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■50849 / 親記事)  時系列解析練習問題
□投稿者/ ななし 一般人(1回)-(2021/06/15(Tue) 22:05:02)
    時系列解析の練習問題について解きかたと回答を教えてください。
    似たような問題がテストで出るということなのですが難しくて質問させていただきました。
    @AR(1) モデル yt = c + ϕyt−1 + ϵt, ϵt ∼ iid N(0, σ2)について,c, ϕ, σ2 の最尤推定量を求めよ。

    A次の 1 〜 3 のモデルに対し、定常性・反転可能性をそれぞれ判定せよ
    1. yt = ϵt + ϵt−1, ϵt ∼ W.N.(σ2)
    2. yt = 1.3yt−1 − 0.4yt−2 + ϵt, ϵt ∼ W.N.(σ2)
    3. yt = yt−1 + ϵt + 0.5ϵt−1, ϵt ∼ W.N.(σ2)

    Byt が次の AR(2) 過程に従っているとする。
    yt = 2 + yt−1 − 0.5yt−2 + ϵt, ϵt ∼ iid N(0, 1)
    いま,yt−3 = 11.6, yt−2 = 9.5, yt−1 = 16.5, yt = 19.0 という観測値が得られたとき,最適 1 期先予測とそのMSE を求めよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■50833 / 親記事)  論理式
□投稿者/ ぁま 一般人(1回)-(2021/06/11(Fri) 09:51:08)

    変数 x の変域を N とする.また,命題「x は平方数である.」を A(x) と表し, 命題「x は奇数個 の約数をもつ.」を B(x) と表す.
    (1) 命題「すべての平方数は、偶数個の約数をもつ.」を上記の設定を使って論理式にせよ.
    (2) 論理式 ∀x(A(x) ∨ ¬B(x))
    が表す命題と同じ意味のものを以下から 1 つ選んで丸印をつけよ。
    a)「自然数は必ず、平方数であるか、偶数個の約数をもつかのどちらか一方を満たす.」
    b)「平方数ではない数で、偶数個の約数をもつものはない.」
    c)「平方数でないか, 奇数個の約数をもつかの少なくとも一方を満たす実数は存在しない.」
    d)「平方数は必ず、偶数個の約数をもつ.」
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50834 / ResNo.1)  Re[1]: 論理式
□投稿者/ あま 一般人(1回)-(2021/06/11(Fri) 09:52:38)
    B(x)の前は¬です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50835 / ResNo.2)  Re[2]: 論理式
□投稿者/ あま 一般人(2回)-(2021/06/11(Fri) 09:55:13)
    B(x)の前は否定記号です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50837 / ResNo.3)  Re[1]: 論理式
□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2021/06/11(Fri) 23:12:38)
    N は自然数全体と解釈して回答します。

    先ず、自然数 x に対して、以下は命題ではありません。
    A(x) := {x は平方数である}
    B(x) := {x は奇数個の約数をもつ}

    命題とは数学的に真偽の定まる言明のことです。
    A(x) や B(x) は、自然数 x の値が定まらない限り真偽が決まりませんので命題とは言えず、
    これらは命題関数または条件と呼ばれます。

    但し、以下は命題です。
    A(1) := {1 は平方数である}・・・・・真である命題
    A(2) := {2 は平方数である}・・・・・偽である命題


    次に、自然数の約数の個数が偶数個か奇数個になる条件を調べます。
    x = 1 の場合、約数は 1 の1個のみですので、約数は奇数個です。

    x > 1 の場合、x は素因数を持ちます。
    x の異なる素因数を p[1], p[2], ・・・, p[m] とし、各素因数の指数を e[1], e[2], ・・・, e[m] とします。
    素因数分解は x = (p[1]^e[1])(p[2]^e[2])・・・(p[m]^e[m]) となります。
    x の約数は (p[1]^f[1])(p[2]^f[2])・・・(p[m]^f[m]) という形になり、
    k = 1, 2, ・・・, m として 0 ≦ f[k] ≦ e[k]、つまり f[k] は e[k]+1 通りの値をとりますので、
    x の約数の個数は (e[1]+1)(e[2]+1)・・・(e[m]+1) となります。

