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■50646 / 親記事)  合成数
□投稿者/ 手計算で・・・ 一般人(1回)-(2021/03/05(Fri) 17:46:52)
    電子機器など何も無い状況下で、紙と鉛筆の手計算だけで
    11^10+10
    が合成数であることを示すのってどうやるんでしょうか?
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■50647 / ResNo.1)  Re[1]: 合成数
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2021/03/05(Fri) 18:03:56)
    明らかに2で割れない。
    11^10≡1, 10≡1 (mod 3) なので3で割れない。
    明らかに5で割れない。
    11^10≡4^10≡16^5≡2^5=32≡4, 10≡3 (mod 7) なので
    11^10+10は7で割り切れる。よって合成数。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50648 / ResNo.2)  Re[2]: 合成数
□投稿者/ 手計算で・・・ 一般人(2回)-(2021/03/05(Fri) 18:28:23)
    おお、なるほど
    ありがとうございます
解決済み!
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■50638 / 親記事)  積分について
□投稿者/ 印度に生まれたい 一般人(1回)-(2021/03/04(Thu) 18:57:03)
    以下の条件を全て満たす実数から実数への関数f(x)の具体例を教えて下さい。
    ・f(x)は0≦x≦1で連続かつ0<x<1で微分可能。
    ・0以上1以下の任意の有理数qに対してf(q)は有理数。
    ・∫[0→1]f(x)dx=√3
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50639 / ResNo.1)  Re[1]: 積分について
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2021/03/04(Thu) 21:53:22)
    2021/03/04(Thu) 22:14:54 編集(投稿者)

    たとえば
    f(x)=
    5(4x^2-3)^2/12 (0≦x≦√3/2)
    0 (√3/2≦x≦1)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50640 / ResNo.2)  Re[2]: 積分について
□投稿者/ 印度に生まれたい 一般人(2回)-(2021/03/04(Thu) 22:14:17)
    ありがとうございます。
    すごい!!こんなの全然思い付きませんでした。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50631 / 親記事)  因数分解
□投稿者/ ホワイトハウス 一般人(1回)-(2021/02/25(Thu) 18:21:49)
    xの4次式 x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+3/4)(a^2+1) が有理数係数の2次式の積に因数分解できるような整数aを全て求めよ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50632 / ResNo.1)  Re[1]: 因数分解
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2021/02/26(Fri) 14:39:24)
    2021/02/28(Sun) 12:27:32 編集(投稿者)

    「整数係数多項式が有理数の範囲で因数分解されれば、整数の範囲で因数分解される」
    という定理により
    x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+3/4)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる

    4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる

    4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が整数係数の二次式の積に因数分解できる
    となります。

    4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2+bx+c)(x^2+dx+e) (b,c,d,eは整数)
    とおいて右辺を展開すると
    4x^4+(b+4d)x^3+(c+4e+bd)x^2+(be+cd)x+ce
    b+4d=0, c+4e+bd=0からb=-4d, c=4d^2-4eなので代入して
    4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2-4dx+4d^2-4e)(x^2+dx+e)
    =4(x^2-dx+d^2-e)(x^2+dx+e)
    aが整数のとき、元の式の定数項 -(a+3/4)(a^2+1)は整数にならないが
    上記の分解では-e^2という整数になり矛盾するので不適。

    4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2+bx+c)(2x^2+dx+e) (b,c,d,eは整数)
    とおいて右辺を展開すると
    4x^4+2(b+d)x^3+(2c+2e+bd)x^2+(be+cd)x+ce
    2(b+d)=0, 2c+2e+bdからb=-d, c=d^2/2-e
    cは整数なのでdは偶数でなければならない。よってd=2f(fは整数)として
    4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2-2fx+2f^2-e)(2x^2+2fx+e)
    =4x^4+4f(f^2-e)x+e(2f^2-e)
    となるから
    4(a^2+1)(a+2)=4f(f^2-e), -(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e)
    2式からeを消去して整理すると
    (f^2-a^2-1){(a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)}=0
    (a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)=0のときa=-2,f=0
    このとき-(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e)からe^2=-25となり不適
    f^2-a^2-1=0のとき(f+a)(f-a)=1から解は(a,f)=(0,±1)となりa=0
    逆にa=0のとき(与式)=(x^2-x+3/2)(x^2+x-1/2)となり条件を満たす。
    よって条件を満たす整数aはa=0のみ。

