数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 12]

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フェルマーの最終定理の証明(69) |

円を30度回転させた場合の結果が見たい。(17) |

期待値(13) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

素数(6) |

順列組合せ～区別するものしないもの(6) |

三角形の辺の長さ(6) |

極形式(6) |

フェルマーの最終定理の証明(6) |

52545の「約数の個数」の式変形について(5) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

係数(4) |

確率(4) |

Lambert W関数を用いた数式(4) |

確率(3) |

体(3) |

極限(3) |

積分(3) |

素数(3) |

角度(3) |

極限(3) |

sin(x)sin(x+1)<c(2) |

4次多項式(2) |

偶数の約数(2) |

■記事リスト / ▼下のスレッド

■52879 / 親記事)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(1回)-(2025/05/24(Sat) 18:30:11)

　　f(x) = (n+mx)/√(1+x^2 ) = (n+mx)/(1+x^2 )^(1/2)　　 (n,m は正の定数:x>0)

　　f'(x) = (m-nx)/{(1+x^2 )√(1+x^2 )} = 0

　　x = m/n
　　x<m/n⇒f'(x)>0
　　x>m/n⇒f'(x)<0

　したがってf(x)はx = mnで極大値をとる。

　　f(m/n) = √{(n^2+m^2)/n}　 ①

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = lim[x→∞](n/x+m)/√(1/x^2 +1) = m ……②

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = n ……③

　①が最大値であることを示すために、①②③の二乗を比較して①＞②、①＞③を証明したいがうまくいきません。
　①と③を比較して

　　{(n^2+m^2)/n}/n^2 = (n^2+m^2)/n^3

とやっても、大小関係がわかりません。どうしたらいいでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52881 / ResNo.1)

　Re[1]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(30回)-(2025/05/24(Sat) 18:55:41)

x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まりますので
②や③の計算は不要です。

また、①は間違っています。f(m/n)=√(n^2+m^2)です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52882 / ResNo.2)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(2回)-(2025/05/24(Sat) 19:02:08)

　すばやい回答まことにありがとうございます。
> x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
> x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
> とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まります
　極値（この場合極大値）が１つしかないからですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52884 / ResNo.3)

　Re[3]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(31回)-(2025/05/25(Sun) 11:36:47)

結果的にはそういうことになるかも知れませんが、そんな難しいことは考えていません。
グラフで考えて
f(x)はx＜m/nで増加 → xをm/nから減らしていけばf(x)は減少し続ける → x＜m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
f(x)はx＞m/nで減少 → xをm/nから増やしていけばf(x)は減少し続ける → x＞m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
ということですから、f(m/n)は最大値になります。
# もちろん、これが言えるのはf(x)が連続だからです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52701 / 親記事)

　積分の極限

□投稿者/ 東大志望一般人(1回)-(2025/03/03(Mon) 20:31:16)

$2$ \large \lim_{n \to \infty} \, n \, {\displaystyle\int_1}^{\sqrt{3}} \log \left( \frac{1+\sqrt[n]{x^3+x}}{2} \right) \, dx$

の求め方を教えてください！

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52710 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分の極限

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2025/03/09(Sun) 03:07:18)

((3√3)(4log2+log3)-18(√3-1)-6log2+π)/12 = 0.4934287954669775…
という値になるようですが、計算方法はわかりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52756 / ResNo.2)

　Re[1]: 積分の極限

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2025/03/16(Sun) 14:05:49)

横から失礼します。

与式の被積分関数である
nlog{{1+(x^3+x)}/2} (A)
が積分区間である
x:1→√3
で一様収束するのであれば、
lim[n→∞]
を積分の中に入れることができますので
ゴリゴリ極限を計算することで
(与式)=(1/2)∫[x:1→√3]log(x^3+x)dx

この積分を計算することで
らすかるさんが提示された解答になります。
(log(x^3+x)=log(x^2+1)+logx
と変形して部分積分を使います。)

