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■52591 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 避暑一般人(1回)-(2024/08/06(Tue) 14:53:34)

実数x,yに対して
2(x^2+1)(y^2+1)≧3(x+y)
が成り立つことの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52592 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2024/08/06(Tue) 16:43:06)

(左辺)-(右辺)をxについて整理し平方完成する方針でいくと
2(x^2+1)(y^2+1)-3(x+y)
=2(y^2+1)x^2-3x+(2y^2-3y+2)
={x√{2(y^2+1)}-3/√{8(y^2+1)}}^2-9/(8(y^2+1))+(2y^2-3y+2)
={x√{2(y^2+1)}-3/√{8(y^2+1)}}^2+(16y^4-24y^3+32y^2-24y+7)/(8(y^2+1))
={x√{2(y^2+1)}-3/√{8(y^2+1)}}^2+{(4y^2-3y)^2+5(2y-1)^2+2(y-1)^2+y^2}/(8(y^2+1))
≧0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52594 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ 避暑一般人(2回)-(2024/08/08(Thu) 11:25:40)

大変参考になりました。
有難うございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52596 / ResNo.3)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ muturajcp 一般人(4回)-(2024/08/10(Sat) 10:15:14)

へいほうかんせい
2(x^2+1)(y^2+1)-3(x+y)
=2(x^2+1)(y-3/{4(x^2+1)})^2+{(4x^2-3x)^2+23(x-12/23)^2+17/23}/{8(x^2+1)}>0

858×694 => 250×202

m2024080415.jpg/75KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]

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■52566 / 親記事)

　平方数

□投稿者/ 孫子一般人(1回)-(2024/07/10(Wed) 12:30:22)

自然数nで3^n-2^n-1が平方数となるものをすべて求めたいのでお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52569 / ResNo.1)

　Re[1]: 平方数

□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2024/07/14(Sun) 17:05:55)

3^n-2^n-1
n=1のとき
3^1-2^1-1=3-2-1=0は平方数
n=2のとき
3^2-2^2-1=9-4-1=4は平方数
n=4のとき
3^4-2^4-1=81-16-1=64は平方数

nが3以上の奇数のとき
n=2k+1となる自然数kがある
3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
となる整数mがあるから
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

nが6以上の偶数のとき
n=2kとなる自然数kがある
3^(2k)-2^(2k)-1
が平方数であると仮定すると
3^(2k)-2^(2k)-1=x^2
となる整数xがある
3^(2k)-2^(2k)=1+x^2
(3^k+2^k)(3^k-2^k)=1+x^2
右辺1+x^2は実数の範囲で分解できない既約多項式
3^k+2^k>3^k-2^k>0だから
3^k-2^k=1でなければならないから
k=1
n=2となってn≧6に矛盾するから
3^(2k)-2^(2k)-1
は平方数ではないから

n=1
n=2
n=4

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52570 / ResNo.2)

　Re[1]: 平方数

□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2024/07/14(Sun) 19:11:26)

訂正です

3^n-2^n-1
n=1のとき
3^1-2^1-1=3-2-1=0
n=2のとき
3^2-2^2-1=9-4-1=4
n=4のとき
3^4-2^4-1=81-16-1=64

nが3以上の奇数のとき
n=2k+1となる自然数kがある
3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
となる整数mがあるから
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

n=2(2k+1)となる自然数kがあるとき
3^{2(2k+1)}=9^(2k+1)=9(81^k)=9(16*5+1)^k=9(mod16)
2^{2(2k+1)}=4^(2k+1)=4(16^k)=0(mod16)
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(mod16)
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=16m+8=8(2m+1)
となる整数mがあるから
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(2m+1)は平方数ではない

n=4(2k+1)となる自然数kがあるとき
3^{4(2k+1)}=81^(2k+1)=81(6561)^k=(32*2+17)(205*32+1)^k=17{mod(32)}
2^{4(2k+1)}=16^(2k+1)=16(256)^k=0{mod(32)}
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(mod32)
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=(3^{2(2k+1)}+2^{2(2k+1)})(3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)})-1≧3^6+2^6-1>16
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=32m+16=16(2m+1)
となる自然数mがあるから
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(2m+1)は平方数ではない

n=(2^j)(2k+1),j≧3,k≧0となる自然数jと整数kがあるとき

3^{(2^j)(2k+1)}=(3^{2^j})^(2k+1)=(3^{2^j})(9^{2^j})^k=1+2^(j+2){mod(2^(j+3))}
2^{(2^j)(2k+1)}=(2^{2^j})^(2k+1)=(2^{2^j})(4^{2^j})^k=0{mod(2^{j+3})}
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=2^(j+2){mod(2^{j+3})}
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}
となる自然数mがあるから
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}は平方数ではない

n=1
n=2
n=4

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■52582 / ResNo.3)

　Re[2]: 平方数

□投稿者/ 孫子一般人(3回)-(2024/07/21(Sun) 16:45:11)

ありがとうございました。
とても参考になりました。

解決済み!

