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■50762 / 親記事)

　数的推理

□投稿者/ 教えて一般人(1回)-(2021/05/01(Sat) 11:56:56)

異なる自然数A，B，C，D（A＞B＞C＞D）があり，このうち2つの数の差をすべての組合せについて求めると，それらは互いに異なる。
（A－D）の値が最も小さくなるとき，（A－B）の取りうる値のみをすべて挙げているものは次のうちどれか。
１．1
２．2
３．1，2
４．1，3
５．1，2，4

教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50763 / ResNo.1)

　Re[1]: 数的推理

□投稿者/ らすかる一般人(42回)-(2021/05/01(Sat) 12:44:16)

「2つの数の差」は全部で4C2=6通りありますので
A-Dは少なくとも6以上です。
もしA-D=6の場合が存在するならばA=7,D=1である解があります。
すべての差が異なる数でなければなりませんので、BもCも4にはできません。
BもCも4より小さいとするとB=3,C=2,D=1となり「すべての差が異なる」を
満たしませんので不適です。BもCも4より大きいとしても同様です。
よって7＞B＞4＞C＞1でなければなりません。
B=6のとき、7-6=1,6-1=5から差「1」「5」が生じます。
B=5のとき、7-5=2,5-1=4から差「2」「4」が生じます。
C=3のとき、7-3=4,3-1=2から差「2」「4」が生じます。
C=2のとき、7-2=5,2-1=1から差「1」「5」が生じます。
よって(B,C)=(6,3)(5,2)のように組み合わせればB-C=3となり、
すべての差が網羅されて条件を満たすことがわかります。
従って条件を満たす組み合わせは
(A,B,C,D)=(D+6,D+5,D+2,D),(D+6,D+4,D+1,D)
の2通りですから、A-Bは1または2となり、3が答えとなります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50766 / ResNo.2)

　Re[2]: 数的推理

□投稿者/ 教えて一般人(2回)-(2021/05/01(Sat) 15:42:22)

有り難うございました。

解決済み!

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■50744 / 親記事)

　1/xについて

□投稿者/ e^x氏一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 12:45:20)

2021/04/23(Fri) 16:20:03 編集(投稿者)

0<x<1のとき1/xをlogxでべき級数に展開するにはどうすればよいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50748 / ResNo.1)

　Re[1]: 1/xについて

□投稿者/ 極限一般人(8回)-(2021/04/23(Fri) 14:14:43)

y = log(x)とおくと、1/x = exp(-y)ですね。

すると「1/xをlog(x)でべき級数に展開する」は「exp(-y)をyでべき級数に展開する」と言い換えられるので、よく知られている通り

exp(-y) = Σ[n=0→∞] {(-y)^n}/(n!)

です。xを陽に含む形でかけば

1/x = Σ[n=0→∞] {(-log(x))^n}/(n!)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50750 / ResNo.2)

　Re[2]: 1/xについて

□投稿者/ e^x氏一般人(2回)-(2021/04/23(Fri) 15:48:20)

なるほどです。
ありがとうございました。

解決済み!

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■50732 / 親記事)

　因数分解

□投稿者/ megumi 一般人(3回)-(2021/04/21(Wed) 16:53:58)

行列式
(L-3　-2　　1)
(-2　 L-3　 1)
(-2　　1　 L-3)
を1行で展開すると

(L-3)( (L-3)^2 - 1 ) + 2(-2(L-3)) + 2) + (-2 + 2(L-3) )
= (L-3)(L-3)^2 - (L-3) - 4(L-3) + 4 - 2 + 2(L-3)
= (L-3)( L^2-6L+9 - 1 - 4 + 2 ) + 2
= (L-3)( L^2-6L+6 ) + 2
= L^3-6L^2+6L - 3L^2+18L-18 + 2
= L^3-9L^2+24L-16
　これを因数分解する。
　　　　L^2-8L+16
　　　　─────────
　(L-1)| L^3-9L^2+24L-16
　　　　 L^3-L^2
　　　　 ----------------
　　　　　　-8L^2+24L-16
　　　　　　-8L^2+8L
　　　　 ----------------
　　　　　　　　　16L-16
L^3-9L^2+24L-16 = (L-1)(L^2-8L+16) = (L-1)(L-4)^2

