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■48017 / 親記事)  昔の東大模試の数列
□投稿者/ 筋組織 一般人(1回)-(2017/07/08(Sat) 10:55:00)
    n個の実数a[1],a[2],...,a[n]に対して、
    b[k]=(a[1]+a[2]+...+a[k])/k (k=1,2,...,n)
    とおく。
    b[1],b[2],...,b[n]を適当に並べ替えるとa[1],a[2],...,a[n]に一致するとき、
    a[1]=a[2]=...=a[n]
    であることを示せ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48018 / ResNo.1)  Re[1]: 昔の東大模試の数列
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2017/07/08(Sat) 11:51:08)
    a[1]〜a[n]の最大値をMとしてa[1]<Mとすると
    b[k]<M (1≦k≦n)となるから、条件を満たすためにはa[1]=Mでなければならない。
    a[1]〜a[n]の最小値をmとしてa[1]>mとすると
    b[k]>m (1≦k≦n)となるから、条件を満たすためにはa[1]=mでなければならない。
    従ってa[1]=a[2]=…=a[n]。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48019 / ResNo.2)  Re[2]: 昔の東大模試の数列
□投稿者/ 筋組織 一般人(2回)-(2017/07/08(Sat) 12:51:33)
    有難うございます。
    衝撃的にうまい解き方ですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48004 / 親記事)  準同型写像
□投稿者/ エントロピー 一般人(1回)-(2017/06/03(Sat) 21:59:22)
    以下の問題について質問があります。

    「群Z/12Zから群Z/14Zへの準同型写像fをすべて求めよ。」

    12と14の最大公約数が2なので、2個であるのは分かります。

    また、f(0)=f(1)=・・・f(13)=0となる0写像が答えの1個となるのも分かります。

    しかし、もう一つは求められません。

    f(1)、f(2)、f(3)、・・・、f(13)の値はどうなるのでしょうか?

    教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48005 / ResNo.1)  Re[1]: 準同型写像
□投稿者/ バラ肉 一般人(1回)-(2017/06/03(Sat) 22:37:17)
    12f(1)=0となることに気を付けてf(1)の値を決めればいいのでは?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48006 / ResNo.2)  Re[2]: 準同型写像
□投稿者/ エントロピー 一般人(2回)-(2017/06/04(Sun) 17:36:01)
    f(n)(nはZ/12Zの元)において、nが偶数ならば0で、奇数ならば7と出ましたが、これで正しいでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48011 / ResNo.3)  Re[1]: 準同型写像
□投稿者/ ナオ 一般人(1回)-(2017/06/12(Mon) 09:01:15)
http://mybostonbag.exblog.jp/
    ご情報ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48000 / 親記事)  互いに素
□投稿者/ on 一般人(1回)-(2017/06/01(Thu) 23:19:52)
    自然数mに対して、φ(m)を1以上m以下の自然数でmと互いに素なものの個数とするとき、
    2以上の自然数nに対して、2^n-1はφ(2^n-1)で割り切れないことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48001 / ResNo.1)  Re[1]: 互いに素
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2017/06/02(Fri) 01:58:37)
    aが2^n-1と互いに素ならば(2^n-1)-aも2^n-1と互いに素
    aと(2^n-1)-aが一致することはないからφ(2^n-1)は偶数
    従って2^n-1はφ(2^n-1)では割り切れない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48002 / ResNo.2)  Re[2]: 互いに素
□投稿者/ on 一般人(2回)-(2017/06/03(Sat) 09:48:43)
    有り難うございます!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47996 / 親記事)  数列の最大項
□投稿者/ まるでお城 一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)
    aを正の数として、数列a[n]を
    a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...)
    と定めます。
    a[1],a[2],a[3],...,a[n],...
    のうち最大の項はどれですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47997 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の最大項
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)
    logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。

    xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。
    f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)),
    f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex))
    1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
    1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。
    0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。

    よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、
    n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47985 / 親記事)  数列とmod
□投稿者/ トランク大統領 一般人(1回)-(2017/05/22(Mon) 00:03:38)
    a[1]=-4
    a[2]=8
    a[3]=420
    a[n+3]=3a[n+2]-99a[n+1]-31a[n] (n≧1)
    で定められる数列{a[n]}をmod 93で見ると、いずれも0にならない(93の倍数にならない)、
    という性質があります。

    この93という整数はどうやって見つけたらよいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47991 / ResNo.1)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2017/05/22(Mon) 19:52:37)
    別スレで書いた「条件を満たす自然数mは存在しない」の証明と同様に考えれば、
    31a[n]=-99a[n+1]+3a[n+2]-a[n+3]
    と変形したとき、mod mのmが31と互いに素であればある3項からその手前の項が
    一意的に決まり、a[0]=0なのでa[k]≡0(mod m)となる項が存在します。
    従ってa[k]≡0(mod m)となる項が存在しないためには、少なくとも
    mが31と互いに素でない、すなわち31の倍数である必要があります。
    よって31,62,93,…を考えればよいことになりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47994 / ResNo.2)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 23:28:59)
    有り難うございます。

    これは問題集にあった問題なのですが、
    解けるように作ってあることがよく分かりました。
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