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■47244 / 親記事)  チョコボールの期待値
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(1回)-(2015/05/22(Fri) 19:21:51)
    pは1/5より小さい正の実数とします。
    チョコボールを買うとき、
    金のエンゼルが出る確率はp、
    銀のエンゼルが出る確率は5p
    とします。
    金のエンゼルは1枚、
    銀のエンゼルは5枚
    で、おもちゃのカンヅメと交換できます。
    このとき、以下の質問を解説して下さい。
    (1) おもちゃのカンヅメをGETするために買わなければならないチョコボールの個数の期待値はいくらになるでしょうか?
    (2) 銀のエンゼルを廃止して、金のエンゼルが出る確率を2倍にするのは森永製菓の企業戦略として数学的に妥当でしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス9件(ResNo.5-9 表示)]
■47253 / ResNo.5)  Re[5]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(328回)-(2015/05/23(Sat) 08:17:10)
    (1)
    1個買って金が出ない確率は 1-p
    2個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^2
    3個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^3
    4個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^4
    n≧5、0≦m≦4として
    n個買って金が0枚、銀がm枚の確率は nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)
    なので
    1個買ってGETできる確率は p
    2個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^2)-p
    3個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^3)-(1-(1-p)^2)=(1-p)^2-(1-p)^3
    4個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^4)-(1-(1-p)^3)=(1-p)^3-(1-p)^4
    つまりn≦4のときにn個買って初めてGETできる確率は
    (1-p)^(n-1)-(1-p)^n
    そしてn≧5のときにn個買って初めてGETできる確率は
    (1-Σ[m=0〜4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)})
     -(1-Σ[m=0〜4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)})
    =Σ[m=0〜4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)}
     -Σ[m=0〜4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)}
    =
    {(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2
    +(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
    +(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12
    よって求める期待値は
    Σ[n=1〜4]〔n{(1-p)^(n-1)-(1-p)^n}〕
    +Σ[n=5〜∞]〔n{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3
    +(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
    +(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12〕
    =
    (-4p^4+15p^3-20p^2+10p)
    +(31104p^5-116640p^4+155520p^3-77760p^2+4651)/(7776p)
    =4651/(7776p)

    途中計算は非常に大変でしたが、答えは結構シンプルになりました。
    ということは、もっとうまい計算方法があるのかも知れません。

    (2)
    銀のエンゼルを廃止して金のエンゼルの確率を2倍にすると
    期待値は1/(2p)個になりますので、
    (金のエンゼルが出る確率を2倍に変更した時の期待値)<(元の期待値)
    ですから、妥当ではないということになりますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47255 / ResNo.6)  Re[6]: チョコボールの期待値
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(5回)-(2015/05/23(Sat) 09:37:20)
    ありがとうございます。
    計算、よくわかりました。
    森永は賢いということですね。
    4651/7776と0.5がどれくらい離れてるのかGoogleの電卓で計算しようと思って検索してみたら
    どうも1-(5/6)^5に等しいみたいなので、裏で何かあるのかもしれません。

    もう一つ教えていただいてもよろしいでしょうか。
    私などの確率ど素人からすれば、(1)と(2)の期待値なんてどうせ等しいだろうと予想してしまうのですが、
    (2)の結論が直感的に明らかと思える思考方法はありますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47256 / ResNo.7)  Re[7]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(329回)-(2015/05/23(Sat) 09:40:03)
    2015/05/23(Sat) 09:40:45 編集(投稿者)

    Nは十分大きい数として、
    (2)の場合N個買うとおもちゃのカンヅメが2pN個GETできます。
    (1)は
    金のエンゼルがpN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
    銀のエンゼルが5pN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
    ですから、やはりおもちゃのカンヅメは2pN個GETできます。
    従って
    「たくさん買ったときにおもちゃのカンヅメがGETできる個数」
    は等しいことになります。
    それで直感的に等しいと思えるということですよね。

    しかし、(2)では最初の1個のおもちゃのカンヅメをGETしたときに
    「余ったエンゼル」はないのに対し、
    (1)では銀のエンゼルが余っている可能性があります。
    その分無駄買いが発生していて、
    (1)の方が期待値が大きくなるということです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47258 / ResNo.8)  Re[8]: チョコボールの期待値
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(6回)-(2015/05/23(Sat) 09:52:51)
    >無駄買い

    なるほど!!!
    ありがとうございます!!!
    朝からとてもすっきりしました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47266 / ResNo.9)  Re[9]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(333回)-(2015/05/23(Sat) 11:42:34)
    今さらですが、もっと簡単な計算方法を思いつきました。

