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■50674 / 親記事)  フィボナッチ数列について。
□投稿者/ メラゾーム 一般人(1回)-(2021/03/19(Fri) 03:07:39)
    フィボナッチ数列 F[1]=1, F[2]=1, F[n+2]=F[n+1]+F[n] (n≧1) について、
    F[n] (n≠5) が素数 ならば F[n] ≡ ±1 (mod n) であることを示してください。 よろしくお願いします。
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■50671 / 親記事)  導関数の定義について
□投稿者/ 7610 一般人(5回)-(2021/03/18(Thu) 04:36:38)
      www.maroon.dti.ne.
    jp/koten-kairo/works/fft/converge9.html
    にから拝借した画像に

      lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z = f'(z)|z=x ……(3)

    がf(z)の微分になるという説明があり、ちょっと混乱しています。
     フーリエ級数の収束定理そのものについての質問ではありません。
     (3) の z は x の変化ではなく、x はこの解説の流れでは定数扱いです。だから(3)の右辺にわざわざz=xを付記しているのは、実はf'(z)の一つである f'(x) のことなんだよということであれば、まあ納得がいくのですけど(笑)。

     通常導関数f(x)の定義は

      lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h = f'(x) ……※

    で定義されます。この場合変数はもちろん x で、h はその変化Δx を表しているはずです。つまり任意の x の位置から h だけ離れたところから h→0 としています。この h はどんな値でもいいはずですから定数だと思います。
     ※について上の(3)のスタイルを踏襲すれば

      lim[x→0]{f(x+h)-f(x)}/x = f'(x)|x=h

    とでもなりそうです。これは変化量 h を固定しておき、変数 x を x→0 とするわけですから、どう考えても f'(h) で、それを f'(x)|x=h のように表現するのだ・・・と考えていいのでしょうか。

930×658 => 250×176

1616009798.png
/105KB
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50672 / ResNo.1)  Re[1]: 導関数の定義について
□投稿者/ らすかる 一般人(19回)-(2021/03/18(Thu) 05:57:01)
    「lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z」の中のzと
    「= f'(z)|z=x」の中のzは別物です。
    ですから
    「lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z = f'(z)|z=x」は
    「lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h = f'(z)|z=x」や
    「lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z = f'(t)|t=x」のように書くのと全く同じ意味です。
    (limで極限に行く変数はlimの中だけのローカル変数で、外部の変数とは関係ありません。)

    > lim[x→0]{f(x+h)-f(x)}/x = f'(x)|x=h
    この式はおかしいです。
    例えばh=1ならば(分子)→f(1)-f(0)、(分母)→0ですから
    f(0)=f(1)でない限り発散してしまい、微分になりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50673 / ResNo.2)  Re[2]: 導関数の定義について
□投稿者/ 7610 一般人(6回)-(2021/03/18(Thu) 08:02:38)
     詳細な回答ありがとうございました。深く感謝いたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50669 / 親記事)  楕円曲線
□投稿者/ あほ 一般人(1回)-(2021/03/17(Wed) 17:55:49)
    楕円曲線
    P=aG(Gは楕円曲線上のベーシスポイント)としたときのaの数値の求め方
     aは整数で0<a<nただしn=min[k|kG=O,k>0)&#12315;となる
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50670 / ResNo.1)  Re[1]: 楕円曲線
□投稿者/ あほ 一般人(2回)-(2021/03/17(Wed) 17:56:38)
    No50669に返信(あほさんの記事)
    > 楕円曲線
    > P=aG(Gは楕円曲線上のベーシスポイント)としたときのaの数値の求め方
    >  aは整数で0<a<nただしn=min[k|kG=O,k>0)となる
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50662 / 親記事)  log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(1回)-(2021/03/09(Tue) 13:08:44)
    全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つような定数aの最小値が(9/10)^2未満であることを示したいです。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50663 / ResNo.1)  Re[1]: log(1+x)<√x
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2021/03/10(Wed) 04:20:14)
    全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つようなaの範囲は、
    y=log(1+x)とy=k√xが接するとしてk<aと表せますので、
    「定数aの最小値」は存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50664 / ResNo.2)  Re[2]: log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(2回)-(2021/03/10(Wed) 07:51:39)
    kが(9/10)^2未満であることは示せるでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50665 / ResNo.3)  Re[3]: log(1+x)<√x
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2021/03/10(Wed) 13:10:08)
    2021/03/10(Wed) 21:28:03 編集(投稿者)