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■52547 / 親記事)

　体

□投稿者/ 身一般人(1回)-(2024/06/18(Tue) 23:27:24)

$2$\mathbb{Q} \left( \sqrt2 +\sqrt3 \right)= \mathbb{Q} \left( \sqrt2 +a\sqrt3 \right)$
となる $2$a\in \mathbb{Q}$ をすべて求めるにはどうすればいいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52548 / ResNo.1)

　Re[1]: 体

□投稿者/ ahoo 一般人(3回)-(2024/06/19(Wed) 21:43:34)

$2$\forall a\,\in\,\mathbb{Q}$ に対して明らかに $2$\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}),\qquad \therefore \mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$ だが, 逆に
$2$\sqrt{2}\,=\,((\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})^2\,+\,2\,-\,3\,a^2)/(2(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}))\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\qquad(\forall a\,\in\,\mathbb{Q}),$
$2$\sqrt{3}\,=\,((\sqrt{2}\,+a\,\sqrt{3})^2\,+\,3\,a^2\,-\,2)/(2\,a(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}))\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\qquad(\forall a(a\,\in\,\mathbb{Q}\;\wedge\;a\,\ne\,0)$
だから $2$a\,\ne\,0$ のとき $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\,\subset\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}).\qquad\therefore \mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}).$ (とくに $2$a\,=\,1$ として $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3})\,=\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$ )
だから, 結局 $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3})\;\Longleftrightarrow\;a\,\ne\,0\;(\in\,\mathbb{Q}).$

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52549 / ResNo.2)

　Re[2]: 体

□投稿者/ ahoo 一般人(4回)-(2024/06/19(Wed) 22:19:30)

式はもっと直截的に
　 $2$\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3}\; =\; \frac{(a\ +\ 1)(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3})^2\ +\ (2\ -\ 3\,a^2)(a\ -\ 1)}{2\,a(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3})}\;\in\;\mathbb{Q}(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3}),$
　 $2$\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3}\;=\;\frac{(a\ +\ 1)(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})^2\ +\ (a\ - \ 1)}{2(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})}\;\in\;\mathbb{Q}(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})$
でもいいが.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52550 / ResNo.3)

　Re[3]: 体

□投稿者/ 身一般人(2回)-(2024/06/20(Thu) 10:25:07)

納得です！ありがとうございます！

解決済み!

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■52539 / 親記事)

　部分分数分解

□投稿者/ ぶぶんぶん一般人(1回)-(2024/06/10(Mon) 12:19:33)

1/(x^n-1)の部分分数分解ってどうやるのでしょうか？
nは正の整数で、複素数範囲です。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52540 / ResNo.1)

　Re[1]: 部分分数分解

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 14:12:29)

小さいnで試してみたところ、
(1/n)Σ[k=0～n-1]{exp(2kπi/n)/(x-exp(2kπi/n))}
のように分解できるようです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52541 / ResNo.2)

　Re[2]: 部分分数分解

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 16:15:56)

横から失礼します。

1/(x^n-1)=Σ[k=0～n-1]a[k]/{x-exp(2kπi/n)}
と部分分数分解できるとすると
a[k]=lim[x→exp(2kπi/n)]{x-exp(2kπi/n)}/(x^n-1)
∴f(z)=z^n
とすると、(複素関数の範囲での)微分係数の定義により
a[k]=1/f'(exp(2kπi/n))=1/{n{exp(2kπi/n)}^(n-1)}
=(1/n)exp(2kπi/n)
∴1/(x^n-1)=(1/n)Σ[k=0～n-1]{exp(2kπi/n)}/{x-exp(2kπi/n)}

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■52542 / ResNo.3)

　Re[3]: 部分分数分解

□投稿者/ ぶぶんぶん一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 18:45:10)

ありがとうございます。
理解できました。

解決済み!

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■52468 / 親記事)

　logの計算

□投稿者/ robo 一般人(1回)-(2024/02/10(Sat) 23:32:18)

log((1+0.776)/(1-0.776))/2
の答えは1.035だそうです。
電卓で計算すると、約0.45になるのですが、何が間違っているのでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52469 / ResNo.1)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ WIZ 一般人(22回)-(2024/02/10(Sat) 23:53:29)

2024/02/11(Sun) 09:37:54 編集(投稿者)

常用対数(底が10)だと0.4495･･･
自然対数(底がe ≒ 2.718281828･･･)だと1.0352･･･
となります。

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■52470 / ResNo.2)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2024/02/11(Sun) 00:02:16)

電卓のlogは普通常用対数ですから、「log」の代わりに「ln」を使いましょう。

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■52471 / ResNo.3)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ robo 一般人(3回)-(2024/02/11(Sun) 00:42:15)

ありがとうございました。

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