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■52702 / 親記事) 　フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(1回)-(2025/03/04(Tue) 13:39:28)
    ※X^n+Y^n=Z^nのnは、4または奇素数の倍数なので、4と奇素数の場合を考える。　

    ※AB=CDが成り立つならば、A=kCのとき、B=D/kとなる。(A,B,C,Dは式)



    n=4のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

    X^4+Y^4=Z^4をy^4=(x+1)^4-x^4…(1)とおく。(y,xは有理数)

    (1)を(y-1)(y^3+y^2+y+1)=4(x^3+(3/2)x^2+x)…(2)とおく。

    (2)は(y-1)=4のとき、xに4および、6を代入しても、成り立たない。

    よって、(y-1)=k4のとき、(y^3+y^2+y+1)=(x^3+(3/2)x^2+x)/kとならない。

    ∴n=4のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。



    nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

    X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)

    (1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。

    (2)は(y-1)=nのとき、左辺は奇数、右辺は偶数となるので、成り立たない。

    よって、(y-1)=knのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)/kとならない。

    ∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス69件(ResNo.65-69 表示)]
■52783 / ResNo.65) 　Re[29]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(49回)-(2025/03/19(Wed) 23:21:48)
    nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
    X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
    (2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)≠(x^(n-1)+…+x)となる。
    また、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)≠kn(x^(n-1)+…+x)/k…(3)となる。
    (3)は(y-1)=knのとき、(y^(n-1)+…+y+1)≠(x^(n-1)+…+x)/kとなる。
    ∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52806 / ResNo.66) 　Re[30]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 付き人(52回)-(2025/04/05(Sat) 21:06:36)
    n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
    X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y+1)=k2x/k…(2)とおく。
    (2)はk=1のとき、成立つので、k=1以外でも成立つ。
    ∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52807 / ResNo.67) 　Re[31]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 付き人(53回)-(2025/04/05(Sat) 21:07:43)
    n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
    X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/k…(2)とおく。
    (2)はk=1のとき、成立たないので、k=1以外でも成立たない。
    ∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52808 / ResNo.68) 　Re[32]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 付き人(54回)-(2025/04/05(Sat) 21:08:34)
    nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
    X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/k…(2)とおく。
    (2)はk=1のとき、成立たないので、k=1以外でも成立たない。
    ∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52809 / ResNo.69) 　Re[33]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 付き人(55回)-(2025/04/05(Sat) 21:11:02)
    3*4=k3*4/kはk=1のとき、成立つので、k=1以外でも成立つ。
    3*4=k3*5/kはk=1のとき、成立たないので、k=1以外でも成立たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50214 / 親記事) 　フェルマーの最終定理の簡単な証明9
□投稿者/ 日高 一般人(3回)-(2020/02/12(Wed) 09:22:33)
    ご指摘おねがいします。
1240×1754 => 177×250

1581466953.png/26KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス25件(ResNo.21-25 表示)]
■50412 / ResNo.21) 　Re[18]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
□投稿者/ 日高 一般人(9回)-(2020/07/16(Thu) 08:18:52)
    【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
    【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
    (1)の両辺を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
    (2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
    (3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
    (2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(4)となる。
    (4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
    (5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、rが有理数のときの解は整数比とならない。
    ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50413 / ResNo.22) 　Re[19]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
□投稿者/ 日高 一般人(10回)-(2020/07/16(Thu) 08:20:37)
    【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
    【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
    (1)の両辺を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=2x…(2)となる。
    (2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
    (3)はrが有理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比となる。
    (2)はr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(4)となる。
    (4)はr=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(5)となる。
    (5)の解は(3)の解のa倍となるので、rが有理数のときの解は、整数比となる。
    ∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50414 / ResNo.23) 　Re[20]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
□投稿者/ 屁留真亜 一般人(6回)-(2020/07/16(Thu) 23:13:37)
    　ここは数学の質問するための掲示板です。数学漫才や数学落語のネタを議論したいのであれば、あなたのホームグラウンドである

    ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569999945/

    へお帰りください。以降屑のような投稿はお控えください。

    　暇を持て余しているのなら、今回の大雨で大災害を被った地域でボランティアでもしてください。
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■50422 / ResNo.24) 　Re[10]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
□投稿者/ 日高 一般人(11回)-(2020/08/03(Mon) 11:24:47)
    (修正6)
    【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
    【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+y^3=(x+r)^3…(1)とする。
    (1)は積の形にすると、r^2{(y/r)^3-1}=a3{x^(p-1)+x}(1/a)…(2)となる。
    (2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+y^3=(x+3^{1/2})^3…(3)となる。
    (2)はa=1以外、r^2=a3のとき、x^3+y^3=(x+(a3)^{1/2})^3…(4)となる。
    (3)はrが無理数なので、有理数解を持たない。
    (4)はrが自然数のとき、(4)の解は、(3)の解のa^{1/2}倍となるので、有理数解を持たない。
    ∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50423 / ResNo.25) 　Re[11]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
□投稿者/ 日高 一般人(12回)-(2020/08/03(Mon) 16:05:38)
    (修正6)
    【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
    【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
    (1)は積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
    (2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^3…(3)となる。
    (2)はa=1以外、r^2=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
    (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。
    (4)はrが自然数のとき、(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、自然数解を持つ。
    ∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
    例
    (2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^3…(3)となる。
    y=10/3を代入すると、x=16/9、z=34/9
    (2)はa=1以外、r^2=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
    (4)はrが自然数のとき、(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、自然数解を持つ。
    a2=9のとき、a=9/2
    (16/9*9/2)^2+(10/3*9/2)^2=(16/9*9/2+9)^2
    8^2+15^2=17^2

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■51997 / 親記事) 　円を30度回転させた場合の結果が見たい。
□投稿者/ えっぴ〜 一般人(1回)-(2022/10/25(Tue) 21:00:06)
    円の公式は原点の場合、x^2+y^2=0です。
    原点ではない場合、(x−a)2+(y−b)2=r2です。
    円の例えば、x^2+(y-3000)^2+3000^2の円があって、
    それを30度回転させた場合、どのような結果になりますか。
    途中式も併せてお答えください。
1152×783 => 250×169

1666699206.png/9KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス17件(ResNo.13-17 表示)]
■52011 / ResNo.13) 　Re[13]: 円を30度回転させた場合の結果が見たい。
□投稿者/ えっぴ〜 一般人(9回)-(2022/10/27(Thu) 07:01:21)
    (0,a)を中心として(0,0)を左にb°回転した場合、x値はどのように変動するかです。
    変数でお答えください。
1152×783 => 250×169

1666821681.png/9KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52012 / ResNo.14) 　Re[14]: 円を30度回転させた場合の結果が見たい。
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2022/10/27(Thu) 07:08:05)
    「x値」とは何のことですか？

    # 値がaやbなどの変数で与えられれば必然的に変数で答えるしかありませんので、
    # 「変数でお答えください」という要望は書かなくて大丈夫です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52013 / ResNo.15) 　Re[15]: 円を30度回転させた場合の結果が見たい。
□投稿者/ えっぴ〜 一般人(10回)-(2022/10/27(Thu) 07:11:19)
    (0,a)を中心として(0,0)を左にb°回転した場合、x値はどのように変動するかです。
    変数でお答えください。→訂正、x値→x座標のことです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52014 / ResNo.16) 　Re[16]: 円を30度回転させた場合の結果が見たい。
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2022/10/27(Thu) 07:24:29)
    (0,0)を回転した後のx座標を聞いているのですか？
    それであれば既に52008で
    > (0,a)を中心として(0,0)を左にb°回転すると(a×sin(b°),a-a×cos(b°))に移る
    と回答したように、移動先の点の
    x座標は a×sin(b°)
    y座標は a-a×cos(b°)
    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52015 / ResNo.17) 　Re[17]: 円を30度回転させた場合の結果が見たい。
□投稿者/ えっぴ〜 一般人(11回)-(2022/10/27(Thu) 09:21:52)
    ありがとうございます。
    傾きをy=ax+bといった具合に、数値を文字であらわすことを変数というのですネ。
    勉強になりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50719 / 親記事) 　期待値
□投稿者/ ゴリラ 一般人(1回)-(2021/04/20(Tue) 14:32:17)
    点Pは時刻0で正四面体のある頂点に位置し、1秒ごとに位置している頂点にとどまるか、
    位置している頂点から他の3頂点のいずれかに動くかを、等しい確率で選択し実行する。
    このとき、時刻0から時刻nまでの間に、点Pが現れた異なる頂点の数の期待値を求めよ。
    ただしnは1以上の整数とする。

