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■50374 / 親記事)  数列の一般項
□投稿者/ がじゅまる 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 19:27:16)
    a(1)=3,a(n+1)=a(n)^3-3a(n)という漸化式の数列の一般項を求める問題です。
    解き方を教えてください。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50375 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の一般項
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2020/06/17(Wed) 03:08:44)
    a[n]=2b[n]とおくと
    b[1]=3/2, b[n+1]=4(b[n])^3-3b[n]
    cosh(3x)=4(coshx)^3-3coshxなので
    x=arccosh(3/2)とおけば
    b[n]=cosh(3^(n-1)x)
    arccosh(3/2)=log((3+√5)/2)なので
    b[n]=cosh(3^(n-1)log((3+√5)/2))
    =cosh(log{((3+√5)/2)^(3^(n-1))})
    ={((3+√5)/2)^(3^(n-1))+1/((3+√5)/2)^(3^(n-1))}/2
    ={((3+√5)/2)^(3^(n-1))+((3-√5)/2)^(3^(n-1))}/2
    ∴a[n]=2b[n]=((3+√5)/2)^(3^(n-1))+((3-√5)/2)^(3^(n-1))

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50378 / ResNo.2)  Re[1]: 数列の一般項
□投稿者/ bon 一般人(1回)-(2020/06/18(Thu) 10:31:01)
    No50374に返信(がじゅまるさんの記事)
    > a(1)=3,a(n+1)=a(n)^3-3a(n)という漸化式の数列の一般項を求める問題です。
    > 解き方を教えてください。よろしくお願いします。

    らすかる氏の頭脳明晰に慄く ....
    がじゅまる様;どのような書籍に そのような 非線型漸化式が解説してありますか?
    他の 非線型漸化式問題達を 提示ください;

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50377 / 親記事)  統計学 二項分布
□投稿者/ 大学生 一般人(3回)-(2020/06/17(Wed) 23:32:55)
    統計学、二項分布についての問題が分かりません。

    @梅雨時の降雨確率が0.5のとき1週間で少なくとも一日は雨が降る確率P(x>=1)を求めよ。(xは1週間で雨の降った日数で0<=x<=7である。答えだけ分数で答えよ)

    A梅雨時の降雨確率が0.5のとき1週間で3日以上雨が降る確率P(x>=3)を求めよ。(xは1週間で雨の降った日数で0<=x<=7である。答えだけ分数で答えよ)

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■50371 / 親記事)  連立微分方程式
□投稿者/ gunma 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 15:15:36)
    x′1 =−5x1 +4x2,
    x′2 =−9x1 +7x2 +te^t
    解答をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50376 / ResNo.1)  Re[1]: 連立微分方程式
□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2020/06/17(Wed) 10:31:59)
    u = u(t) = x1(t), v = v(t) = x2(t) とおきます。

    u' = -5u+4v・・・・・(1)
    v' = -9u+7v+t(e^t)・・・・・(2)

    (1)より、
    v = (1/4)(u'+5u)・・・・・(3)
    v' = (1/4)(u''+5u')・・・・・(4)

    (3)(4)を(2)に代入して、
    (1/4)(u''+5u') = -9u+7(1/4)(u'+5u)+t(e^t)
    ⇒ u''+5u' = -36u+7(u'+5u)+4t(e^t)
    ⇒ u''-2u'+u = 4t(e^t)
    ⇒ (u''-u')-(u'-u) = 4t(e^t)
    ⇒ {(u'-u)(e^(-t))}' = 4t
    ⇒ (u'-u)(e^(-t)) = 2t^2+C (Cは積分定数)
    ⇒ {u(e^(-t))}' = 2t^2+C
    ⇒ u(e^(-t)) = (2/3)t^3+Ct+D (Dは積分定数)
    ⇒ u = (e^t){(2/3)t^3+Ct+D}

    検算
    u' = (e^t){(2/3)t^3+Ct+D}+(e^t){2t^2+C} = (e^t){(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}
    u'' = (e^t){(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+(e^t){2t^2+4t+C} = (e^t){(2/3)t^3+4t^2+(C+4)t+2C+D}
    {u''-2u'+u}(e^(-t)) = {(2/3)t^3+Ct+D}-2{(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+{(2/3)t^3+4t^2+(C+4)t+2C+D} = 4t
    OK!

    上記結果を(3)に代入して、
    v = (1/4)(e^t){{(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+5{(2/3)t^3+Ct+D}}
    = (1/4)(e^t){(12/3)t^3+2t^2+6Ct+C+6D}
    = (e^t){t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}

    検算
    v' = (e^t){t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}+(e^t){3t^2+t+(3/2)C}
    = (e^t){t^3+(7/2)t^2+(3C/2+1)t+(7C+6D)/4}

    -9u+7v+t(e^t) = (e^t){-9{(2/3)t^3+Ct+D}+7{t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}+t}
    = (e^t){-6t^3-9Ct-9D+7t^3+(7/2)t^2+(21/2)Ct+(7C+42D)/4+t}
    = (e^t){t^3+(7/2)t^2+(3C/2+1)t+(7C+6D)/4}
    OK!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50351 / 親記事)  連立方程式
□投稿者/ 連立 一般人(1回)-(2020/05/30(Sat) 21:11:17)
    a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3-3abc=1
    をみたす実数a,b,cの求め方を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50353 / ResNo.1)  Re[1]: 連立方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2020/05/31(Sun) 00:05:58)
    a+b+c=p, ab+bc+ca=qとおくと
    a^2+b^2+c^2=1 から p^2-2q=1
    a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}=1 から
    p(1-q)=1
    q=1-1/p
    p^2-2q=1に代入して
    p^2-2(1-1/p)=1
    p^2-3+2/p=0
    p^3-3p+2=0
    (p+2)(p-1)^2=0
    p=1,-2
    q=1-1/pから
    p=1のときq=0
    p=-2のときq=3/2