問題なのは(A)が一様収束するか否かですが
こちらではチェックできませんでした。
参考までに。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52757 / ResNo.3)

　Re[2]: 積分の極限

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2025/03/16(Sun) 14:10:03)

ごめんなさい。訂正します。
誤：nlog{{1+(x^3+x)}/2} (A)
正：nlog{{1+(x^3+x)^(1/n)}/2} (A)

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■52679 / 親記事)

　確率

□投稿者/ たける一般人(1回)-(2025/02/09(Sun) 06:34:08)

サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率と
サイコロをn+1回ふって同じ目が連続でm+1回以上出る確率は
どちらが大きいか知りたいです。
理由もあわせて教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52812 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ muturajcp 一般人(16回)-(2025/04/13(Sun) 09:43:27)

1≦m≦n
k=0～n-mに対して
6以外の目がk回出る確率が(5/6)^kその後6の目が連続でm回出る確率は1/6^m
だから
サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率は

(1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k　…①
------------------------------------------
サイコロをn+1回ふって同じ目が連続でm+1回以上出る確率は

m=1のとき

1回目と2回目が同じ目が出る確率は(1/6)

k=1～n-1に対して
k回目とk+1回目が異なる目が出る確率(5/6)^k
n回目とn+1回目が同じ目が出る確率は(1/6)

(1/6)+(1/6)Σ[k=1～n-1](5/6)^k
=
(1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k
となって①に等しい
---
n-m≦1のとき

1～m+1回目が同じ目が出る確率は(1/6^m)

n-m=1のとき
1回目と2回目が異なる目が出る確率(5/6)
n+1-m～n+1回目が同じ目が出る確率は(1/6^m)

(1/6^m)+(1/6^m)(5/6)
=
(1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k
となって①に等しい
---
m=2
n=4
のとき
サイコロを4+1回ふって同じ目が連続で2+1回以上出る確率は
aaa
(1/6^2)
baaa
(5/6)(1/6^2)
bbaaa
(1/6)(5/6)(1/6^2)
bcaaa
(5/6)(5/6)(1/6^2)

(1/6^2){1+2(5/6)}
>
(1/6^2){1+(5/6)+(5/6)^2}
だから

サイコロを4回ふって6の目が連続で2回以上出る確率より大きい

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■52814 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ らすかる一般人(14回)-(2025/04/13(Sun) 12:10:23)

例えばn=5,m=2のとき
3,6,4,6,6
でも「6の目が連続でm回以上出」たことになるのでは？

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■52815 / ResNo.3)

　Re[3]: 確率

□投稿者/ muturajcp 一般人(17回)-(2025/04/13(Sun) 16:16:37)

間違えました取り消します

m=1　のとき
1≦m≦n
k=0～n-mに対して
6以外の目がk回出る確率が(5/6)^kその後6の目が連続でm回出る確率は1/6^m
だから
サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率は

(1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k　…①
は
m=1のときしか成り立ちませんでした

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■52591 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 避暑一般人(1回)-(2024/08/06(Tue) 14:53:34)

実数x,yに対して
2(x^2+1)(y^2+1)≧3(x+y)
が成り立つことの証明を教えて下さい。

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■52592 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2024/08/06(Tue) 16:43:06)

(左辺)-(右辺)をxについて整理し平方完成する方針でいくと
2(x^2+1)(y^2+1)-3(x+y)
=2(y^2+1)x^2-3x+(2y^2-3y+2)
={x√{2(y^2+1)}-3/√{8(y^2+1)}}^2-9/(8(y^2+1))+(2y^2-3y+2)
={x√{2(y^2+1)}-3/√{8(y^2+1)}}^2+(16y^4-24y^3+32y^2-24y+7)/(8(y^2+1))
={x√{2(y^2+1)}-3/√{8(y^2+1)}}^2+{(4y^2-3y)^2+5(2y-1)^2+2(y-1)^2+y^2}/(8(y^2+1))
≧0

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■52594 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ 避暑一般人(2回)-(2024/08/08(Thu) 11:25:40)