    最初にエンゼルを引いたとき、それが金のエンゼルである確率は1/6
    最初に引いたエンゼルが銀で2番目が金である確率は(5/6)(1/6)
    最初の2つが銀で3番目が金である確率は(5/6)^2・(1/6)
    最初の3つが銀で4番目が金である確率は(5/6)^3・(1/6)
    従って「何回目のエンゼルでおもちゃのカンヅメGETになるか」の期待値は
    (1/6)+2(1/6)(5/6)+3(1/6)(5/6)^2+4(1/6)(5/6)^3
    +5{1-{(1/6)+(1/6)(5/6)+(1/6)(5/6)^2+(1/6)(5/6)^3}}
    =4651/1296回となります。
    1回エンゼルを引くまでの個数の期待値は1/(6p)ですから、
    おもちゃのカンヅメGETになるまでの個数の期待値は
    (4651/1296)(1/(6p))=4651/(7776p)となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47257 / 親記事)  円と点の空間幾何学
□投稿者/ どすこい 一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 09:43:15)
    3次元空間に原点Oと、有限個の円C[1],C[2],...,C[n]があります。
    各C[k]の円周上を、角速度w[k]で点P[k]が回転しています。
    このとき、常に
    Σ[k=1,n] |OC[k]| ≧ Σ[k=1,n] |OP[k]|
    が成り立つようにC[1],C[2],...,C[n]を配置できますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47261 / ResNo.1)  Re[1]: 円と点の空間幾何学
□投稿者/ らすかる 大御所(331回)-(2015/05/23(Sat) 10:00:28)
    |OC[k]|が「原点から円C[k]までの中心までの距離」の意味だとしたら、
    任意の角速度に対して成り立つようにするのは不可能だと思いますが・・・
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47264 / ResNo.2)  Re[2]: 円と点の空間幾何学
□投稿者/ どすこい 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 11:25:44)
    どうしてでしょうか…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47265 / ResNo.3)  Re[3]: 円と点の空間幾何学
□投稿者/ らすかる 大御所(332回)-(2015/05/23(Sat) 11:37:08)
    2015/05/23(Sat) 12:08:39 編集(投稿者)

    私の考え違いあるいは解釈違いでしたらすみません。

    円がどこにどういう向きであっても、「原点から円周上の点までの距離」が
    「原点から中心までの距離」よりも長くなるような点が
    円周の半分以上ありますよね。
    例えば角速度が√2,√3,√5のように割り切れない関係にあるとき、
    いつかは必ず「すべてのP[k]が中心までの距離よりも遠い半周にある」
    という状態になりますので、「常に中心までの距離の方が(合計が)長い(または等しい)」
    とすることは不可能だと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47227 / 親記事)  行列
□投稿者/ ねじれた疑惑 一般人(1回)-(2015/05/18(Mon) 08:35:12)
    n 次正方行列 A に対し、AX+XA=O をみたす n 次正方行列 X≠O が存在するための
    A に関する必要十分条件は、(trA)(detA)=0 ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47243 / ResNo.1)  Re[1]: 行列
□投稿者/ ひよこ 一般人(8回)-(2015/05/22(Fri) 02:28:15)

    が反例では?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47263 / ResNo.2)  Re[2]: 行列
□投稿者/ ねじれた疑惑 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 10:05:12)
    そのようですね…。
    有難うございます。

    ちなみに、2次正方行列では正しいですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47259 / 親記事)  数列と級数の収束
□投稿者/ アゲハ 一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 09:53:55)
    {a[n]}(n=1,2,3,...) を正の実数からなる数列とします。
    {a[n]}(n=1,2,3,...) を用いて数列 {p[n]}(n=0,1,2,3,...), {q[n]}(n=0,1,2,3,...) を次で定義します。
      p[0]=1, p[1]=0, p[n]=a[n-1]*p[n-1]+p[n-2] (n≧2)
      q[0]=0, q[1]=1, q[n]=a[n-1]*q[n-1]+q[n-2] (n≧2)
    このとき、
      {p[n]/q[n]}(n=1,2,3,...) が収束 ⇔ Σ[n=1,∞]a[n] が発散
    が成り立つことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47240 / 親記事)  ベクトル
□投稿者/ ヴェクター 一般人(1回)-(2015/05/21(Thu) 19:59:35)
    kを実数とします。
    ↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2をみたす平面ベクトル↑x,↑yが存在する ⇔ k<1
    の証明を教えて下さい。
    ベクトルだけでやる方法を教えてほしいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47241 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ IT 一般人(7回)-(2015/05/22(Fri) 00:01:24)
    ↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2 …(1)のとき
    ↑xと↑x+↑yのなす角をθとする。
    ↑y=(↑x+↑y)-↑x を↑x・↑y=kに代入
    ↑x・{(↑x+↑y)-↑x}=k
    |↑x||↑x+↑y|cosθ-|↑x||↑x|=k
    2cosθ|↑x|-|↑x|^2=k
    移項して|↑x|^2-2cosθ|↑x|+k=0
    |↑x|実数なので判別式(cosθ)^2-k≧0
    移項してk≦(cosθ)^2
    よって k≦1

    逆にk≦1のとき
    k<0のとき
     |↑x|=√(-k)である↑xをとり
     ↑xに直交する大きさ2のベクトルを↑zとする.
    ↑y=↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす。
    k=0のとき
     |↑x|=0,|↑y|=2である↑x,↑yをとると(1)を満たす。
    0<k≦1のとき
      cosθ=kとなるθをとる
     |↑x|=√kである↑xをとり
     ↑xと角θをなし大きさ2のベクトルを↑zとする.
    ↑y=↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす
     
    ↑x=↑yかつ|x|=1のとき
    ↑x・↑y=1かつ|↑x+↑y|=2となると思うのですが
    ↑xと↑yには、他に何か条件があるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47242 / ResNo.2)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ IT 一般人(8回)-(2015/05/22(Fri) 00:32:24)
    2015/05/22(Fri) 00:33:19 編集(投稿者)

    k≦1のとき
     |↑x|=1+√(1-k), ↑y=[{1-√(1-k)}/{1+√(1-k)}]↑x,としても条件(1)を満たしますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47252 / ResNo.3)  Re[2]: ベクトル
□投稿者/ ヴェクター 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 08:15:12)
    ありがとうございます。
    すみません、k≦1でした。

    この証明って、係数体が実数体の内積を持つ一般的なベクトル空間に対しても適用できますよね?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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