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■51794 / 親記事)  連立漸化式
□投稿者/ もっ 一般人(1回)-(2022/01/13(Thu) 06:15:02)
    連立漸化式
    a[n+1]=2c[n]-a[n]
    b[n+1]=a[n]-b[n]
    c[n+1]=b[n]-c[n]
    a[0]=2
    b[0]=1
    c[0]=0
    について、n≧3でc[n]=0を示せ。

    普通に漸化式を解くと複素数まみれのとんでもない一般項になり、それが0になるか考えるのは厳しそうでした。何かよい解き方はないでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51795 / ResNo.1)  Re[1]: 連立漸化式
□投稿者/ もっ 一般人(2回)-(2022/01/13(Thu) 06:17:09)
    すみません、致命的なミスをしていました。
    c[n]≠0を示せ、でした…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51796 / ResNo.2)  Re[2]: 連立漸化式
□投稿者/ あ 一般人(1回)-(2022/01/14(Fri) 23:12:47)
    知るかボケ
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51780 / 親記事)  水かさの問題です(中学受験)
□投稿者/ じげま 一般人(1回)-(2021/12/17(Fri) 20:19:10)
    すみません、高校数学に関する質問ではないのですがよろしいでしょうか。
    単純な問題です。

    写真の(3)の問題です。息子が塾で使用している「予習シリーズ小5下」の
    ものです。私なりに解いてみますと、

    高さ=10+50×8/(200-50)=38/3cm

    となったのですが、模範解答では

    高さ=10+50×8/200=12cm

    となっていたのです。皆さんはどう思われますか。ご意見をお聞かせください。

1600×406 => 250×63

2021121717010000.jpg
/97KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■51782 / ResNo.2)  Re[1]: 水かさの問題です(中学受験)
□投稿者/ Megumi 一般人(1回)-(2021/12/18(Sat) 09:17:36)
     容器には水が200cm^2×10cm=2000cm^3だけ入っていて、その中に底面積50cm^2の直方体が8cm沈んだのだから、直方体を取り出して、水を新たに50cm^2×8cm=400cm^3追加したとことと同じことになる。
     もし、400cm^3の水を底面積200cm^2の空の容器に入れたときの水の深さは400÷200=2cm。
     問題では容器の10cmの深さまで水が入っているのだから結局12cmの深さになる。
      10+(50×8)÷200=10+2=12cm
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51783 / ResNo.3)  Re[2]: 水かさの問題です(中学受験)
□投稿者/ じげま 一般人(2回)-(2021/12/19(Sun) 00:52:50)
    簡単な質問であれば内容が低レベルであっても丁寧にただで解説が投稿される良い
    例でしたね。しばらく投稿が行われなくなっていたのに閲覧者は少なからずいるこ
    ともわかり良い実験結果が得られました、ありがとうございます。

    YesかNoかの回答しかできない人って本当に多いと思います。ある意味かしこくて
    クリアカットで非の打ち所がない素晴らしい数理能力の持ち主ですがこういう人は
    世の中にたくさんいます。デジタル思考で大変論理的、わかりやすい。だが含みが
    ない。質問者はどういう気持ちで質問したのか、おもんぱかった結果、含みを持た
    せた文章で回答できる人がもっと多ければいいのですが。

    もちろん顔の見えないネット上でのやりとりでこれを期待してはいません。しかし
    どうでしょう、おそらくネットでも現実でもその人の気質は変わるわけはありませ
    んね。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51784 / ResNo.4)  Re[3]: 水かさの問題です(中学受験)
□投稿者/ 政治家 一般人(1回)-(2021/12/21(Tue) 02:34:29)
    素晴らしい数理能力の持ち主が世の中にたくさんいる?

    冗談でもセンスがない。
    世の中、イエス/ノーで簡潔に答えるべき質問に言い訳を並べる愚鈍が多い。

    政治家だってそうだろう?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51791 / ResNo.5)  Re[4]: 水かさの問題です(中学受験)
□投稿者/ 秋葉原 一般人(1回)-(2021/12/27(Mon) 09:05:10)
    ば〜か


