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■52299 / 親記事) 　係数
□投稿者/ 係数 一般人(1回)-(2023/09/06(Wed) 19:33:15)
    Σ[k=0,∞](5x-3x^2)^kを展開して整理してa[0]+a[1]x+a[2]x^2+…+a[n]x^n+…
    と表した時の係数a[n]はどのような式で表されるのか教えて下さい。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■52300 / ResNo.1) 　Re[1]: 係数
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 00:25:22)
    2023/09/08(Fri) 00:22:54 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    また、xの値に関わらず(5x-3x^2)^0 = 1とします。

    Σ[k=0,∞]{(5x-3x^2)^k} = 1/{1-(5x-3x^2)}ですから、
    f(x) = 1/(3x^2-5x+1)と置けば、a[0], a[1], ・・・はf(x)のマクローリン展開の係数となり、
    a[0] = f(0)/(0!), a[1] = f'(0)/(1!), a[2] = f''(0)/(2!), ・・・となります。

    nを非負整数として、f(x)のn階導関数をf[n](x)と表すことにします。
    f[0](x)はf(x)自身です。すると、a[n] = f[n](0)/(n!)となりますね。

    # おそらく質問者さんは、a[n]をもっと具体的なnの式で表すことを期待されていると思うので、
    # 上記の回答では期待外れでしょうけど。
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■52304 / ResNo.2) 　Re[2]: 係数
□投稿者/ 係数 一般人(2回)-(2023/09/08(Fri) 15:25:38)
    ありがとうございます。ちなみにですが、a[n]>0になることって簡単に分かったりしますか？
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■52308 / ResNo.3) 　Re[1]: 係数
□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2023/09/11(Mon) 00:18:25)
    3x^2-5x+1 = 0とおくと、x = (5±√13)/6ですので、
    u = (5+√13)/6, v = (5-√13)/6とすれば、3x^2-5x+1 = 3(x-u)(x-v)です。

    よって、
    1/(3x^2-5x+1) = 1/{3(x-u)(x-v)}
    = (1/(3(u-v))){1/(x-u)-1/(x-v)}
    = (1/√13){(1/v)/(1-x/v)-(1/u)/(1-x/u)}
    = (1/√13){3u/(1-3ux)-3v/(1-3vx)}
    = (3/√13){uΣ[k=0,∞]((3ux)^k)-vΣ[k=0,∞]((3vx)^k)}
    = (3/√13)Σ[k=0,∞]{(3^k)((u^(k+1))-(v^(k+1)))(x^k)}

    但し、xの値に関わらずx^0 = 1とします。
    以上から、自然数nに対してa[n] = {((3u)^(n+1))-((3v)^(n+1))}/√13となります。
    u > 1 > v > 0なので、(u^(n+1))-(v^(n+1)) > 0ですので、a[n] > 0と言えそうです。

    # 計算間違いしている可能性もあるので、質問者さんの方で良く検算してみてください。
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■52309 / ResNo.4) 　私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください！
□投稿者/ Lambda Winner ＠ 一般人(1回)-(2023/09/11(Mon) 15:09:57)
http://xolotto.com/ja/
    私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください！ ハハハ、エッセイをたくさん書くように言ってもいいけど、数字を見ると頭が自動的に痛くなるみたい。 とにかく高校の時、係数を勉強した記憶があって すごく大変でした。
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■52302 / 親記事) 　これだけで求められるの？
□投稿者/ 無糖 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 20:45:49)
    0以上の実数から0以上の実数への関数fが
    0≦x<yをみたす任意の実数x,yに対して
    f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)}
    をみたしています。
    f(0)=1のときf(5)は何になるのでしょうか？
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52303 / ResNo.1) 　Re[1]: これだけで求められるの？
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2023/09/08(Fri) 01:47:12)
    粗く考えたところf(5)=0でないといけないようですが、
    きちんとした証明はできていません。
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■52305 / ResNo.2) 　Re[1]: これだけで求められるの？
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2023/09/08(Fri) 21:58:32)
    証明できました。
    f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} から
    f(x)^2≧f(y)^2 なので
    f(x)は広義単調減少
    またf(x)が広義単調減少であれば
    f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} ⇔ f(x)^2≧(y-x)f(y)
    なので、以下では広義単調減少を前提として
    f(y)≦f(x)^2/(y-x) … (1)
    について考える。

