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■50693 / 親記事) 　α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(1回)-(2021/04/03(Sat) 13:50:51)
    α^3-2α^2+4α-4=0
    のとき
    α^52=p+qα
    をみたす整数p,qが存在することを示せ。(和訳)

    整数論の本を読んでいたら上記演習問題があったのですが、これは手計算で示せるものなのでしょうか？
    単に存在することを示すだけなので、次数を下げていく以外の方法があるのか！？などと思ってみたり…
    どうなんでしょう？教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50694 / ResNo.1) 　Re[1]: α^52
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2021/04/03(Sat) 17:29:37)
    次数下げとあまり変わりませんが、工夫すると
    (α^3-2α^2+4α-4)(α+2)=α^4+4α-8=0 から α^4=-4α+8
    (α^4+4α-8)α^2-4(α^3-2α^2+4α-4)=α^6-16α+16=0 から α^6=16α-16=16(α-1)
    α^13=α(α^6)^2=256α(α-1)^2=256{(α^3-2α^2+4α-4)-(3α-4)}=256(-3α+4)
    (-3α+4)^4=81α^4-432α^3+864α^2-768α+256
    =81(-4α+8)-432(α^3-2α^2+4α-4)+960α-1472
    =636α-824
    なので
    α^52=(α^13)^4=256^4・(-3α+4)^4=2^32・(636α-824)=2^34・(159α-206)
    となりp=-103・2^35、q=159・2^34でα^52=p+qαが成り立つ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50703 / ResNo.2) 　Re[2]: α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(2回)-(2021/04/08(Thu) 17:48:13)
    有難うございます。
    私にも・・・辛うじて計算できる方法です。
    α^4を見つけるのが肝要ですね。
    工夫の偉大さを感じました。
解決済み!
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■50697 / 親記事) 　放物線の標準形
□投稿者/ 星は昴 一般人(1回)-(2021/04/05(Mon) 13:31:03)
    4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0

    をソフトで描かせたら放物線のようです。これをy軸に対称なように標準化した式にするにはどうしたらいいですか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50698 / ResNo.1) 　Re[1]: 放物線の標準形
□投稿者/ らすかる 一般人(27回)-(2021/04/05(Mon) 17:29:03)
    軸がy=2xですから、
    x=(2X+Y)/√5
    y=(-X+2Y)/√5
    を代入して回転して整理すると
    Y=X^2/(2√5)
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50699 / ResNo.2) 　Re[2]: 放物線の標準形
□投稿者/ 星は昴 一般人(3回)-(2021/04/05(Mon) 18:57:28)
    　回答ありがとうございます。
    　　4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0　･････(1)
    が、y=2xを軸とする放物線であることはどうやって見抜けばいいのでしょうか。

    　教科書には離心率をeとするとき二次曲線の一般式
    　　(1-e^2)x^2+y^2-2p(1+e^2)x+p^2(1-e^2)=0　･････(2)
    というのがありますが、これでは(1)が放物線であるかどうか判断できないと思うのですが。

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■50700 / ResNo.3) 　Re[3]: 放物線の標準形
□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2021/04/05(Mon) 21:16:32)
    二次の項を因数分解すると(2x-y)^2となりますので、
    X=(2x-y)/√5, Y=(x+2y)/√5のようにおいて回転すると
    Xの項は2次、Yの項は1次となり、軸が2x-y=0に平行な
    放物線であることがわかります。
    下に書かれている「二次曲線の一般式」は、回転を含まない
    特定の場合の一般式なので、この問題では使えないと思います。
    また、回転してその「一般式」に合わせたいのであれば、軸がx軸に合うように
    x=(X-2Y)/√5, y=(2X+Y)/√5で逆方向に回転する必要があります。

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■50701 / ResNo.4) 　Re[4]: 放物線の標準形
□投稿者/ 星は昴 一般人(4回)-(2021/04/05(Mon) 21:33:27)
    ありがとうございました。なかなか難しいのですね。

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■50684 / 親記事) 　循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(1回)-(2021/04/02(Fri) 11:00:49)
    nを自然数とすると
    1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)
    は混合循環小数であることを示せ。

    教えて下さい。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50690 / ResNo.1) 　Re[1]: 循環小数
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2021/04/03(Sat) 06:28:03)
    有理数のうち
    分母が2,5以外の素因数を持たない→有限小数
    分母が2,5以外の素因数を持つ→無限小数
    そして有理数の無限小数のうち
    分母が素因数2,5を含まない→純循環小数
    分母が素因数2,5を含む→混循環小数
    です。
    与式はn+1,n+2,n+3のうちどれか一つが3の倍数、
    また偶数も含むことから、
    「2,5以外の素因数3を含み、素因数2も含む」
    となりますので、混循環小数ということになります。