    x が平方数の場合、e[1], e[2], ・・・, e[m] は全て偶数であることが必要です。
    つまり、(e[1]+1)(e[2]+1)・・・(e[m]+1) は奇数のみの積となり、約数は奇数個となります。

    x が平方数でない場合、e[1], e[2], ・・・, e[m] は奇数を含みます。
    つまり、(e[1]+1)(e[2]+1)・・・(e[m]+1) は偶数を含む積となり、約数は偶数個となります。

    以上から、自然数 x に関して、
    x が平方数であることと、x の約数が奇数個であることは同値である。
    x が平方数でないことと、x の約数が偶数個であることは同値である。
    ・・・と言えます。

    (1) すべての平方数は、偶数個の約数をもつ
    「任意の自然数 x について、x が平方数ならば、x は偶数個の約数をもつ」と同義なので、
    (∀x∈N){A(x) ⇒ (¬B(x))}

    (2) (∀x∈N){A(x) ∨ (¬B(x))}
    ¬B(x) := {「x は奇数個の約数をもつ」の否定} := {x は偶数個の約数をもつ}
    なので、上記論理式の解釈(?)は
    「任意の自然数 x について、x は平方数である、または x は偶数個の約数をもつ」
    となります。なので、同じ意味なのは a) ということになりますかね。

    以下、蛇足です。

    個人的には a) の「どちらか一方を満たす」という表現が引っかかります。
    この問題の場合に限れば、如何なる自然数 x を選んでも A(x) と ¬B(x) の
    どちらか一方だけが真となり、他方は偽になります。
    両方同時に真になることも、両方同時に偽になることもありません。
    なので、排他的論理和として考えも差し支えありません。
    繰り返しますが、これは A(x) と ¬B(x) が排他的な条件だからです。

    論理演算子「∨」は包括的論理和の意味であり、A(x) ∨ (¬B(x)) は
    A(x) と ¬B(x) が両方同時に満たされても構わない訳です。
    なので、解釈としては「少なくともどちらか一方を満たす」とする方がしっくりくる気がします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50848 / ResNo.4)  Re[2]: 論理式
□投稿者/ あま 一般人(9回)-(2021/06/15(Tue) 16:37:32)
    なるほど、確かにそうですよね!
    少なくともがなくては不自然だと思いましま!ありがとうございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50845 / 親記事)  大学数学 測度論 証明問題
□投稿者/ 矢中 一般人(1回)-(2021/06/15(Tue) 07:12:58)
    以下の2問に回答頂けると幸いです。

    X=Y= [0,1],
    FX=FY=B(R) (ボレル集合)
    mX=ルベーグ測度,
    mYは要素の数を対応させる測度とする.

    (1) mをCarath eodory外測度から定まる直積測度とする. ∆ ={(x, x)|x∈[0,1]}と対角集合を定める. m(∆) = +∞を示せ.

    (2) m'(A) =m(A\∆)と定めると m'も直積測度でありかつm≠ m'となることを示せ

    参考 演習問題3.11
    https
    ://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwiQ_f2pi5jxAhWCZt4KHZZ5B-8QFjAAegQIAxAD&url=https%3A%2F%2Fwww.ms.u-tokyo.ac.jp%2F~aida%2Flecture%2F24%2FanalysisB2.pdf&usg=AOvVaw0x9zPfWvIKRVRTdabvfx7v
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■50843 / 親記事)  大学数学 確率
□投稿者/ ゆ 一般人(3回)-(2021/06/14(Mon) 09:44:48)
    参考書の問題なのですが解答を失くしてしまいました。以下の問題が解ける方は,導出の過程を踏まえて教えてくださると助かります。


    目の数がi(i=1,2,3,……12)である正12面体のサイコロがひとつある。このサイコロを1回投げた時、iの目が出る確率をp(0<p<1)とする。さらにこのサイコロをn(>0)回投げるとき離散確率変数をX,Yとおき
    X:6の倍数の目が出る回数
    Y:奇数の目が出る回数
    とする。ただしXの実現値をK、Yの実現値をLと置く。

