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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

■50190 / 親記事)

　京大特色

□投稿者/ 紙一般人(1回)-(2019/12/02(Mon) 23:28:22)

整数k,nは0≦k＜nを満たすとする。以下の設問に答えよ。
(1) f(x)=x^n, g(x)=x^kとする。1≦x＜yに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
|(g(x)-g(y))/(f(x)-f(y))|＜1/x
(2) f(x), g(x)を実数係数の整式で、f(x)の次数をn、g(x)の次数をkとする。
f(x_0)が整数となるすべての実数x_0に対してg(x_0)も整数となるとき、
g(x)はxによらず一定の整数値をとることを示せ。

この問題なのですが、ネット上のいろんな議論を見てもいまいち(1)がうまく使えていないようです。
(1)は(2)を解くための誘導と見てほぼ間違いないと思うのですが、どうでしょうか？
(1)を(2)でスッキリと使う方法があれば知りたいです。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■50194 / ResNo.1)

　Re[1]: 京大特色

□投稿者/ piyo 一般人(1回)-(2019/12/06(Fri) 12:07:32)

ttps://math.nakaken88.com/problem/kyoto-u-t-2020-3/2/

ここの解説はよくまとまっていると思います。

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]

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■50191 / 親記事)

　高校の範囲での証明

□投稿者/ 窓々一般人(1回)-(2019/12/02(Mon) 23:42:14)

nは自然数、xは正の数のとき
(x^n/n!)* e^(x/(n+1)) +Σ[k=0,n-1] x^k/k! ≦ e^x　
の証明って高校ではどうやるんでしたっけ？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50192 / ResNo.1)

　Re[1]: 高校の範囲での証明

□投稿者/ m 一般人(2回)-(2019/12/03(Tue) 12:18:14)

2019/12/03(Tue) 12:23:08 編集(投稿者)
2019/12/03(Tue) 12:22:03 編集(投稿者)

(★ $2$1+x \leq e^x \ (x \geq 0)$ は証明略。)

$2$f_n (x) =$ (左辺) - (右辺)
とおき $2$f_n(x) \leq 0$ を帰納法で示す。

$2$n-1$ で成り立つと仮定し $2$n$ で成り立つことを示す。

$2$f_n(0)=0$ だから $2$f_n' (x) \leq 0 \ (x \geq 0)$ を示せばok
$2$f_n' (x) = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} (1+\frac{x}{n(n+1)}) e^{x/(n+1)} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{x^k}{k!}-e^x$
★より $2$1+\frac{x}{n(n+1)} \leq e^{x/(n(n+1))}$ だから
$2$f_n' (x) \leq \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} e^{x/(n(n+1))} e^{x/(n+1)} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{x^k}{k!}-e^x$
$2$\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}$ より
(上の右辺) $2$\leq f_{n-1} (x)$
帰納法の仮定により $2$f_n'(x) \leq 0$

だいぶ省略してるので補完してください。

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■50193 / ResNo.2)

　Re[2]: 高校の範囲での証明

□投稿者/ 窓々一般人(2回)-(2019/12/05(Thu) 12:43:35)

有り難うございます。
微分したものと帰納法でけっこう複雑だったのですね。

解決済み!

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

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■50188 / 親記事)

　この表の見方を教えてください。

□投稿者/ aa 一般人(1回)-(2019/11/27(Wed) 20:42:33)

この表の見方を教えてください。

4718592×4292935818 => 0×250

IMG_5374.PNG/51KB

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■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50187 / 親記事)

　ヒルベルト空間

□投稿者/ はう一般人(1回)-(2019/11/27(Wed) 17:09:09)

どなたか解答を作っていただけませんか・・・？

1574842149.jpeg/26KB

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■記事リスト / ▲上のスレッド

■50186 / 親記事)

　$D_n$加群のフーリエ変換と関数のフーリエ変換との関係について

□投稿者/ おじゃん一般人(1回)-(2019/11/25(Mon) 20:16:25)

$2$D_n$ を $2$n$ 変数のWeyl代数とし， $2$\partial_i$ を変数 $2$x_i$ に関する微分作用素とします．
左 $2$D_n$ 加群 $2$M$ に対し，そのフーリエ変換 $2$\mathcal{F}(M)$ は $2$u \in M$ に対する $2$D_n$ の作用 $2$\circ$ を
$2$\partial_i \circ u := x_i u$ ,
$2$x_i \circ u := -\partial_i u$
と定めた左 $2$D_n$ 加群として定義されています．
つまり，フーリエ変換前と後で
$2$x_i \leftrightarrow \partial_i$ ,
$2$\partial_i \leftrightarrow -x_i$
という対応関係があるように見えます．

ところが，例えば1変数関数 $2$u(x)$ のフーリエ変換 $2$F(u)(t)$ を考えると，
$2$\partial_t F(u)(t) = -iF(x \cdot u)(t)$ ,
$2$t \cdot F(u)(t) = -iF(\partial_x u)(t)$
となり，
$2$\partial_i \leftrightarrow -ix_i$ ,
$2$x_i \leftrightarrow -i\partial_i$
という対応関係があるように見え，加群のフーリエ変換を考えたときには出てこなかった虚数単位 $2$i$ が出てきてしまいます．

これら2種類のフーリエ変換は何らかの関係で結び付けられているのでしょうか？
もしくは，似たような変換なのでフーリエという名前がついているだけで，実際に行っている操作には何ら対応関係は無いのでしょうか？
お答えいただけると幸いです．

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