    (p,q)=(-2,3/2)のとき
    a+b+c=-2,ab+bc+ca=3/2
    このときa,b,cは三次方程式
    x^3+2x^2+(3/2)x+k=0
    の3解だが
    {x^3+2x^2+(3/2)x+k}'=3x^2+4x+3/2=3(x+2/3)^2+1/6>0から
    実数解一つ、虚数解二つなので不適。

    (p,q)=(1,0)のとき
    a+b+c=1,ab+bc+ca=0
    このときa,b,cは三次方程式
    x^3-x^2+k=0
    の3解。この三次方程式は0≦k≦4/27のときすべての解が実数解となる。
    この三次方程式を解いて、a,b,cは
    t+√(t(2-3t)), t-√(t(2-3t)), 1-2t (順不同)
    ただし1/6≦t≦1/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50354 / ResNo.2)  Re[2]: 連立方程式
□投稿者/ 連立 一般人(2回)-(2020/05/31(Sun) 23:41:13)
    ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50372 / ResNo.3)  Re[1]: 連立方程式
□投稿者/ dec 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 18:48:06)
    R^3に於ける 円 ?
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■50356 / 親記事)  解析学
□投稿者/ 通りすがり 一般人(1回)-(2020/06/02(Tue) 22:56:02)
    答えだけでなく、途中式も教えていただけると嬉しいです。

1125×396 => 250×88

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/90KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50357 / ResNo.1)  Re[1]: 解析学
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2020/06/03(Wed) 18:11:13)
    [2]のみ解説します。

    (1)
    x ≧ 0 だから 0 < 1/√(1+x^2) ≦ 1 です。
    逆正弦関数は主値のみを考えて、0 < Arcsin(1/√(1+x^2)) ≦ π/2 とします。

    f(x) = Arcsin(1/√(1+x^2))
    ⇒ sin(f(x)) = 1/√(1+x^2)
    0 < f(x) ≦ π/2 だから sin(f(x)) > 0 です。

    ⇒ 1/(sin(f(x))^2) = 1+x^2
    ⇒ {1-sin(f(x))^2}/(sin(f(x))^2) = (cos(f(x))/sin(f(x)))^2 = 1/(tan(f(x))^2) = x^2

    x ≧ 0 かつ 0 < f(x) ≦ π/2 だから tan(f(x)) > 0 なので、
    ⇒ 1/tan(f(x)) = x

    1/tan(f(x)) > 0 なので、上記式で x = 0 となることは不可能です。
    また tan(f(x)) という項があるので、f(x) = π/2 となることも不可能です。
    ・・・なので、以下では 0 < x かつ 0 < f(x) < π/2 として話しを進めます。
    x = 0 つまり f(x) = π/2 となるケースは別途考察します。

    ここで、0 < π/2-f(x) < π/2 とすれば、
    tan(f(x)) = sin(f(x))/cos(f(x)) = cos(π/2-f(x))/sin(π/2-f(x)) = 1/tan(π/2-f(x))
    なので、
    ⇒ tan(π/2-f(x)) = x
    ⇒ π/2-f(x) = Arctan(x)
    ⇒ f(x) = π/2-Arctan(x)

    よって、C = π/2 となります。
    上記最後の式は f(x) = π/2 かつ x = 0 でも成立します。

    (2)
    g(x) = x*Arctan(x)-log(1+x^2) とおきます。
    g(0) = 0 だから x = 0 で x*Arctan(x) ≧ log(1+x^2) は成立します。
    g(-x) = g(x) だから、結局 x > 0 のときに g(x) ≧ 0 が示せれば十分です。

    y = Arctan(x) とおくと、0 < y = Arctan(x) < π/2 であり、
    tan(y) = x かつ 1+x^2 = 1+tan(y)^2 = 1/(cos(y)^2) なので、
    g(x) = g(tan(y)) = y*tan(y)+2log(cos(y))
    (d/dy)g(x) = ((d/dx)g(x))(dx/dy) = tan(y)+y/(cos(y)^2)+2(-sin(y))/cos(y) = {y-sin(y)cos(y)}/(cos(y)^2)

    0 < y < π/2 だから sin(y)cos(y) < sin(y) < y であり、
    よって ((d/dx)g(x))(dx/dy) > 0 です。
    また、dx/dy = 1/(cos(y)^2) > 0 より、(d/dx)g(x) > 0 と言えます。

    以上から、g(0) = 0 かつ x > 0 で g'(x) > 0 より、x > 0 で g(x) > 0 です。

    # 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50368 / ResNo.2)  Re[1]: 解析学
□投稿者/ nomi 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 01:08:01)
    [1]の(1) のみヤリマス [他は ご自分で!]
    (-Log[2]+Log[3]/2)+1/8 (-4 Log[2]^2+Log[3]^2) x+O[x]^2 で コタエ」;-Log[2]+Log[3]/2=-(1/2) Log[4/3]
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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