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■47367 / 親記事)  三次方程式
□投稿者/ まんしょ 一般人(1回)-(2015/06/26(Fri) 00:30:25)
    z に関する方程式 z^3-3z+k=0 (kは実数) の重複を込めた解を α, β, γ とするとき,
    |α+2| + |β+2| + |γ+2| = |α-2| + |β-2| + |γ-2|
    が成り立つことを示せ。

    よろしくお願いします。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47369 / ResNo.1)  Re[1]: 三次方程式
□投稿者/ IT 一般人(15回)-(2015/06/26(Fri) 20:52:57)
    2015/06/27(Sat) 07:59:05 編集(投稿者)

    (略解)
    解と係数の関係よりα+β+γ=0 …(1), αβ+βγ+γα=-3 …(2)
    三次方程式ですからα,β,γの少なくとも1つは実数解です。
    他の2つが実数解の場合と虚数解の場合に分けて考えます。

    α,β,γがすべて実数となるのは -2≦k≦2のときで
     このとき 2≦α,β,γ≦2(要証明)なので
         |α+2|+|β+2|+|γ+2|=(α+2)+(β+2)+(γ+2)=(α+β+γ)+6=6
         |α-2|+|β-2|+|γ-2|=-(α-2)-(β-2)-(γ-2)=-(α+β+γ)+6=6
     よって |α+2|+|β+2|+|γ+2|= |α-2|+|β-2|+|γ-2|

    虚数解を持つのは k<-2,k>2のときで
     αを実数解とするとα>2,α<-2である(要証明)
     また、β,γは虚数解で互いに共役なので,β=x+yi,γ=x-yiとおく
      (1)よりx=-α/2…(3),これと(2)よりy^2=(3/4)α^2-3…(4)
     |β+2|=|γ+2|=√{(x+2)^2+y^2}に(3),(4)を代入し整理 
        =√(α-1)^2=|α-1|
     同様に|β-2|=|γ-2|=√(α+1)^2=|α+1|
     よって|α+2|+|β+2|+|γ+2|=|α+2|+2|α-1|
            α>2のとき =3α
            α<-2のとき=-3α
        |α-2|+|β-2|+|γ-2|=|α-2|+2|α+1|
            α>2のとき =3α
            α<-2のとき=-3α
     よって |α+2|+|β+2|+|γ+2|= |α-2|+|β-2|+|γ-2|
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■47363 / 親記事)  軌跡
□投稿者/ ニッキー 一般人(1回)-(2015/06/23(Tue) 14:01:22)
    この問題の解き方を教えてください
582×473 => 250×203

1435035682.jpg
/23KB
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■47351 / 親記事)  合成数
□投稿者/ べっきー 一般人(1回)-(2015/06/20(Sat) 08:34:28)
    自然数の逆数和は発散しますよね。
    素数の逆数和も発散しますよね。
    合成数の逆数和は発散しますか?
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47353 / ResNo.1)  Re[1]: 合成数
□投稿者/ らすかる 大御所(350回)-(2015/06/20(Sat) 11:22:36)
    1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+… が発散しますので、先頭の二つを除いた
    1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+… も発散しますね。するとそれぞれの分母から1を引いた
    1/4+1/6+1/10+1/12+1/16+1/18+… も発散しますので、合成数の逆数和も発散します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47354 / ResNo.2)  Re[1]: 合成数
□投稿者/ IT 一般人(14回)-(2015/06/20(Sat) 11:31:33)
    2015/06/20(Sat) 12:29:58 編集(投稿者)

    正の偶数の逆数(1/2を除く)の和は発散なので、合成数の逆数和は発散。 でもいいと思います。
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■47361 / ResNo.3)  Re[2]: 合成数
□投稿者/ ベッキー 一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 15:14:40)
    お二人とも明解な回答を有り難うございました。
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■47337 / 親記事)  有理数
□投稿者/ ジェーン 一般人(1回)-(2015/06/14(Sun) 12:21:50)
    平面上に長さが有理数の線分ABがあります。
    ABの中点をMとします。
    Mを中心として半径が有理数の円を描きます。
    この円の周上の点Pで線分PAとPBの長さがいずれも有理数となるような点Pは必ず存在しますか?
    ただし点Pは直線AB上にはないものを考えます。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47360 / ResNo.1)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ ねむねむ 一般人(2回)-(2015/06/21(Sun) 13:07:16)
    線分 AB の長さを ,円の半径の長さを とおくと,そのような点 P が存在することと

    をみたす正の有理数 が存在することは等価( は線分PA,PBの長さになる)であり,例えば

    のように取れるので,それは成り立つ.

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■47355 / 親記事)  不等式
□投稿者/ 鰓 一般人(1回)-(2015/06/20(Sat) 17:09:33)
    が三角形の三辺であるとき、


    教えて下さい。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47357 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ ひよこ 一般人(17回)-(2015/06/21(Sun) 08:41:26)
    まず、第一項について、

    を示す。これが出来れば、文字を入れ替えて足し合わせれば結論がでる。

    仮定よりa>0, b+c-a>0であるので、上式を変形して

    を示せば良い。
    右辺-左辺を整理すると、

    となるが、ここで、2√3-3>0であるから、a,b,c>0より、右辺は正である。
    以上をまとめれば良い。


    どうでしょうか?
    あと、不等式の出どころについて、さしつかえなければ教えてもらえるとうれしいです。
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■47359 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ ねむねむ 一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 12:46:07)
    2015/06/21(Sun) 14:24:26 編集(投稿者)
    2015/06/21(Sun) 14:24:08 編集(投稿者)

    他にも

    を示す(3次関数の極小値が正であることは見易い).あるいは,

    とおくと,

    なので,結論の不等式は

    となる.と言った方法がありますね.

    なお,右辺の係数の下限は

    辺りかと.


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