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■48787 / 親記事)  直角二等辺三角形と円の共通部分
□投稿者/ 北欧 一般人(1回)-(2018/09/03(Mon) 07:47:57)
    教えて下さい。

    △OABは∠O=90度、OA=OB=2の直角二等辺三角形である。
    Oを通りABに垂直である直線上に中心がある半径1の円と
    △OABの共通部分の面積は最大でいくらになるか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48788 / ResNo.1)  Re[1]: 直角二等辺三角形と円の共通部分
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2018/09/03(Mon) 13:20:09)
    ABの中点をCとし、DはOC上にありOD=1である点とすると、
    面積が最大になる時の円の中心Pは線分CD上のどこかになります。
    (∵PがDからCDの延長方向、あるいはCからDCの延長方向に
      移動すると明らかに面積が小さくなる)
    CP=x(0≦x≦√2-1)のとき、円がABを切り取る線分の長さは2√(1-x^2)、
    OA及びOBを切り取る線分の長さは√{(4√2)x-2x^2}であり
    前者は減少関数、後者は増加関数だから
    AB側にはみ出た部分の面積の減り方と
    OA,OB側にはみ出た部分の面積の増え方が等しいときに
    共通部分の面積が最大になる。
    xが凅増えた時にAB側にはみ出た部分の面積は凅・2√(1-x^2)減り、
    OA,OB側にはみ出た部分の面積は合計で(√2)凅・√{(4√2)x-2x^2}増えるから、
    凅・2√(1-x^2)=(√2)凅・√{(4√2)x-2x^2}を解いて得られる
    x=√2/4のときに面積が最大となり、その面積は
    π-∫[√2/4〜1]2√(1-x^2)dx-2∫[3/4〜1]2√(1-x^2)dx
    =√7/2+arctan(√7/5)

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■48789 / ResNo.2)  Re[2]: 直角二等辺三角形と円の共通部分
□投稿者/ 北欧 一般人(2回)-(2018/09/04(Tue) 09:15:49)
    とても分かりやすく教えていただき有り難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48774 / 親記事)  一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ モウフィス 一般人(1回)-(2018/08/31(Fri) 18:56:52)
    a,b,c,d,p,qは実数で、|ad-bc|=|pq|≠0をみたしている。
    xy平面上において|ax+by|≦|p|かつ|cx+dy|≦|q|をみたす
    点(x,y)全体からなる領域の面積を求めよ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48779 / ResNo.1)  Re[1]: 一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2018/08/31(Fri) 22:36:58)
    しっかり考えていませんのであまり自信がありませんが

    直線ax+by±p=0と原点との距離は
    点と直線の距離の公式により|p|/√(a^2+b^2)
    直線cx+dy±q=0と原点との距離は同様に|q|/√(c^2+d^2)
    cos(2直線のなす角)=|ac+bd|/{√(a^2+b^2)・√(c^2+d^2)}
    sin(2直線のなす角)=√{1-(ac+bd)^2/{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}
    =|ad-bc|/√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}
    なので、求める面積は
    2|p|/√(a^2+b^2)×2|q|/√(c^2+d^2)÷|ad-bc|/√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}
    =4|pq/(ad-bc)|

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■48784 / ResNo.2)  Re[2]: 一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ モウフィス 一般人(2回)-(2018/09/01(Sat) 20:53:59)
    4、ということですね。
    有難うございました。
解決済み!
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■48781 / 親記事)  管理人さんへ
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2018/08/31(Fri) 23:04:01)
    この膨大な迷惑記事を防ぐのには、
    「http」を禁止文字列にするのが簡単でよいと思います。
    リンクは書き込めなくなりますので、
    書き込みたい場合はhを抜いてもらうなどが必要になりますが、
    迷惑記事はほぼなくなると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48783 / ResNo.1)  Re[1]: 管理人さんへ
□投稿者/ 管理人 一般人(1回)-(2018/08/31(Fri) 23:45:19)
    らすかるさん
    アドバイスありがとうございます。
    とりあえず、httpを禁止文字列に登録しました。
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■48731 / 親記事)  判別式
□投稿者/ 男子400mリレー 一般人(1回)-(2018/08/29(Wed) 22:00:59)
    x^2+y^2≠0をみたす任意の実数x,yに対して、常に
    x^2+y^2≠(ax+by)^2+(cx+dy)^2
    が成り立つための実数a,b,c,dに関する必要十分条件を
    α:=ad-bc, β:=a^2+b^2+c^2+d^2
    を用いて表せ。