    政治家の応対の仕方の話じゃねえよ。
    なんでもデジタル化して考える癖がつくことについて言ってるんじゃないの?
    政治家はそもそも数理能力以前の問題なんだから蚊帳の外だろうが。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51792 / ResNo.6)  Re[5]: 水かさの問題です(中学受験)
□投稿者/ じげま 一般人(4回)-(2022/01/04(Tue) 00:09:53)
    ば〜か はあなたです。誰も蚊帳の外の人などいません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51786 / 親記事)  三角関数解いて下さいm(_ _)m改め
□投稿者/ K 一般人(2回)-(2021/12/21(Tue) 11:18:44)
    acos(tanA/tanB)=asin(cosA/sinC)

    これをAについて解きたいです。
    もう三角関数忘れてしまったので、誰か解法教えてもらえると嬉しいです。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51790 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数解いて下さいm(_ _)m改め
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2021/12/22(Wed) 17:46:31)
    acosはarccos、asinはarcsinの意味と解釈します。

    0≦arccosx≦π, -π/2≦arcsinx≦π/2なので
    等号が成り立つためには
    0≦arccos(tanA/tanB)≦π/2, 0≦arcsin(cosA/sinC)≦π/2
    このとき0≦tanA/tanB≦1, 0≦cosA/sinC≦1
    x≧0のとき arcsinx=arccos(√(1-x^2))なので
    arcsin(cosA/sinC)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2))
    よってarccos(tanA/tanB)=arcsin(cosA/sinC)から
    arccos(tanA/tanB)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2))
    ∴tanA/tanB=√(1-(cosA/sinC)^2)
    (tanA/tanB)^2=1-(cosA/sinC)^2
    (sinC)^2(tanA)^2=(tanB)^2{(sinC)^2-(cosA)^2}
    (sinC)^2(sinA)^2/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2}
    (sinC)^2{1-(cosA)^2}/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2}
    cosAについて整理して
    (sinB)^2(cosA)^4-(sinC)^2(cosA)^2+(cosB)^2(sinC)^2=0
    (cosA)^2に関する二次方程式と考えて解くと
    (cosA)^2={(sinC)^2±√{(sinC)^4-4(sinB)^2(cosB)^2(sinC)^2}}/{2(sinB)^2}
    ={sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2}
    従って
    A=±arccos(±√{{sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2}}) (複号任意)
    これは不適解を含むので、B,Cの変化とグラフから適解に絞り整理すると
    A=(tanB)(sinC)arccos((sinC)√{{2sinC±√(2cos4B-2cos2C)}/{2(1-cos2B)sinC}})/|(tanB)(sinC)|
    (ただしcos4B-cos2C<0のとき解なし)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50893 / 親記事)  ベクトルの大きさ
□投稿者/ 掛け流し掛け流し 一般人(1回)-(2021/07/07(Wed) 23:39:36)
    平面上のベクトル a,bが

      |a+2b|=1、|2a−b|=1

    を満たしているとき、|a−2b|の取り得る値の範囲を求めよ。

    (答えは、1/5<=|a−2b|<=7/5)

    の解法を教えてください。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50895 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルの大きさ
□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2021/07/08(Thu) 13:44:08)
    2021/07/08(Thu) 15:19:21 編集(投稿者)

    xy座標でべクトルを原点 (0, 0) を始点とた終点の座標 (x, y) で表すことにすると、
    |(x, y)| = √(x^2+y^2) です。

    p, q, r, s を実数として、a = (p, q), b = (r, s) とします。

    |a+2b| = |(p, q)+2(r, s)| = |(p+2r, q+2s)| = 1
    ⇒ (p+2r)^2+(q+2s)^2 = 1^2 ・・・・・(0)

    上記より、ある実数 u が存在して
    p+2r = cos(u) ・・・・・(1)
    q+2s = sin(u) ・・・・・(2)
    とおけます。

    |2a-b| = |2(p, q)-(r, s)| = |(2p-r, 2q-s)| = 1
    ⇒ (2p-r)^2+(2q-s)^2 = 1^2

    上記より、ある実数 v が存在して
    2p-r = cos(v) ・・・・・(3)
    2q-s = sin(v) ・・・・・(4)
    とおけます。

    (1)(3)より
    (p+2r)+2(2p-r) = cos(u)+2cos(v)
    ⇒ p = (cos(u)+2cos(v))/5 ・・・・・(5)
    ⇒ r = 2(cos(u)+2cos(v))/5-cos(v) = (2cos(u)-cos(v))/5 ・・・・・(6)

