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■52837 / 親記事)  sin(x)sin(x+1)<c
□投稿者/ イーライ 一般人(1回)-(2025/04/30(Wed) 00:13:28)
    sin(x/2)sin((x+1)/2)は積和の公式を使うなどすると
    xによらず上から2sin(1/2)(<1)でおさえられるのが分かるのですが、
    sin(x)sin(x+1)<c<1となるようなcって何かないでしょうか?
    2sin(1/2)のように手計算で評価できるものが希望です。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52839 / ResNo.1)  Re[1]: sin(x)sin(x+1)<c
□投稿者/ らすかる 一般人(19回)-(2025/04/30(Wed) 03:13:18)
    sin(x)sin(x+1)=(cos1-cos(2x+1))/2≦(cos1+1)/2≒0.77015
    なので、例えばc=7/9とすれば
    sin(x)sin(x+1)<c<1
    が成り立ちますね。

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■52840 / ResNo.2)  Re[2]: sin(x)sin(x+1)<c
□投稿者/ イーライ 一般人(2回)-(2025/04/30(Wed) 11:23:22)
    なるほど!ありがとう!
解決済み!
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■52818 / 親記事)  三角形の面積の大小
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2025/04/14(Mon) 23:58:51)
    43年前の学習院大学理学部の入試問題です。
    「△ABC,△A'B'C'を2つの鋭角三角形とする。このとき,

    AB<A’B', BC<B'C', CA<C'A' ならば △ABC<△A'B'C'

    であることを証明せよ。」

    の証明の過程として、c<c',a<a',b<b'とするとき,
        
           0<b^2+c^2-a^2<2bc かつ 0<b'^2+c'^2-a'^2<2b'c'

    △ABC=1/4・sqr{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2

    △A'B'C'=1/4・sqr{4b'^2c'^2-(b'^2+c'^2-a'^2)^2}

    とここまで求めたのですが,これから,△ABC<△A'B'C' であることをどう導いたらいいのか分かりません。ご教授お願いします。


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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■52820 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形の面積の大小
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2025/04/15(Tue) 01:31:10)
    その式からは導けません。
    例えば a=b=c=9, a'=b'=10,c'=19 は
    a<a', b<b', c<c',
    0<b^2+c^2-a^2<2bc かつ 0<b'^2+c'^2-a'^2<2b'c'
    を満たしますが、△ABC>△A'B'C'です。

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■52827 / ResNo.2)  Re[2]: 三角形の面積の大小
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2025/04/25(Fri) 19:17:11)
    らすかる様、ご指摘有り難うございます。
             
    2つの三角形がとも鋭角三角形であることから、0<b^2+c^2-a^2<2bc, 0<c^2+a^2-b^2<2ca, 0<c^2+b^2-c^2<2ac および,a',b',c'についても上と同様の等式 計6つの等式が成立し、これらと a<a',b<b', c<c'の条件から,2つの三角形の面積の大小を示したいのですが、出来ず悩んでいます。
    何か, アドバイス頂ければ幸いです。
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■52828 / ResNo.3)  Re[3]: 三角形の面積の大小
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2025/04/25(Fri) 19:19:50)
    文中, 不等式の間違いです。お許し下さい。
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■52836 / ResNo.4)  Re[1]: 三角形の面積の大小
□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2025/04/28(Mon) 10:04:18)
    2025/04/29(Tue) 14:33:24 編集(投稿者)

    a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, a' = |B'C'|, b' = |C'A'|, c' = |A'B'|と解釈します。

    (1)∠A' ≧ ∠Aまたは∠B' ≧ ∠Bの場合
    xy座標で、頂点Aと頂点A'を原点に重ねます。
    また、頂点Bと頂点B'をx軸上のx > 0の部分に置きます。

    頂点の座標は、A(0, 0), B(c, 0), A'(0, 0), B'(c', 0)となります。
    また、頂点Cの座標を(u, v)かつv > 0、頂点C'の座標を(u', v')かつv' > 0とします。
    |△ABC| = cv/2, |△A'B'C'| = c'v'/2となります。

    ∠A' ≧ ∠Aであれば、b' > bと合わせて、v' = b'*sin(A') > b*sin(A) = vとなます。
    ∠B' ≧ ∠Bであれば、a' > aと合わせて、v' = a'*sin(B') > a*sin(B) = vとなます。
    c' > cですから、c'v'/2 > cv/2といえます。

    (2)∠A' < ∠Aかつ∠B' < ∠Bの場合
    ∠C' = π-∠A'-∠B' > π-∠A-∠B = ∠Cとなります。

    xy座標で、頂点Cと頂点C'を原点に重ねます。
    また、頂点Aと頂点A'をx軸上のx > 0の部分に置きます。

    頂点の座標は、C(0, 0), A(b, 0), C'(0, 0), A'(b', 0)となります。
    また、頂点Bの座標を(p, q)かつq > 0、頂点B'の座標を(p', q')かつq' > 0とします。
    |△ABC| = bq/2, |△A'B'C'| = b'q'/2となります。

    a' > aかつ∠C' > ∠Cですので、q' = a'*sin(C') > a*sin(C) = qとなます。
    b' > bですから、b'q'/2 > bq/2といえます。

    以上から、いずれの場合も|△A'B'C'| > |△ABC|といえます。
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■52833 / 親記事)  4次多項式
□投稿者/ 扇風機つけた 一般人(1回)-(2025/04/27(Sun) 12:18:35)
    整数係数の既約な4次多項式f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
    が、任意の整数mに対してf(m)>0となるとします。
    このとき、任意の実数xに対してf(x)>0となりますか?
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52834 / ResNo.1)  Re[1]: 4次多項式
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2025/04/27(Sun) 12:51:04)
    なりません。
    f(x)=x^4-5x^2+5
    は任意の整数mに対してf(m)>0ですが、
    f(±3/2)<0です。
    ※-2と-1の間、1と2の間で負になりますが、x≦-2, -1≦x≦1, 2≦xでは正です

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■52835 / ResNo.2)  Re[2]: 4次多項式
□投稿者/ 扇風機つけた 一般人(2回)-(2025/04/27(Sun) 22:08:10)
    おっしゃる通りです。
    有難うございました。
解決済み!
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■52830 / 親記事)  偶数の約数
□投稿者/ はるたろう 一般人(1回)-(2025/04/27(Sun) 10:43:48)
    正の約数が5個以上ある正の偶数で、1と2以外の正の約数が全て合成数-1であるものは存在しますか?
    無数に存在しますか?教えて下さい。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52831 / ResNo.1)  Re[1]: 偶数の約数
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2025/04/27(Sun) 11:08:42)
    2×7^n(n≧2)が条件を満たしますので、無数に存在します。
    約数の7^k(k≧1)は1足すと偶数なので合成数です。
    約数の2×7^k(k≧1)は1足すと3の倍数なので合成数です。

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■52832 / ResNo.2)  Re[2]: 偶数の約数
□投稿者/ はるたろう 一般人(2回)-(2025/04/27(Sun) 11:18:45)
    なるほど、ありがとうございました。
解決済み!
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■52825 / 親記事)  青空学園数学科
□投稿者/ あおぞら 一般人(1回)-(2025/04/25(Fri) 08:18:50)
    青空学園数学科って消滅したんですか?
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