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■50275 / 親記事)

　正射影再び（笑）

□投稿者/ あすなろ一般人(3回)-(2020/04/11(Sat) 11:38:47)

　50272の問題自体は正三角形から二等辺三角形の変形ですから、教えていただいた回答自体は一応納得できたのですが、正射影したとき、本当にそうなるのか直感的にはわかりづらいものがあります。
　この問題は図のような正三角形を描いた紙を真上から見ながら、直線DEを回転軸として回転させたら、上から見たときBC、ACが二等辺三角形になる瞬間があることと同じと考えていいのでしょうか？
　いま、回転式の鏡に貼り付けて真上から撮影しているのですが、なかなかうまくいきません（笑）。

913×684 => 250×187

1586572727.png/21KB

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■50277 / ResNo.1)

　Re[1]: 正射影再び（笑）

□投稿者/ らすかる一般人(10回)-(2020/04/11(Sat) 13:09:08)

図の正三角形が、正三角形の状態以外でBC=ACになることがあるか、
という質問なら、なることはありません。
なぜなら、回転軸に対して角度が大きい直線ほど
回転したときの縮小率が大きくなるからです。
よって正三角形以外の状態では常にAC＜AB＜BCとなります。

計算式で考えると、次のようになります。
Cを通りDEと平行な直線とA,BからDEにそれぞれ下した垂線の交点をP,Qとすると
AC=√(AP^2+CP^2)、BC=√(BQ^2+CQ^2)ですね。
このうち、CP,CQつまり水平成分は回転によって変わらず、
AP,BQつまり垂直成分が|cosθ|を掛けた長さになります。
すなわち
ACを回転すると√{(APcosθ)^2+CP^2}
BCを回転すると√{(BQcosθ)^2+CQ^2}
となるわけですね。
AC=BCなのでAP^2+CP^2=BQ^2+CQ^2ですが
AP＞BQ,|cosθ|＜1のとき
{(BQcosθ)^2+CQ^2}-{(APcosθ)^2+CP^2}
=(BQ^2-AP^2)(cosθ)^2+(CQ^2-CP^2)
=(BQ^2-AP^2)(cosθ)^2+(AP^2-BQ^2)
=(AP^2-BQ^2){1-(cosθ)^2}＞0
よって
(BQcosθ)^2+CQ^2＞(APcosθ)^2+CP^2
∴BC＞AC
のようになります。

従って、正三角形を回転して二等辺三角形になるためには
2辺の回転軸に対する角度が同じ、つまり1辺が回転軸に垂直または平行
でなければいけないことがわかります。
逆に、1辺が回転軸に垂直または平行の場合に
回転して常に二等辺三角形になることは、
直感的に明らかですね。

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■50278 / ResNo.2)

　Re[2]: 正射影再び（笑）

□投稿者/ あすなろ一般人(4回)-(2020/04/11(Sat) 14:59:56)

　回答ありがとうございます。
　いま時間がないので、あとでじっくり読ませていただきます。ちょっと自分が勘違いしていたこともあったので、それも併せてもう一度よく考えてみます。

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■50279 / ResNo.3)

　Re[3]: 正射影再び（笑）

□投稿者/ あすなろ一般人(5回)-(2020/04/11(Sat) 19:30:55)

　遅くなりました。

　元の問題を見る限り、回転する台に描かれた正三角形の辺 AB は回転軸 DE に垂直になっていません。少なくとも、そう見えません（笑）。このため、正三角形の描き方は任意でも二等辺三角形に正射影されることもあるのかなあと思い込んでしまいました。
　しかしそうではなく、問題の
　　「正射影によりB'C'=C'A'になる」
という条件から、台に描かれる正三角形の辺 AB は回転軸 DE に垂直になることを見抜く必要があった・・・という理解でよろしいでしょうか？

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■50280 / ResNo.4)

　Re[4]: 正射影再び（笑）

□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2020/04/11(Sat) 20:38:46)

はい、その通りです。

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■50269 / 親記事)

　なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ おすまん一般人(1回)-(2020/04/04(Sat) 19:24:59)