大変参考になりました。
有難うございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52596 / ResNo.3)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ muturajcp 一般人(4回)-(2024/08/10(Sat) 10:15:14)

へいほうかんせい
2(x^2+1)(y^2+1)-3(x+y)
=2(x^2+1)(y-3/{4(x^2+1)})^2+{(4x^2-3x)^2+23(x-12/23)^2+17/23}/{8(x^2+1)}>0

858×694 => 250×202

m2024080415.jpg/75KB

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■52566 / 親記事)

　平方数

□投稿者/ 孫子一般人(1回)-(2024/07/10(Wed) 12:30:22)

自然数nで3^n-2^n-1が平方数となるものをすべて求めたいのでお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52569 / ResNo.1)

　Re[1]: 平方数

□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2024/07/14(Sun) 17:05:55)

3^n-2^n-1
n=1のとき
3^1-2^1-1=3-2-1=0は平方数
n=2のとき
3^2-2^2-1=9-4-1=4は平方数
n=4のとき
3^4-2^4-1=81-16-1=64は平方数

nが3以上の奇数のとき
n=2k+1となる自然数kがある
3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
となる整数mがあるから
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

nが6以上の偶数のとき
n=2kとなる自然数kがある
3^(2k)-2^(2k)-1
が平方数であると仮定すると
3^(2k)-2^(2k)-1=x^2
となる整数xがある
3^(2k)-2^(2k)=1+x^2
(3^k+2^k)(3^k-2^k)=1+x^2
右辺1+x^2は実数の範囲で分解できない既約多項式
3^k+2^k>3^k-2^k>0だから
3^k-2^k=1でなければならないから
k=1
n=2となってn≧6に矛盾するから
3^(2k)-2^(2k)-1
は平方数ではないから

n=1
n=2
n=4

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■52570 / ResNo.2)

　Re[1]: 平方数

□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2024/07/14(Sun) 19:11:26)

訂正です

3^n-2^n-1
n=1のとき
3^1-2^1-1=3-2-1=0
n=2のとき
3^2-2^2-1=9-4-1=4
n=4のとき
3^4-2^4-1=81-16-1=64

nが3以上の奇数のとき
n=2k+1となる自然数kがある
3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
となる整数mがあるから
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

n=2(2k+1)となる自然数kがあるとき
3^{2(2k+1)}=9^(2k+1)=9(81^k)=9(16*5+1)^k=9(mod16)
2^{2(2k+1)}=4^(2k+1)=4(16^k)=0(mod16)
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(mod16)
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=16m+8=8(2m+1)
となる整数mがあるから
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(2m+1)は平方数ではない

n=4(2k+1)となる自然数kがあるとき
3^{4(2k+1)}=81^(2k+1)=81(6561)^k=(32*2+17)(205*32+1)^k=17{mod(32)}
2^{4(2k+1)}=16^(2k+1)=16(256)^k=0{mod(32)}
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(mod32)
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=(3^{2(2k+1)}+2^{2(2k+1)})(3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)})-1≧3^6+2^6-1>16
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=32m+16=16(2m+1)
となる自然数mがあるから
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(2m+1)は平方数ではない

n=(2^j)(2k+1),j≧3,k≧0となる自然数jと整数kがあるとき

3^{(2^j)(2k+1)}=(3^{2^j})^(2k+1)=(3^{2^j})(9^{2^j})^k=1+2^(j+2){mod(2^(j+3))}
2^{(2^j)(2k+1)}=(2^{2^j})^(2k+1)=(2^{2^j})(4^{2^j})^k=0{mod(2^{j+3})}
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=2^(j+2){mod(2^{j+3})}
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}
となる自然数mがあるから
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}は平方数ではない

n=1
n=2
n=4

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52582 / ResNo.3)

　Re[2]: 平方数

□投稿者/ 孫子一般人(3回)-(2024/07/21(Sun) 16:45:11)

ありがとうございました。
とても参考になりました。

解決済み!

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