    この問題なのですが、期待値E[n]の漸化式を立てて解くことは出来ますか？
    E[n+1]をE[n]で表したいです。n+1秒を考えるときPの最初の動きで場合分けして
    時刻1にPが位置している頂点にとどまればその後はE[n]/4ですよね。
    時刻1にPが確率3/4で他の頂点にうつったときをE[n]で表せますか？

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス13件(ResNo.9-13 表示)]
■50728 / ResNo.9) 　Re[9]: 期待値
□投稿者/ らすかる 一般人(37回)-(2021/04/21(Wed) 00:26:58)
    そうですね。
    どちらかというと、「私には難しい」と考えているのではなく、
    「この手のものは今までの経験から考えて「不可能」である可能性が高い」
    （つまりどんな数学者が考えてもできないと思われる）と考えています。
    ・bはE[n]と直接関係ありそうな値ではない
    ・E[n]とE[n-1]からも導ける気がしない
    ・E[1]〜E[n]を全部使えば導ける可能性はあるが、
    その式を作るのも困難な上に、作った漸化式も解ける気がしない
    ・よって、普通に考えて無理。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50729 / ResNo.10) 　Re[10]: 期待値
□投稿者/ ゴリラ 一般人(7回)-(2021/04/21(Wed) 00:35:13) 
    分かりました。有難うございます。

他の解法に興味が移ってきました。
こちらについても教えてください。

時刻nまでにk(k=1,2,3,4)個の頂点に位置した確率をそれぞれp_1,p_2,p_3,p_4とします。
求めたい期待値は
p_1+2*p_2+3*p_3+4*p_4
=
p_1 +
p_2 + p_2 +
p_3 + p_3 + p_3 + 
p_4 + p_4 + p_4 + p_4

なので、4=4*(p_1+p_2+p_3+p_4)から

      p_1 + p_1 + p_1
          + p_2 + p_2
                + p_3

を引けばいいわけですよね？
これって簡単に計算できますか？

横ではなく縦に足すと
p_1 + p_2 + p_3 = 3頂点 "以下" に位置した確率
p_1 + p_2       = 2頂点 "以下" に位置した確率
などとなって、うまく計算できるような気もするのですが…わかりませんでした。
最終的な答えとすり合わせると、この値が大変簡明な姿になることは分かっているのですが、
どうすればそうなるのか思いつかなくてもやもやです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50730 / ResNo.11) 　Re[11]: 期待値
□投稿者/ らすかる 一般人(38回)-(2021/04/21(Wed) 02:41:40)
    時刻nまでに1頂点(以下)に位置した確率は、
    時刻nまで動かない確率なので(1/4)^nです。
    時刻nまでに2頂点以下に位置した確率は、
    正四面体OABC（時刻0でPがいる頂点がO）において
    AにもBにも行かない確率は(1/2)^n
    BにもCにも行かない確率は(1/2)^n
    CにもAにも行かない確率は(1/2)^n
    この3つを足すと「Oから移動しない確率」が3回足されて
    重複してしまいますので、その分を引けば
    2頂点以下に位置した確率は3・(1/2)^n-2・(1/4)^n
    と計算されます。
    時刻nまでに3頂点以下に位置した確率は、
    Aに行かない確率は(3/4)^n
    Bに行かない確率は(3/4)^n
    Cに行かない確率は(3/4)^n
    これを足すと「2頂点以下」3通りがそれぞれ2重複しますのでそれを引いて
    引きすぎた1頂点の確率を足すことにより
    3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n
    と計算されます。
    よって「1頂点」+「2頂点以下」+「3頂点以下」
    ={(1/4)^n}+{3・(1/2)^n-2・(1/4)^n}+{3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n}
    =3・(3/4)^n
    となります。

    しかし上記の計算は重複分の考慮がやや難しい（混乱しやすい）ので、
    以下のように（"以下"にせずに）具体的に考えた方が確実のような気がします。
    時刻nまでに
    Oのみ (1/4)^n
    OとA (1/2)^n-(1/4)^n
    OとB、OとCも同じ
    OとAとB (3/4)^n-2{(1/2)^n-(1/4)^n}-(1/4)^n=(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n
    OとBとC、OとCとAも同じ
    よって期待値は
    4-3・(1/4)^n-2・3{(1/2)^n-(1/4)^n}-1・3{(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n}
    =4-3(3/4)^n

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50731 / ResNo.12) 　Re[12]: 期待値
□投稿者/ name 一般人(1回)-(2021/04/21(Wed) 14:13:59)

