| ■51136 / ResNo.2) |
Re[1]: 必要十分条件
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□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2021/08/26(Thu) 23:24:51)
 | 必要条件、十分条件を論ずるなら、
XはYであるための必要条件
XはYであるための十分条件
という形でなければなりませんが、質問のは
Xは十分条件
Yは必要条件
となっていて、*のための、がすっかり抜け落ちていて意味不明です。
実数xに関する条件P(x) (xに実数を代入する毎に真偽が決まるもの）について、
「すべてのxについてP(x)である」ならば「P(0)である」
という（真なる）命題を考えているわけですね。
「P(0)である」であるためには、「すべてのxについてP(x)である」であれば十分です（P(0)だけ成立するかどうかだけ分かればいいけど、全部の実数で成立してるとわかるならそれでもいい）
「すべてのxについてP(x)である」であるためには「P(0)である」ことは必要（不可欠）です（すべてのxについてP(x)がいえるか知りたい。P(0)だけが成立しても正しいかどうかはわからないが、P(0)が成立しないなら、「すべてのxについてP(x)」が成立しない、という意味でP(0)の成立は必要）
これはとても自然な文章に思いますが、いかがですか？
ちなみに、普通の？必要条件、十分条件とは、条件P(x),Q(x)について、
「すべてのxについて、『P(x)ならばQ(x)』」
という命題を考えて、これが真の場合に
P(x)はQ(x)であるための十分条件、
Q(x)はP(x)であるための必要条件、
というのでした。
なお、この命題のことを高校数学では
P(x)ならばQ(x)
さらに、xも省略して
PならばQ
などと書いています。
さらに、条件を考える場合は全体集合を最初に決めること、とも書かれています。
ここでは全体集合は実数全体としておきます。
以上を踏まえて、なぜこう呼ぶかをおさらいします。
これら条件P,Qはxの性質と思った方がよくて、Pという性質をもっているかどうか知りたい、が、分かるのはQという性質をもっているかどうかだ、という状況の時に
「Pであるためには、Qであることは」を使います。
(1) Pかどうか知りたい時、もし、「Qであることが分かったら、Pであることが必ず言える」なら、Qがいえれば（Pといえるので）十分だ、と使います。
(2) Pかどうか知りたい時、もし、「Qでないことが分かったら、絶対にPであるとは言えない」のであれば、Qは絶対に必要な性質ですから、Qは（Pが成立するために）必要だ、と使います。
Qであることが分かったならPであるといえる、とは QならばPのことですし、
QでないことがいえたらPでないといえるのは（対偶をとれば) PならばQ のことです。
このように考えると、{x|Q(x)}⊂|x|P(x)} が成立している時に、QはPであるための十分条件、PはQであるための必要条件、ということになっているのです。
最後に、質問の命題はP(x)ならばQ(x)の形ではない（すべてのx、を使って書くなら『「すべてのxについてP(x)」ならば「すべてのxについて、x=0ならばP(x)」』ですが、すべてのxについて「P(x)⇒Q(x)」の形にはできません）ので、真理集合を考えること自体が無意味です。
＃らすかるさんの集合はxの条件Pに関するものの集合で、{P|すべてのxについてP(x)が真} と {P|P(0)が真} とを比べています。
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25)