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■50635 / ResNo.2)  Re[2]: 因数分解
□投稿者/ ホワイトハウス 一般人(2回)-(2021/02/28(Sun) 09:33:02)
    有難うございます。
    { }内が0ではないということはすぐに分かるのでしょうか?
    a=-2, f=0のとき0になって4x^4+25=4x^4-e^2となり不適当とはなりますが・・・
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■50636 / ResNo.3)  Re[3]: 因数分解
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2021/02/28(Sun) 12:28:01)
    ごめんなさい、何か勘違いして見落としていたようです。
    元の回答の「{ }内は正だから・・・」のあたりを修正しましたので
    再度見ていただけたらと思います。

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■50637 / ResNo.4)  Re[4]: 因数分解
□投稿者/ ホワイトハウス 一般人(3回)-(2021/03/03(Wed) 11:24:51)
    有難うございました。
    本当に大変参考になりました。
解決済み!
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■50633 / 親記事)  2次関数
□投稿者/ waka 一般人(3回)-(2021/02/27(Sat) 13:42:03)
    「aを実数の定数とするxの2次方程式
    x^2-2ax+4a+5=0
    について,次の問いに答えよ。」
    という問題で質問があります。

    f(x)=x^2-2ax+4a+5として

    (3)2解(重解を含む)がともに1以下となるようなaの値の範囲を求めよ。
    という問題で、
     D≧0・・・@、(軸)<1・・・A、f(1)>0・・・B
    @は分かるのですが、Aは(軸)≦1 であり、Bはf(1)≧0であると思います。
    なぜ、等号がなくてもよいのですか? 重解を含んでいるので等号がいるように思えるのですが・・・。

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■50634 / ResNo.1)  Re[1]: 2次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2021/02/27(Sat) 15:36:00)
    等号を付けるか、もしくは「1以下」を「1未満」にするかのどちらかですね。
    どちらが間違いかは、答えがわかるのなら、その答えからわかると思います。
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■50628 / 親記事)  常用対数と桁数の関係
□投稿者/ megumi 一般人(1回)-(2021/02/24(Wed) 11:03:08)
     常用対数についての質問です。以下 log は常用対数です。

    log(2^(10^14)) = 10^14・log2

    より

    ( 2^(10^14)の桁数 - 1) = (10^14)log2 の整数部分

    が成り立つのはなぜですか?

      2^(10^1) = 1024

    ( 2^(10^1)の桁数 - 1) = (10^1)log2 ≒ 10*0.301 = [3.01] = 3

    ですから、確かに成り立ちそうな気はしますが。

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■50629 / ResNo.1)  Re[1]: 常用対数と桁数の関係
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2021/02/24(Wed) 15:02:42)
    2桁の数nは 10≦n<100
    3桁の数nは 100≦n<1000
    4桁の数nは 1000≦n<10000
    ・・・
    k桁の数nは 10^(k-1)≦n<10^k
    ですから、辺々対数をとり
    k-1≦logn<k
    つまり
    logn-1<k-1≦logn
    k-1は整数なので
    k-1=[logn]
    すなわち
    (nの桁数-1)=(lognの整数部分)
    となります。

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■50630 / ResNo.2)  Re[2]: 常用対数と桁数の関係
□投稿者/ megumi 一般人(2回)-(2021/02/24(Wed) 16:24:47)
    丁寧な回答誠にありがとうございました。よくわかりました。
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