    あ

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50736 / ResNo.13) 　Re[12]: 期待値
□投稿者/ ゴリラ 一般人(8回)-(2021/04/21(Wed) 20:19:11)
    3^(n+1)/4^nがすっきりしているので期待してしまいました。
    ありがとうございました。
解決済み!
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■記事リスト / ▲上のスレッド
■52627 / 親記事) 　フェルマーの最終定理の普通の証明
□投稿者/ 真龍 一般人(1回)-(2024/11/04(Mon) 15:45:03)
    X^3+Y^3=Z^3は自然数解を持たない。
    X^3+Y^3=Z^3をｙ^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
    (2)は(y-1)=3とおくと、21=(x^2+x)となるので、成り立たない。
    よって、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成り立たない。
    ∴X^3+Y^3=Z^3は自然数解を持たない。
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▽[全レス10件(ResNo.6-10 表示)]
■52634 / ResNo.6) 　Re[3]: フェルマーの最終定理の普通の証明
□投稿者/ 真龍 一般人(5回)-(2024/11/05(Tue) 12:53:53)
    ■No52630に返信(真龍さんの記事)
    > X^2+Y^2=Z^2は自然数解を無数に持つ。
    > X^2+Y^2=Z^2をｙ^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
    > (1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
    > (2)は(y-1)=2とおくと、(3+1)=xとなるので、成り立つ。
    > よって、(y-1)(y+1)=k2x/kも成り立つ。
    > ∴X^2+Y^2=Z^2は自然数解を無数に持つ。

    k=2
    (y-1)=4,y=5
    6=x/2,x=12
    5^2=13^2-12^2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52635 / ResNo.7) 　Re[3]: フェルマーの最終定理の普通の証明
□投稿者/ 真龍 一般人(6回)-(2024/11/05(Tue) 14:00:53)
    ■No52630に返信(真龍さんの記事)
    > X^2+Y^2=Z^2は自然数解を無数に持つ。
    > X^2+Y^2=Z^2をｙ^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
    > (1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
    > (2)は(y-1)=2とおくと、(3+1)=xとなるので、成り立つ。
    > よって、(y-1)(y+1)=k2x/kも成り立つ。
    > ∴X^2+Y^2=Z^2は自然数解を無数に持つ。

    k=3/2
    (y-1)=3,y=4
    5=x/(3/2),x=5(3/2)=15/2
    4^2={(15/2)+1}^2-(15/2)^2
    分母を払うと、
    8^2=17^2-15^2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52636 / ResNo.8) 　Re[1]: フェルマーの最終定理の普通の証明
□投稿者/ 真龍 一般人(7回)-(2024/11/05(Tue) 17:47:43)
    ■No52627に返信(真龍さんの記事)
    > X^3+Y^3=Z^3は自然数解を持たない。
    > X^3+Y^3=Z^3をｙ^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
    > (1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
    > (2)は(y-1)=3とおくと、21=(x^2+x)となるので、成り立たない。
    > よって、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成り立たない。
    > ∴X^3+Y^3=Z^3は自然数解を持たない。
    ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
    k=2
    (y-1)(y^2+y+1)=2*3(x^2+x)/2
    (y-1)=6より、y=7
    (7^2+7+1)=(x^2+x)/2
    2(7^2+7+1)=(x^2+x)は偶数=偶数となるが、
    ab=cdが成り立たないならば、ab=kcd/kも成り立たない。より、
    (7^2+7+1)=(x^2+x)/2は成り立たない。
    114≠(x^2+x)
    (x^2+x)=110
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52637 / ResNo.9) 　Re[2]: フェルマーの最終定理の普通の証明
□投稿者/ 真龍 一般人(8回)-(2024/11/05(Tue) 19:30:29)
    ※ab=cdが成り立つならば、ab=kcd/kも成り立つ。
    ※ab=cdが成り立たないならば、ab=kcd/kも成り立たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52638 / ResNo.10) 　Re[3]: フェルマーの最終定理の普通の証明
□投稿者/ 真龍 一般人(9回)-(2024/11/06(Wed) 10:59:13)
    (y-1)(y^(n-1)+…+1)=n(x^(n-1)+…)が成り立つならば、
    (y-1)(y^(n-1)+…+1)=kn(x^(n-1)+…)/kも成り立つ。…(A)

    (y-1)(y^(n-1)+…+1)=n(x^(n-1)+…)が成り立たないならば、
    (y-1)(y^(n-1)+…+1)=kn(x^(n-1)+…)/kも成り立たない。…(B)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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