    (2)(4)より
    (q+2s)+2(2q-s) = sin(u)+2sin(v)
    ⇒ q = (sin(u)+2sin(v))/5 ・・・・・(7)
    ⇒ s = 2(sin(u)+2sin(v))/5-sin(v) = (2sin(u)-sin(v))/5 ・・・・・(8)

    |a-2b| = |(p, q)-2(r, s)| = |(p-2r, q-2s)|
    ⇒ |a-2b|^2 = (p-2r)^2+(q-2s)^2 = (p+2r)^2+(q+2s)^2-8pr-8qs
    (0)(5)(6)(7)(8)より、
    ⇒ |a-2b|^2 = 1-8((cos(u)+2cos(v))/5)((2cos(u)-cos(v))/5)-8((sin(u)+2sin(v))/5)((2sin(u)-sin(v))/5)
    = 1-(8/25)((cos(u)+2cos(v))(2cos(u)-cos(v))+(sin(u)+2sin(v))(2sin(u)-sin(v)))
    = 1-(8/25)(2cos(u)^2+3cos(u)cos(v)-2cos(v)^2+2sin(u)^2+3sin(u)sin(v)-2sin(v)^2)
    = 1-(8/25)(2(cos(u)^2+sin(u)^2)+3(cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v))-2(cos(v)^2+sin(v)^2))
    = 1-(8/25)(2+3cos(u-v)-2)
    = 1-(24/25)cos(u-v)

    -1 ≦ cos(u-v) ≦ 1 ですから
    1-(24/25)(1) ≦ |a-2b|^2 ≦ 1-(24/25)(-1)
    ⇒ 1/25 ≦ |a-2b|^2 ≦ 49/25

    |a-2b| ≧ 0 だから、1/5 ≦ |a-2b| ≦ 7/5 となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50897 / ResNo.2)  Re[2]: ベクトルの大きさ
□投稿者/ 掛け流し掛け流し 一般人(2回)-(2021/07/09(Fri) 02:30:10)
    分かりずらいよ。もっと短く説明して
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51789 / ResNo.3)  Re[1]: ベクトルの大きさ
□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2021/12/22(Wed) 10:08:19)
    x=a+2b, y=2a-b とおくと条件より |x|=|y|=1 であり
    a=(x+2y)/5, b=(2x-y)/5
    となります.
    よって
    a-2b=(-3x+4y)/5
    となるので問題は
    「|x|=|y|=1 のとき |(-3x+4y)/5| の範囲を求めよ」
    と言い換えることができます. これを解きましょう.

    まず

    |(-3x+4y)/5|=|-3x+4y|/5

    なので |-3x+4y| の範囲を調べます.
    二つのベクトル u,v の内積を単に積の様に uv と書くことにすると

    |-3x+4y|^2=(-3x+4y)(-3x+4y)
    =9|x|^2-24xy+16|y|^2
    =25-24xy   (|x|=|y|=1 を使った)

    内積の定義より

    xy=|x||y|cosθ=cosθ

    となり

    -1<=xy<=1

    となることがわかるので

    1<=|-3x+4y|^2<=49.

    |-3x+4y| は非負の数なので

    1<=|-3x+4y|<=7

    したがって

    1/5<=|(-3x+4y)/5|<=7/5

    である.

    以上から答えのとおり

    1/5<=|a-2b|<=7/5

    が得られました.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50906 / 親記事)  jacobson根基の同値な性質について
□投稿者/ もけもけ 一般人(1回)-(2021/07/10(Sat) 00:52:42)
    Rのjacobson根基をJ(R)とする。但しここでのjacobson根基の定義は、Rの全ての極大イデアルの共通部分とする。

    この時、rがJ(R)の元であることと、1+〈r〉の任意の元が単元であることが同値であることを示せ。(〈r〉はrで生成される単項イデアルです)

    この問題が分かりません。どなたか解説して頂けませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51788 / ResNo.1)  Re[1]: jacobson根基の同値な性質について
□投稿者/ nacky 一般人(1回)-(2021/12/22(Wed) 09:40:56)
    背理法を使いましょう.
    r∈J(R), a∈R とし 1+ar が単元でないと仮定して矛盾を導きます.

    1+ar が単元でないのである極大イデアル M が存在して 1+ar∈M が成り立ちます.
    r は J(R) の元なので r∈M です.
    すると 1=(1+ar)-ar∈M となり M が極大イデアルであることに矛盾します.
    よって 1+ar は単元です.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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