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■47847 / 親記事)  位相空間の問題
□投稿者/ ユークリッド 一般人(1回)-(2017/01/07(Sat) 23:55:27)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする。AはdのAへの制限により距離空間となる。このとき、次の条件が同値であることを示せ。

    (1)(A,d)は完備。

    (2)Aは(X,d)の閉集合。

    全然分かりません。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48513 / ResNo.1)  Re[1]: 位相空間の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2018/08/16(Thu) 08:14:07)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする
    AはdのAへの制限により距離空間となる
    N=(全自然数)
    clA=(Aの閉包)とする
    (1)→(2)の証
    (A,d)は完備
    b∈cl(A)とする
    任意の自然数n∈Nに対して
    a_n∈{x∈X|d(x,b)<1/n}∩A
    となるa_nが存在する
    任意のε>0に対して
    n_0>1/εとなる自然数n_0がある
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<1/n<1/n_0<ε
    となるから
    lim_{n→∞}a_n=b
    {a_n}_{n∈N}はbに収束する
    収束する数列はコーシー列だから
    {a_n}_{n∈N}は完備Aのコーシー列となるから
    Aの要素に収束するから
    b∈A
    だから
    cl(A)=A
    だから
    ∴Aは(X,d)の閉集合

    (2)→(1)の証
    Aは(X,d)の閉集合
    A⊃{a_n}_{n∈N}はコーシー列
    とする
    (X,d)は完備だから
    lim_{n→∞}a_n=b∈X
    となるbがある
    任意のε>0に対して
    ある自然数n_0が存在して
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<ε
    だから
    a_{n_0+1}
    ∈{x∈X|d(x,b)<ε}∩{a_n}_{n∈N}
    ⊂{x∈X|d(x,b)<ε}∩A
    だから
    {x∈X|d(x,b)<ε}∩A≠φ
    だから
    b∈cl(A)
    Aは閉集合だから
    b∈cl(A)=A
    だから
    b∈A
    Aのコーシー列はAの要素に収束するから
    ∴(A,d)は完備
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■48466 / 親記事)  剰余の定理について。
□投稿者/ コルム 一般人(2回)-(2018/06/30(Sat) 09:45:09)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48512 / ResNo.1)  Re[1]: 剰余の定理について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2018/08/12(Sun) 09:12:53)
    問題に
    整式P(x)は(x+1)^2で割ると割り切れて、
    と書いてあるから
    No.4
    P(x)=(x+1)^2{(x-2)Q(x)+a}+r(x)

    P(x)が(x+1)^2で割り切れるためには
    r(x)=0
    でなければならない
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■48507 / 親記事)  積分計算
□投稿者/ こいち 一般人(11回)-(2018/07/29(Sun) 01:32:27)
    (x-1)^2/(x^2+1)^2について不定積分の解法を、解ける方お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48508 / ResNo.1)  Re[1]: 積分計算
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2018/07/29(Sun) 02:08:19)
    (x-1)^2/(x^2+1)^2
    =(x^2-2x+1)/(x^2+1)^2
    =(x^2+1)/(x^2+1)^2-2x/(x^2+1)^2
    =1/(x^2+1)-2x/(x^2+1)^2
    と分ければ、1/(x^2+1)の不定積分はarctanx、
    2x/(x^2+1)^2の不定積分はx^2+1=tとおけば簡単ですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48509 / ResNo.2)  Re[2]: 積分計算
□投稿者/ こいち 一般人(12回)-(2018/07/29(Sun) 10:58:01)
    なるほど。発想が乏しかったです。
    やっぱりコツなどではなく経験なのでしょうか...(-_-;)

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■48496 / 親記事)  広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(1回)-(2018/07/28(Sat) 12:04:12)
    ∫(積分区間0→∞){e^(-ax)}sin(bx)dx
    の解き方を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48500 / ResNo.1)  Re[1]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/07/28(Sat) 14:40:35)
    a≠0かつb≠0のとき
    ∫e^(-ax)・sin(bx)dx
    =e^(-ax)/(-a)・sin(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・bcos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a)∫e^(-ax)・cos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){e^(-ax)/(-a)・cos(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・(-b)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){-{e^(-ax)・cos(bx)}/a-(b/a)∫e^(-ax)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2-(b^2/a^2)∫e^(-ax)sin(bx)dx
    なので
    (1+b^2/a^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2+C1
    (a^2+b^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}+C1
    ∴∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)+C2
    従って
    b=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]0dx=0
    b≠0,a=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]sin(bx)dx=[-cos(bx)/b][0〜∞]は発散
    b≠0,a<0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]は発散
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)

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■48501 / ResNo.2)  Re[2]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(3回)-(2018/07/28(Sat) 15:11:29)
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)
    の部分がどうしてこうなるのか詳しく教えていただきたいです。すみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48503 / ResNo.3)  Re[3]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:24)
    a>0,x→∞のとき e^(-ax)→0,|asin(bx)|≦a,|bcos(bx)|≦|b|なので
    lim[x→∞]-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=0
    x=0のとき
    e^(-ax)=1, asin(bx)=0, bcos(bx)=bなので
    x=0のとき-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=-b/(a^2+b^2)
    よって(与式)=0-(-b/(a^2+b^2))=b/(a^2+b^2)

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■48506 / ResNo.4)  Re[4]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(9回)-(2018/07/28(Sat) 16:13:17)
    解くことができました。ありがとうございました!
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■48502 / 親記事)  積分範囲の極限
□投稿者/ こいち 一般人(5回)-(2018/07/28(Sat) 15:12:24)
    1)lim(n→∞)1/n{√(1/n)+√(2/n)+...+√(n/n)}
    (2)lim(n→∞){1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n}
    (3)lim(n→∞){1/√(n^2+1^2)+1/√(n^2+2^2)+...+1/√(n^2+n^2)}
    この3問の極限値を求める問題です。積分の範囲に含まれているので何かしら積分を利用するのかと思いますが、解法が分かりません。分かる方お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48504 / ResNo.1)  Re[1]: 積分範囲の極限
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:41)
    他板で回答しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48505 / ResNo.2)  Re[2]: 積分範囲の極限
□投稿者/ こいち 一般人(8回)-(2018/07/28(Sat) 16:07:14)
    ありがとうございました!!!助かりました。
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