    (1)n=4で、p=aのとき同時確率Px,y(X=1,Y=2)を求めよ。

    (2)n>0のとき同時確率Px,y(X=K,Y=L)を求めよ。さらにPx,y(X=K,Y=L)≠0を満たすK,Lの範囲を求めよ。

    (3) (2)の同時確率Px,y(X=K,Y=L)から周辺確率分布Px(X=K)を求めよ。

    (4) (2)の同時確率Px,y(X=K,Y=L)と(3)の周辺確率分布Px(X=K)から条件付確率分布Py|x(Y=L|X=K)を求めよ。

    (5) (2)〜(4)までの確率分布が、確率分布である条件を満たしていることを示せ。
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■50825 / 親記事)  積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(1回)-(2021/06/08(Tue) 16:15:39)
    nは2以上の自然数で、n個の自然数a[1],a[2],・・・,a[n]として
    Π[k=1,n]a[k]=Σ[k=1,n]a[k]を満たすものが存在することを示せ。
    解き方を教えてください。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■50826 / ResNo.1)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ らすかる 付き人(56回)-(2021/06/08(Tue) 16:50:05)
    1≦k≦n-2のときa[k]=1, a[n-1]=2, a[n]=n
    とすれば和も積も2nになりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50827 / ResNo.2)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(2回)-(2021/06/08(Tue) 19:35:16)
    らすかる様、早速の回答ありがとうございます。
    追加で質問させてください。(らすかる様以外の方の回答も大歓迎です。)

    (1)存在を示すので具体的な値を提示できれば十分なことは理解できます。
    ただ、今後類似の問題への応用力を付けたいので、どの様な方法で
    1≦k≦n-2のときa[k]=1, a[n-1]=2, a[n]=n
    という値を見い出したのか教えてください。

    (2)上記の値以外に問題の条件を満たす値はあるのでしょうか?
    値は有限個でしょうか?それとも無数にあるのでしょうか?

    xとyを自然数としてxy=x+yなら、xy-x-y=0から(x-1)(y-1)=1と変形でき、
    x-1とy-1は負でない整数だからx-1=y-1=1で、
    n=2のときはx=y=2という値のみとなると思います。
    しかし、n≧3のときはお手上げです。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50828 / ResNo.3)  Re[2]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ らすかる 付き人(57回)-(2021/06/08(Tue) 21:29:02)
    n=2のときは2+2=2×2=4は誰でも知っていますね。
    以下a[1]≦a[2]≦…≦a[n]とします。
    n=3のとき
    もしa[1]≧2だとするとa[2]≧2なので(積)≧4a[3]
    しかしa[1]≦a[2]≦a[3]から(和)≦3a[3]なので(和)<(積)となり成り立ちません。
    よってa[1]=1です。
    このとき1+a[2]+a[3]=a[2]a[3]から(a[2]-1)(a[3]-1)=2なのでa[2]=2,a[3]=3と決まります。
    n=4のとき
    n=3のときと同様、もしa[1]≧2だとすると(積)≧8a[4]、(和)≦4a[4]となり不適なのでa[1]=1
    a[1]=1として、もしa[2]≧2だとすると(積)≧4a[4]、(和)<4a[4](∵a[1]<a[2])となり不適なのでa[2]=1
    このとき1+1+a[3]+a[4]=a[3]a[4]から(a[3]-1)(a[4]-1)=3なのでa[3]=2,a[4]=4と決まります。
    勘が良ければこの辺で
    2,2
    1,2,3
    1,1,2,4
    から
    1,1,1,…,1,2,n
    で成り立ちそうだと気づきますが、気づかなければもう一つ
    n=5のとき
    a[1]≧2のとき(積)≧16a[5]、(和)≦5a[5]で不適
    a[1]=1,a[2]≧2のとき(積)≧8a[5]、(和)<5a[5]で不適
    a[1]=a[2]=1,a[3]≧2のとき(積)≧4a[5]、(和)≦4a[5]から(1,1,2,2,2)で成り立つ
    a[1]=a[2]=a[3]=1の場合は(a[4]-1)(a[5]-1)=4からa[4]=2,a[5]=5またはa[4]=a[5]=3
    よってn=5のときの解は
    (1,1,2,2,2),(1,1,1,3,3),(1,1,1,2,5)の3通り
    ここまでやれば
    (a[2]-1)(a[3]-1)=2
    (a[3]-1)(a[4]-1)=3
    (a[4]-1)(a[5]-1)=4
    という計算をしたことから、同様の計算で行けることに気づくと思います。