    (1)で
    (x,y)=(0,2)とすると f(2)≦f(0)^2/2=1/2
    (x,y)=(2,3)とすると f(3)≦f(2)^2≦1/4
    (x,y)=(3,7/2)とすると f(7/2)≦f(3)^2/(1/2)≦1/8
    (x,y)=(7/2,15/4)とすると f(15/4)≦f(7/2)^2/(1/4)≦1/16
    (x,y)=(15/4,31/8)とすると f(31/8)≦f(15/4)^2/(1/8)≦1/32
    (x,y)=(31/8,63/16)とすると f(63/16)≦f(31/8)^2/(1/16)≦1/64
    ・・・
    (x,y)=(4-1/2^n,4-1/2^(n+1))とすると
    f(4-1/2^(n+1))≦f(4-1/2^n)^2/(1/2^(n+1))≦1/2^(n+3)
    ・・・
    のようになるから、n→∞としてf(4)=0
    f(x)は広義単調減少の非負値関数だから、x≧4のときf(x)=0となり、f(5)=0。

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■52306 / ResNo.3) 　Re[2]: これだけで求められるの？
□投稿者/ 無糖 一般人(2回)-(2023/09/09(Sat) 15:28:57)
    すごい…ありがとうございます。
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■52296 / 親記事) 　不等式
□投稿者/ アルナルディ 一般人(1回)-(2023/09/05(Tue) 03:44:09)
    -1<a,b,c<1のとき(a+b+c)^2+3>(ab+bc+ca)^2+3(abc)^2の証明教えて下さい
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52297 / ResNo.1) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2023/09/05(Tue) 05:09:10)
    (左辺)-(右辺)
    =(1-a^2){(b+c)^2+b^2c^2+1}+(1-b^2){(c+a)^2+c^2a^2+1}+(1-c^2){(a+b)^2+a^2b^2+1}
    ＞0
    で言えますね。

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■52298 / ResNo.2) 　Re[2]: 不等式
□投稿者/ アルナルディ 一般人(2回)-(2023/09/05(Tue) 08:57:11)
    このような複雑な式変形全く思いもつきませんでした
    ありがとうございました
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■52280 / 親記事) 　期待値
□投稿者/ ハリス 一般人(1回)-(2023/09/01(Fri) 11:25:45)
    2023/09/01(Fri) 17:25:13 編集(投稿者)

    nを正の整数とします。
    0以上n以下の整数を無作為に1つ選び記録するという試行を繰り返します。
    第k回目の試行において記録された整数をa_kとします(k=1,2,3,...)。
    a_1, a_2, a_3, a_4, ......, a_k, ...... について、
    初めてa_{k-1}<a_kとなる番号kの期待値と、
    そのときのa_kの期待値を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52294 / ResNo.1) 　Re[1]: 期待値
□投稿者/ at 一般人(1回)-(2023/09/03(Sun) 10:10:53)
    a_{k-1}<a_k となるような最初のkをXとすると、Xの期待値E(X)は、
    E(X)
    =Σ[j=1〜∞]j*P(X=j)
    =Σ[j=1〜∞]([h=1〜j]1)*P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞][j=h〜∞]P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞]P(X≧h)
    =Σ[h=0〜∞]P(X>h)
    =Σ[h=0〜∞]C[n+h,h]*(1/(n+1))^h
    =((n+1)^n)*Σ[h=0〜∞]C[n+h,n]*(1/(n+1))^(n+h)
    =((n+1)^n)*((1/(n+1))^n)/(1-(1/(n+1)))^(n+1)
    =((n+1)/n)^(n+1).

    a_{k-1}<a_k となるような最初のa_kをYとすると、Yの期待値E(Y)は、
    E(Y)
    =Σ[j=1〜n]j*P(Y=j)
    =Σ[j=1〜n]j*Σ[s=2〜∞](C[n+s-1,s-1]-C[n-j+s-1,s-1])/(n+1)^s
    =(((n+1)^n)/(n^(n+1)))*Σ[j=1〜n]j*(1-(n/(n+1))^j)
    =n+(n+1)*(1-(1/2)*((n+1)/n)^n).
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■52295 / ResNo.2) 　Re[2]: 期待値
□投稿者/ ハリス 一般人(2回)-(2023/09/04(Mon) 20:21:42)
    教えていただき、ありがとうございました。
解決済み!
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■52292 / 親記事) 　整数問題
□投稿者/ たま 一般人(1回)-(2023/09/02(Sat) 16:06:12)
    nは2以上の整数で1+2^n+4^nが素数であるとき、nの素因数を求めよ。

    教えてください。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52293 / ResNo.1) 　Re[1]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2023/09/03(Sun) 00:55:51)
    n=2,3,4,5,6,7,…に対して
    2^n≡4,1,2,4,1,2,… (mod 7)
    4^n≡2,1,4,2,1,4,… (mod 7)
    なのでn≡1,2 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡0 (mod 7)
    n≡0 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡3 (mod 7)
    またn=3のとき1+2^n+4^n=73で素数
    従って1+2^n+4^nが素数のときnは素因数3を持つ。

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