々に変化させたときの積分
　　　 ∫[0→π] |cos(mθ)cos(nθ)| dθ
の値からなる集合の上限をKとすると、K＜π/2が成り立ちますか？

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■50236 / 親記事)

　動点の確率

□投稿者/ まのたろ一般人(1回)-(2020/03/04(Wed) 20:17:20)

長さ1の線分AB上を点Xが移動する。
最初点Xは線分ABの中点にあり、
1秒ごとに確率1/2で線分AXの中点か線分BXの中点に移動する。
n秒後にはじめて線分AXの長さが1/4未満になる確率を求めよ。

教えて下さい。
お願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50237 / ResNo.1)

　Re[1]: 動点の確率

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2020/03/04(Wed) 22:09:37)

条件を満たすのは「n-1回目とn回目に初めて2回連続AX側が選択される確率」と同じです。
k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がAX側であるパターンの数をa[k]、
k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がBX側であるパターンの数をb[k]とおくと
a[1]=b[1]=1, a[m+1]=b[m], b[m+1]=a[m]+b[m]
このa[k]はフィボナッチ数なので、一般項は
a[k]={(1+√5)^k-(1-√5)^k}/(√5・2^k)
よって求める確率は
a[n-1]/2^n={(1+√5)^(n-1)-(1-√5)^(n-1)}/(√5・2^(2n-1))
となります。
（上の式はn≧2で定義される式ですが、n=1で正しく0となりますのでn≧1で正しい式です。）

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■50238 / ResNo.2)

　Re[2]: 動点の確率

□投稿者/ まのたろ一般人(2回)-(2020/03/05(Thu) 06:38:28)

ありがとうございます。
とても分かりやすいです。

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■50223 / 親記事)

　sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(1回)-(2020/03/01(Sun) 17:55:55)

自然数nと0＜r＜1、0＜θ＜πをみたす実数r、θに対して
Σ[k=1→n] r^(2k-1) * sin((2k-1)θ) ＞0
が成り立つことの証明を教えて下さい。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50224 / ResNo.1)

　Re[1]: sinの不等式

□投稿者/ m 一般人(3回)-(2020/03/02(Mon) 23:46:05)

複素数やオイラーの公式は使っていいですか。

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■50225 / ResNo.2)

　Re[2]: sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 10:05:08)

大丈夫です、お願いします。

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■50229 / ResNo.3)

　Re[3]: sinの不等式

□投稿者/ m 一般人(4回)-(2020/03/03(Tue) 13:57:54)

2020/03/03(Tue) 14:17:56 編集(投稿者)
2020/03/03(Tue) 14:16:27 編集(投稿者)

$2$0<r<1, \ 0 \lt \theta \lt \pi/2$ で示せば十分。
（∵
$2$\theta = \pi/2$ のときは $2$\sum r^{2k-1}>0$ となって成立
$2$\pi/2 \lt \theta \lt \pi$ のとき $2$\sin \theta = \sin (\pi - \theta)$ より $2$0 \lt \theta \lt \pi/2$ に帰着
）

複素平面で考える。

$2$ z = r e^{i \theta} \\ P_n = \begin{cases} \sum_{k=1}^n z^{2k-1} & (n \geq 0) \\ - z^{-1} & (n=-1) \end{cases} \\ Q_n = P(n-1) + z^{2n-1}/r^2 \\ R_n = P(n-1) + (1-r^2) z^{2n-1}$
と定める。

$2$P_n$ の虚部 $2$Im(P_n) = \sum_{k=1}^n r^{2k-1} \sin (2k-1) \theta \gt 0$ を示す。

三点 $2$P_{n-1}, P_n, Q_{n+1}$ を通る円を $2$C_n$ 、その内側を $2$D_n$ とする。

次の3つを示せばいい。

(1) $2$P_{n+1} \in D_n \ (n \geq 0)$

(2) $2$D_{n+1} \subset D_n \ (n \geq 0)$

(3) $2$D_0 \subset$ (上半平面 $2$ = \{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) \gt 0 \}$ )

証明：
図 ttps://www.geogebra.org/classic/uvhyd27f

(1)
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
よって $2$P_{n+1} \in D_n$

(2)
$2$ \angle P_n P_{n+1} Q_{n+2} = \pi - 2 \theta = \angle R_n P_n P_{n+1} \\ r^{2n+1} = |P_{n+1} Q_{n+2}| = |P_n P_{n+1}| = |R_n P_n|$
より円 $2$C_{n+1}$ は三点 $2$R_n, P_n, P_{n+1}$ を通る。

点 $2$R_n$ は線分 $2$P_{n-1} P_n$ の内分点
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
だから（点 $2$P_n$ と $2$C_{n+1}, C_n$ の中心が順に同一直線上に並んで、半径は $2$C_{n+1}$ の方が短いことが言えるから）
$2$D_{n+1} \subset D_n$

(3)
$2$ P_0 = 0, \\ Q_1 + P_{-1} = (e^{i \theta} -e^{- i \theta})/r = 2 i \sin \theta /r$
より、 $2$C_0$ の中心は虚軸正にある。原点を通るから上半平面にある。

もしかしたら、もっと簡単にできるかもしれません。
" $2$\angle ABC$ "は角ABCの意味です。（"\angle"がうまく変換されない。）

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■50233 / ResNo.4)

　Re[4]: sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 22:02:31)

有り難うございました。
図も付けていただいて、よく理解できました。
こんなに発想力がいる問題とは思いませんでした。

解決済み!

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