    つまりn≦4では解は1組ですが、n≧5では解は1つとは限りません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50829 / ResNo.4)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2021/06/09(Wed) 17:37:25)
    横から失礼します。

    値をソートして 1 ≦ a[1] ≦ a[2] ≦ ・・・ ≦ a[n-1] ≦ a[n] とすると、
    1 ≦ k ≦ n で a[k]/a[n] ≦ 1 です。

    a[1]a[2]・・・a[n-1]a[n] = a[1]+a[2]+・・・+a[n-1]+a[n]
    ⇒ a[1]a[2]・・・a[n-1] = (a[1]/a[n])+(a[2]/a[n])+・・・+(a[n-1]/a[n])+(a[n]/a[n]) ≦n

    つまり、a[1]a[2]・・・a[n-1] は n 以下の自然数を因数分解したものとなります。
    n 以下の自然数は有限個です。

    また、個々の自然数を n-1 の自然数の積で表す表現数は、
    a[1]a[2]・・・a[n-1] = k ≦ n ならば、1 ≦ a[1] ≦ k, 1 ≦ a[2] ≦ k, ・・・, 1 ≦ a[n-1] ≦ k なので、
    (a[1], a[2], ・・・, a[n-1]) の組の数は高々 k^(n-1) 個となり、表現数も有限通りといえます。

    (a[1], a[2], ・・・, a[n-1]) の各組に対して、a[1]a[2]・・・a[n-1] = k, a[1]+a[2]+・・・+a[n-1] = m
    とすると、k*a[n] = m+a[n] となり、この a[n] 対する1次方程式が解ける場合は、
    自然数になるとは限らないが a[n] の値は一意に決まりますので、
    題意の解の個数も有限個となります。


    以下、蛇足。

    a[1]a[2]・・・a[n-1] = 1 つまり a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-1] = 1 とすると、
    a[n] = (n-1)+a[n] ⇒ 0 = n-1 > 0 と矛盾。n ≧ 2 なので。

    a[1]a[2]・・・a[n-1] = k ≧ 2 で a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-2] = 1, a[n-1] = k とすると、
    k*a[n] = (n-2)+k+a[n] ⇒ a[n] = (n-2+k)/(k-1) = 1+(n-1)/(k-1)
    k = 2 なら a[n] = 1+(n-1)/(2-1) = n。これはらすかるさんの提示した解。

    一般に n = m(k-1)+1 という形なら、a[n] = 1+m となる解があります。
    5 = 1*(5-1)+1 ⇒ m = 1, k = 5 ⇒ (1, 1, 1, 5, 2) #大小関係が崩壊してますが!
    5 = 2*(3-1)+1 ⇒ m = 2, k = 3 ⇒ (1, 1, 1, 3, 3)
    5 = 4*(2-1)+1 ⇒ m = 4, k = 2 ⇒ (1, 1, 1, 2, 5)
    # a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-2] = 1 という場合のみの解ですので、
    # a[n-2] 以前に 2 以上の値があるパターンは上記方法では網羅できません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50842 / ResNo.5)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(3回)-(2021/06/12(Sat) 21:55:20)
    らすかる様、WIZ様解説ありがとうこざいます。
    お礼が遅くなりごめんなさい。

    ある程度の試し算は必要だけど値は求められるのですね。
    また条件を満たす値が有限個であることが分かりました。

    ありがとうございました。
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