＃受験生を卒業して30年経っています。

ベクトルの問題の「定石」「鉄則」「初手」は2乗で、たしかにそれで解けるのですが、どうして2乗するのでしょうね？　2乗することで、内積がでてきて、それが橋渡しになることもわかるのですが、改めて考えると、「天下り」以外の何者でもないような…　2乗して得られる内積の意味も？？です。

添付の問題(1)(iii) も、余弦定理を使っての解答のほうが100倍腹落ちするのですが、問題では2次元（または3次元ベクトル）と明記されていないので、平面図形（だけ）で考えて良いのか…

そもそも、図形の問題でベクトルを使うのは、図形的な意味を全く考えず、単に「数式」として問題を解くことと割り切ることが大前提なのでしょうか？

上手く疑問をお伝えできていないと思いますが、ご推察いただければありがたいです。

720×720 => 250×250

m71950919277_2.jpg/48KB

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50270 / ResNo.1)

　Re[1]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ おすまん一般人(2回)-(2020/04/04(Sat) 19:32:30)

＃すみません、最後の文章を間違えてました。

正）そもそも、ベクトルの問題は、図形的な意味を全く考えず、単に「数式」として問題を解くことと割り切ることが大前提なのでしょうか？

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■50321 / ResNo.2)

　Re[2]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ マスコリ一般人(1回)-(2020/04/25(Sat) 21:41:41)

大学数学を学ぶと分かるのですが、空間に”内積”という情報を与えることによって、その空間は距離や角度や大きさなどといった幾何学的な情報を持つ（それを距離空間、などと呼んだりする）ようにできるのです。どのようなものが”内積”として適切かは考えたいものによって違いますし、もちろん”内積”の与え方によって空間の距離の情報も変わっていきます。
その中でも特に性質のよいものが、”ユークリッド距離”と呼ばれるもので、高校数学までで自然と使っている座標平面（または座標空間）上の距離にあたるものです。”ユークリッド距離”を与えるのに必要な内積が、まさに高校数学で教えられる”内積”にあたるのです。
ユークリッド距離の何が性質がよいかといわれるといろいろあるのですが、「直感的な距離と合致している」というものもその一つでしょう。そしてこれこそが高校生にとって内積というものの存在をより薄くしていると思います。つまり距離は直感的にわかるし計算できてしまう＆内積を後から習う　ことによって内積って結局何なの？みたいになってしまうのだと思います。
内積を使わずに空間内の距離を出してしまうことも別に間違いではありません。それができるのがユークリッド空間のいいところでもあると思います。しかし、「空間内に内積を導入することにより幾何学的な情報を与える」、という風に解釈することにより、数学の世界がとても大きく広がるのです。ユークリッド空間はその広い数学の世界の中でもとても特別なものなのだと解釈していただければ。（ちょっと違うかもしれませんが、四角形というたくさんの集まりの中で、特別な存在”正方形”、みたいな感じです(笑)）
もし興味があれば、”位相”という概念に触れた本を少し読んでみるといいですよ！

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■50322 / ResNo.3)

　Re[1]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ マスコリ一般人(3回)-(2020/04/25(Sat) 22:22:28)

二乗というところに疑問を持っておられたので少し補足をすると、2乗という操作は
”内積”から”距離”を決めるときの定義がそうだからですね。内積の中身によって少し変わりますが。
これもやはり詳しく知りたい場合は位相の本を読むのがおすすめです！（ここですべて話すのは難しいです、、）

この話から分かるように、まあ天下りだといえば天下りだとは思いますね、、。しかししょうがない話で張ると思います。数学の広い世界につなげるにはどうしてもこの内積というものが必要になってくるのです。
なので、高校生なりにもつかめるような内積のイメージをかみ砕いて伝えられれば良いのですけどね、、、
教区的にいろいろと見直すべき問題をはらんでいると思います。

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■50323 / ResNo.4)

　Re[2]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ おすまん一般人(3回)-(2020/04/26(Sun) 03:19:08)

マスコリさま

ご指導、ありがとうございますm(_ _)m
距離、位相という用語から、あるサイトにたどり着きました。
（URLが貼れないです…　「物理のかぎしっぽ」という（有名な？）サイトです。）

