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| ■52302 / 親記事) |
これだけで求められるの？
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□投稿者/ 無糖 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 20:45:49)
 | 0以上の実数から0以上の実数への関数fが
0≦x<yをみたす任意の実数x,yに対して
f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)}
をみたしています。
f(0)=1のときf(5)は何になるのでしょうか？
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
| ■52303 / ResNo.1) |
Re[1]: これだけで求められるの？
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□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2023/09/08(Fri) 01:47:12)
| 粗く考えたところf(5)=0でないといけないようですが、
きちんとした証明はできていません。
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| ■52305 / ResNo.2) |
Re[1]: これだけで求められるの？
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□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2023/09/08(Fri) 21:58:32)
| 証明できました。
f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} から
f(x)^2≧f(y)^2 なので
f(x)は広義単調減少
またf(x)が広義単調減少であれば
f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} ⇔ f(x)^2≧(y-x)f(y)
なので、以下では広義単調減少を前提として
f(y)≦f(x)^2/(y-x) … (1)
について考える。
(1)で
(x,y)=(0,2)とすると f(2)≦f(0)^2/2=1/2
(x,y)=(2,3)とすると f(3)≦f(2)^2≦1/4
(x,y)=(3,7/2)とすると f(7/2)≦f(3)^2/(1/2)≦1/8
(x,y)=(7/2,15/4)とすると f(15/4)≦f(7/2)^2/(1/4)≦1/16
(x,y)=(15/4,31/8)とすると f(31/8)≦f(15/4)^2/(1/8)≦1/32
(x,y)=(31/8,63/16)とすると f(63/16)≦f(31/8)^2/(1/16)≦1/64
・・・
(x,y)=(4-1/2^n,4-1/2^(n+1))とすると
f(4-1/2^(n+1))≦f(4-1/2^n)^2/(1/2^(n+1))≦1/2^(n+3)
・・・
のようになるから、n→∞としてf(4)=0
f(x)は広義単調減少の非負値関数だから、x≧4のときf(x)=0となり、f(5)=0。
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| ■52306 / ResNo.3) |
Re[2]: これだけで求められるの？
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□投稿者/ 無糖 一般人(2回)-(2023/09/09(Sat) 15:28:57)
| すごい…ありがとうございます。
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25)