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■50696 / ResNo.2) 　Re[2]: 循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(2回)-(2021/04/04(Sun) 13:47:14)
    とても分かりやすい説明ありがとうございました。
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■50691 / 親記事) 　四角形の辺の長さ
□投稿者/ sage 一般人(4回)-(2021/04/03(Sat) 12:19:15)
    調べたらどこかに絶対載ってそうな気がするんですが
    検索が追いつかず・・・教えてください

    a,b,c,dは実数で、以下の二つの条件を満たしている
    ・a,b,c,dは四角形の四辺の長さである
    ・a≧b≧c≧d
    a,b,c,dをこの条件を満たしながら変化させたときの
    min{a/b,b/c,c/d}
    の取り得る値の範囲はどうなるか？

    四角形から適当にふたつの辺を選んで
    長いのを短いので割ったときの最小値
    はどこまで大きくなるか
    ということなのですが・・・
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50692 / ResNo.1) 　Re[1]: 四角形の辺の長さ
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2021/04/03(Sat) 12:35:21)
    1≦min{a/b,b/c,c/d}＜c
    ただしcはc^3=c^2+c+1を満たす値で
    c={(19+3√33)^(1/3)+(19-3√33)^(1/3)+1}/3=1.83928675…
    となると思います。
    最小値は正方形の場合で明らか
    最大値は（最大値をとることはありませんが）例えば
    A(0,0),B(1,ε),C(c+1,ε),D(c^2+c+1,0)
    のように最大辺のすぐ近くに他の3辺が並ぶ場合です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50695 / ResNo.2) 　Re[2]: 四角形の辺の長さ
□投稿者/ sage 一般人(5回)-(2021/04/03(Sat) 21:05:13)
    確認できました！
    有難うございました！
解決済み!
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■50682 / 親記事) 　三角形の角
□投稿者/ 磯村 一般人(1回)-(2021/04/02(Fri) 08:43:11)
    三角形ABCにおいて、AB=2,BC=1,CA=√2とし、∠A=α,∠B=βとする。
    正の整数m,nがmα+nβ=πを満たすとき、mとnを全て求めよ。

    m=2,n=3は見つけられたのですが、これ以外にあるのかこれだけなのかがよく分かりませんでした。
    教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50683 / ResNo.1) 　Re[1]: 三角形の角
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2021/04/02(Fri) 09:59:41)
    cosα=5√2/8, sinα=√14/8
    cos2α=9/16, sin2α=5√7/16
    cos3α=5√2/64, sin3α=17√14/64
    cos4α=-47/128, sin4α=45√7/128
    cos5α=-275√2/512, sin5α=89√14/512
    cos6α=-999/1024, sin6α=85√7/1024
    sin7α＜0

    cosβ=3/4, sinβ=√7/4
    cos2β=1/8, sin2β=3√7/8
    cos3β=-9/16, sin3β=5√7/16
    cos4β=-31/32, sin4β=3√7/32
    sin5β＜0

    mα+nβ=πのとき
    mα=π-nβ
    sin(mα)=sin(π-nβ)=sin(nβ)
    cos(mα)=cos(π-nβ)=-cos(nβ)
    でなければならないので、m=2,n=3のみ。

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■50685 / ResNo.2) 　Re[2]: 三角形の角
□投稿者/ 磯村 一般人(2回)-(2021/04/02(Fri) 11:01:09)
    有り難うございます。
    やはりしっかり計算して考える必要がありそうですね。。。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50686 / ResNo.3) 　Re[3]: 三角形の角
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2021/04/02(Fri) 21:50:16)
    cosα=5√2/8, sinα=√14/8 から tanα=√7/5
    cosβ=3/4, sinβ=√7/4 から tanβ=√7/3
    t(x)=tanx/√7とおくとt(a+b)={t(a)+t(b)}/{1-7t(a)t(b)}
    t(α)=1/5, t(2α)=5/9, t(3α)=17/5, t(4α)=-45/47,
    t(5α)=-89/275, t(6α)=-85/999, t(7α)＞0
    t(β)=1/3, t(2β)=3, t(3β)=-5/9, t(4β)=-3/31, t(5β)＞0
    なので
    tan(mα)+tan(nβ)=0すなわちt(mα)+t(nβ)=0となるのはm=2,n=3のみ

    のようにすると計算がいくぶん簡単になりますが、これでも面倒ですね。

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