理解がなかなか進みませんが、挫けずに頑張ります！
ありがとうございましたm(_ _)mｘ１００
またご指導いただけますと幸甚でございますm(_ _)m

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■50226 / 親記事)

　極大と変曲

□投稿者/ ブリリアンto 一般人(1回)-(2020/03/03(Tue) 12:10:37)

この問題を教えて下さい。

f(x)=e^(kx)*sin(x) (0<x<π) とする。
f(x)の極大点のy座標をp、f(x)の変曲点のy座標をqとする。
lim[k→∞]q/pの値を求めよ。

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■50228 / ResNo.1)

　Re[1]: 極大と変曲

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 13:28:01)

極大値をとるxはf'(x)=0からksinx+cosx=0なのでx=π-arctan(1/k)
変曲点のxはf''(x)=0からk^2sinx+2kcosx-sinx=0なのでx=π-arctan(2k/(k^2-1))
よって
p=e^(k(π-arctan(1/k)))*sin(π-arctan(1/k))
=e^(k(π-arctan(1/k)))/√(k^2+1)
q=e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))*sin(π-arctan(2k/(k^2-1)))
=2ke^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/(k^2+1)
∴q/p={2k/√(k^2+1)}{e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))}
lim[k→∞]2k/√(k^2+1)=2
loglim[k→∞]e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))
=lim[k→∞]log{e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))}
=lim[k→∞]k(π-arctan(2k/(k^2-1)))-k(π-arctan(1/k))
=lim[k→∞]karctan(1/k)-karctan(2k/(k^2-1))
=lim[k→∞]{k(1/k)}{(1/k)/arctan(1/k)}-{k・2k/(k^2-1)}{(2k/(k^2-1))/arctan(2k/(k^2-1))}
=-1
から
lim[k→∞]e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))=1/e
∴lim[k→∞]q/p=2/e

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■50230 / ResNo.2)

　Re[2]: 極大と変曲

□投稿者/ ブリリアンto 一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 16:30:28)

ありがとうございます。

高校生向けの問題なのでarctanが出ないように解けますでしょうか？

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■50231 / ResNo.3)

　Re[3]: 極大と変曲

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 18:24:38)

極大値をとるxをuとするとf'(u)=0からksinu+cosu=0なのでtanu=-1/k
変曲点のxをvとするとf''(v)=0からk^2sinv+2kcosv-sinv=0なのでtanv=-2k/(k^2-1)
よって
p=e^(ku)*sinu=e^(ku)/√(k^2+1)
q=e^(kv)*sinv=2ke^(kv)/(k^2+1)
∴q/p={2k/√(k^2+1)}{e^(kv)/e^(ku)}
lim[k→∞]2k/√(k^2+1)=2
loglim[k→∞]e^(kv)/e^(ku)
=lim[k→∞]log{e^(kv)/e^(ku)}
=lim[k→∞]kv-ku
=lim[k→∞]k(v/tanv)tanv-k(u/tanu)tanu
=lim[k→∞]k(v/tanv)(-2k/(k^2-1))-k(u/tanu)(-1/k)
=-1
から
lim[k→∞]e^(kv)/e^(ku)=1/e
∴lim[k→∞]q/p=2/e

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■50232 / ResNo.4)

　Re[4]: 極大と変曲

□投稿者/ ブリリアンto 一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 19:32:49)

ありがとうございます。
とても感謝しております。

解決済み!

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■50223 / 親記事)

　sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(1回)-(2020/03/01(Sun) 17:55:55)

自然数nと0＜r＜1、0＜θ＜πをみたす実数r、θに対して
Σ[k=1→n] r^(2k-1) * sin((2k-1)θ) ＞0
が成り立つことの証明を教えて下さい。

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■50224 / ResNo.1)

　Re[1]: sinの不等式

□投稿者/ m 一般人(3回)-(2020/03/02(Mon) 23:46:05)

複素数やオイラーの公式は使っていいですか。

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■50225 / ResNo.2)

　Re[2]: sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 10:05:08)