    この問題なのですが、たぶん二次方程式の判別式を使うだけだとは思うのですが、
    二次の係数が0かそうでないかで場合分けしているうちによく分からなくなってしまいました。
    詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48733 / ResNo.1)  Re[1]: 判別式
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2018/08/29(Wed) 22:57:16)
    (a^2+c^2-1)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2-1)y^2≠0
    y=0のときにx≠0である解を持たないためにはa^2+c^2-1≠0が必要。
    よって常にxの二次式と考えてよい。
    D/4={(ab+cd)y}^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)y^2
    ={(ab+cd)^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)}y^2
    =(β-α^2-1)y^2
    y≠0,β-α^2-1<0のとき解を持たないが、
    β-α^2-1<0すなわち
    (ab+cd)^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)<0
    ならば
    (ab+cd)^2<(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)
    なのでa^2+c^2-1≠0も成り立ち、
    y=0のときも条件を満たす。
    よって求める必要十分条件はβ-α^2-1<0。

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■48746 / ResNo.2)  Re[2]: 判別式
□投稿者/ 男子400mリレー 一般人(2回)-(2018/08/30(Thu) 11:50:09)
    思っていたより複雑でした
    ありがとうございました
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■48620 / 親記事)  数列の周期と初項
□投稿者/ ミヤゾンちえみ 一般人(1回)-(2018/08/26(Sun) 19:13:33)
    数列{a[n]}は、初項a[1]が有理数で、
    全てのn≧1に対して
    a[n+1]=a[n]^2 -29/16
    という関係を満たしています。
    以下の条件をみたす初項a[1](有理数)を全て知りたいです(求め方も)。
    条件:ある自然数kとpが存在して、
    任意のn≧kに対して
    a[n]=a[n+p]
    が成り立つ。

    よろしくお願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48708 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の周期と初項
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2018/08/28(Tue) 09:52:37)
    a[1]=u/v(uとvは互いに素な整数でv>0)とします。
    もしvが奇素数を素因数に持つと、数列の分母は
    増加し続けますので、条件を満たしません。
    もしv=2^m(m≧3)とすると、やはり数列の分母が
    増加し続けますので、条件を満たしません。
    もしv=2またはv=1とするとa[2]の分母が16となり、同様に
    数列の分母が増加し続けますので、条件を満たしません。
    従ってv=4です。
    2^2-29/16=35/16>2から
    |a[n]|≧2のときa[n+1]>|a[n]|で数列が増加し続けますので、
    |a[1]|<2に限定されます。
    よってa[1]の候補は±1/4,±3/4,±5/4,±7/4に限定されます。
    また上記からわかるように、数列の途中で分母が4以外になると
    条件を満たさなくなります。
    |a[n]|=1/4のとき
    a[n+1]=1/16-29/16=-7/4
    |a[n]|=3/4のとき
    a[n+1]=9/16-29/16=-5/4
    |a[n]|=5/4のとき
    a[n+1]=25/16-29/16=-1/4
    |a[n]|=7/4のとき
    a[n+1]=49/16-29/16=5/4
    ですから、a[1]=±1/4,±3/4,±5/4,±7/4であれば
    この範囲内の値しかとりませんので、必ず循環して条件を満たします。
    従って条件を満たす初項a[1]は
    ±1/4,±3/4,±5/4,±7/4となります。

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■48727 / ResNo.2)  Re[2]: 数列の周期と初項
□投稿者/ ミヤゾンちえみ 一般人(3回)-(2018/08/29(Wed) 10:17:12)
    有難うございます!
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