因数分解でもっと気の利いた解き方はありませんか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50734 / ResNo.1)

　Re[1]: 因数分解

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2021/04/21(Wed) 18:52:36)

2021/04/21(Wed) 19:06:16 編集(投稿者)

以下の操作を行列式に行います。
(1)
1行目から2行目を引く
(2)
1行目からL-1を行列式の外に括り出す。
(3)
2行目から3行目を引く。
(4)
2行目からL-4を行列式の外に括り出す。
(5)
1行目を2行目、3行目に足す。
(6)
2列目で余因子展開する。

注)
飽くまで1例です。
コツは行、列の足し引きによって
(i)変数部をできるだけ括り出す。
(ii)0を2行、又は2列並ぶようにする
です。
詳しくは線形代数学の参考書で
行列式の例題の模範解答をどうぞ。

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■50735 / ResNo.2)

　Re[2]: 因数分解

□投稿者/ megumi 一般人(4回)-(2021/04/21(Wed) 20:06:40)

ああ、行列のほうを操作するのですね。ありがとうございました。

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■50714 / 親記事)

　√の問題

□投稿者/ 許して一般人(1回)-(2021/04/19(Mon) 07:33:31)

2021/04/19(Mon) 08:46:37 編集(投稿者)

(1) a>0, b>0 のとき √a+2√b>√(a+4b) を示せ。
(2) √14-√10>√15-√11 を示せ。

という問題なのですが、(2)は(1)を使うとうまく解けたりするのでしょうか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50715 / ResNo.1)

　Re[1]: √の問題

□投稿者/ らすかる一般人(33回)-(2021/04/19(Mon) 14:17:40)

(2)には(1)が使えない気がします。

(1)
√a+2√b=√{(√a+2√b)^2}
=√{a+4b+4√(ab)}＞√(a+4b)

(2)
(√14+√11)^2=25+2√154＞25+2√150=(√15+√10)^2から
√14+√11＞√15+√10なので
√14-√10＞√15-√11

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■50717 / ResNo.2)

　Re[2]: √の問題

□投稿者/ 許して一般人(2回)-(2021/04/19(Mon) 21:33:32)

ありがとうこざいます

解決済み!

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■50704 / 親記事)

　tanと自然数

□投稿者/ こうさく一般人(1回)-(2021/04/16(Fri) 01:25:26)

自然数m,nは、
tanα=1/m,tanβ=1/n
を満たす角度α,βをとると
tan(α+β)が整数になるという。
m,nを求めよ。

教えて下さい。

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■50705 / ResNo.1)

　Re[1]: tanと自然数

□投稿者/ らすかる一般人(29回)-(2021/04/16(Fri) 06:46:37)

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(1/m+1/n)/{1-(1/m)(1/n)}
=(m+n)/(mn-1)
少なくとも(分母)≦(分子)でなければならないので
mn-1≦m+n
mn-m-n-1≦0
mn-m-n+1≦2
(m-1)(n-1)≦2
m=1のときtan(α+β)=(n+1)/(n-1)=1+2/(n-1)となるのでn=2,3
n=1のときも同様にm=2,3
m＞1かつn＞1のとき、(m-1)(n-1)≦2を満たす自然数(m,n)の組は
(2,2),(2,3),(3,2)だが、このうち(2,2)は(m+n)/(mn-1)が整数とならず不適。
他はすべて条件を満たすので、求める答えは
(m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

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■50706 / ResNo.2)

　Re[2]: tanと自然数

□投稿者/ こうさく一般人(2回)-(2021/04/16(Fri) 08:38:01)

ありがとうございます！！

解決済み!

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