大丈夫です、お願いします。

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■50229 / ResNo.3)

　Re[3]: sinの不等式

□投稿者/ m 一般人(4回)-(2020/03/03(Tue) 13:57:54)

2020/03/03(Tue) 14:17:56 編集(投稿者)
2020/03/03(Tue) 14:16:27 編集(投稿者)

$2$0<r<1, \ 0 \lt \theta \lt \pi/2$ で示せば十分。
（∵
$2$\theta = \pi/2$ のときは $2$\sum r^{2k-1}>0$ となって成立
$2$\pi/2 \lt \theta \lt \pi$ のとき $2$\sin \theta = \sin (\pi - \theta)$ より $2$0 \lt \theta \lt \pi/2$ に帰着
）

複素平面で考える。

$2$ z = r e^{i \theta} \\ P_n = \begin{cases} \sum_{k=1}^n z^{2k-1} & (n \geq 0) \\ - z^{-1} & (n=-1) \end{cases} \\ Q_n = P(n-1) + z^{2n-1}/r^2 \\ R_n = P(n-1) + (1-r^2) z^{2n-1}$
と定める。

$2$P_n$ の虚部 $2$Im(P_n) = \sum_{k=1}^n r^{2k-1} \sin (2k-1) \theta \gt 0$ を示す。

三点 $2$P_{n-1}, P_n, Q_{n+1}$ を通る円を $2$C_n$ 、その内側を $2$D_n$ とする。

次の3つを示せばいい。

(1) $2$P_{n+1} \in D_n \ (n \geq 0)$

(2) $2$D_{n+1} \subset D_n \ (n \geq 0)$

(3) $2$D_0 \subset$ (上半平面 $2$ = \{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) \gt 0 \}$ )

証明：
図 ttps://www.geogebra.org/classic/uvhyd27f

(1)
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
よって $2$P_{n+1} \in D_n$

(2)
$2$ \angle P_n P_{n+1} Q_{n+2} = \pi - 2 \theta = \angle R_n P_n P_{n+1} \\ r^{2n+1} = |P_{n+1} Q_{n+2}| = |P_n P_{n+1}| = |R_n P_n|$
より円 $2$C_{n+1}$ は三点 $2$R_n, P_n, P_{n+1}$ を通る。

点 $2$R_n$ は線分 $2$P_{n-1} P_n$ の内分点
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
だから（点 $2$P_n$ と $2$C_{n+1}, C_n$ の中心が順に同一直線上に並んで、半径は $2$C_{n+1}$ の方が短いことが言えるから）
$2$D_{n+1} \subset D_n$

(3)
$2$ P_0 = 0, \\ Q_1 + P_{-1} = (e^{i \theta} -e^{- i \theta})/r = 2 i \sin \theta /r$
より、 $2$C_0$ の中心は虚軸正にある。原点を通るから上半平面にある。

もしかしたら、もっと簡単にできるかもしれません。
" $2$\angle ABC$ "は角ABCの意味です。（"\angle"がうまく変換されない。）

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■50233 / ResNo.4)

　Re[4]: sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 22:02:31)

有り難うございました。
図も付けていただいて、よく理解できました。
こんなに発想力がいる問題とは思いませんでした。

解決済み!

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■52468 / 親記事)

　logの計算

□投稿者/ robo 一般人(1回)-(2024/02/10(Sat) 23:32:18)

log((1+0.776)/(1-0.776))/2
の答えは1.035だそうです。
電卓で計算すると、約0.45になるのですが、何が間違っているのでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52469 / ResNo.1)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ WIZ 一般人(22回)-(2024/02/10(Sat) 23:53:29)

2024/02/11(Sun) 09:37:54 編集(投稿者)

常用対数(底が10)だと0.4495･･･
自然対数(底がe ≒ 2.718281828･･･)だと1.0352･･･
となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52470 / ResNo.2)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2024/02/11(Sun) 00:02:16)

電卓のlogは普通常用対数ですから、「log」の代わりに「ln」を使いましょう。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52471 / ResNo.3)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ robo 一般人(3回)-(2024/02/11(Sun) 00:42:15)

ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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