    はい、示せます。

    f(x)=log(1+x), g(x)=k√x として
    y=f(x)とy=g(x)がx=t(t>0)で接するとすると
    f(t)=g(t)からlog(1+t)=k√t
    f'(t)=g'(t)から1/(1+t)=k/(2√t)すなわち(1+t)k=2√t
    2式からkを消去して整理すると
    log(1+t)=2t/(1+t)
    h(x)=2x/(1+x)とおくとh'(x)=2/(1+x)^2
    x<1のときh'(x)>f'(x)
    x=1のときh'(x)=f'(x)
    x>1のときh'(x)<f'(x)
    f(0)=h(0)=0, f(1)=log2<1=h(1), f(7)=log8>2>h(7)だから
    y=f(x)とy=h(x)は1<x<7の範囲に交点(t,log(1+t))がただ1つ存在し、
    0<x<tでf(x)<h(x)、t<xでf(x)>h(x)となる。

    34/7=1700/350<1701/350=243/50=4.86
    (34/7)^4<4.86^4=557.88550416<558
    (34/7)^17<558^4×4.86=471165046810.56
    e>2.718
    e^3>2.718^3=20.079290232>20
    e^27>20^9=512000000000
    ∴(34/7)^17<e^27
    34/7<e^(27/17)
    1+27/7<e^{2(27/7)/(1+27/7)}
    よってx=27/7のとき1+x<e^(2x/(1+x))なので
    log(1+x)<2x/(1+x)すなわちf(x)<h(x)
    f(x)<h(x)⇔0<x<tだったからt>27/7

    t>27/7から
    6561t>177147/7>25306
    6561t-13439>11867
    (6561t-13439)^2>11867^2=140825689>137560000
    (6561t-13439)^2-137560000>0
    43046721t^2-176346558t+43046721>0
    6561t^2-26878t+6561>0
    6561t^2+13122t+6561>40000t
    6561(1+t)^2>40000t
    4t/(1+t)^2<6561/10000
    2√t/(1+t)<81/100
    k=2√t/(1+t)だったから
    k<81/100=(9/10)^2

    (追記)
    ちなみにkはランベルトのW関数を使うと
    k=√{1-{W(-2/e^2)+1}^2}
    のように具体的な形で書き表すことができます。
    W(-2/e^2)=-0.40637573995995990767…なので
    k=0.80474234254941181120…となり、確かに
    k<81/100=(9/10)^2となっています。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50666 / ResNo.4)  Re[4]: log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(3回)-(2021/03/11(Thu) 20:11:47)
    ありがとうございました。
    計算が丁寧でとてもよく理解できました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50657 / 親記事)  円と3次関数
□投稿者/ sage 一般人(1回)-(2021/03/07(Sun) 23:06:46)
    xy平面上の様々の3次関数のうち
    x^2+y^2≦1
    との共通部分の長さが6より
    大きくなるものは存在しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50658 / ResNo.1)  Re[1]: 円と3次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2021/03/08(Mon) 03:35:27)
    存在します。
    y=4000001000.001x^3-3000x は単位円とちょうど2点で交わり、
    内部の長さが約6.00000017275です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50659 / ResNo.2)  Re[2]: 円と3次関数
□投稿者/ sage 一般人(2回)-(2021/03/08(Mon) 09:56:16)
    ありがとうございます。
    それはらすかる様が見つけられたもの
    の中で最も長いものなのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50660 / ResNo.3)  Re[3]: 円と3次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2021/03/08(Mon) 10:14:05)
    2021/03/08(Mon) 11:46:52 編集(投稿者)

    計算したいくつかの候補の中では最大です。
    y=ax^3-bxという形に絞り、bの値を決めて条件を満たすような最小のaを調べ、
    そのときの長さを計算する、という手順で探しましたが、
    計算した中で条件を満たすb=3000,6000,8000,10000の中ではb=3000のときが最大でした。
    b≦1000では6を超えないであろうこともわかっていますし、bは大きくてもダメなので
    1000<b<6000の中に最大値があるのではないかと思っています。
    b=2500とかb=3500などを計算すれば、もう少し大きいものは見つけられると思いますが、
    いずれにしても6.00000…にはなると思います。

    (追記)
    気になったので調べました。
    y=799946654.2808x^3-1754.3712186x
    の場合に約6.00000024368となりました。
    「最大になるのはy=ax^3-bxという形のとき」が
    正しければ、このあたりが最大値になると思います。

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■50661 / ResNo.4)  Re[4]: 円と3次関数
□投稿者/ sage 一般人(3回)-(2021/03/08(Mon) 19:45:42)
    ありがとうございました。
    とても参考になりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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