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■48857 / 親記事)  等式
□投稿者/ 喰レポ 一般人(1回)-(2018/10/07(Sun) 13:25:11)
    教えて下さい。

    相異なる数x,y,zが
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)
    を満たしているとき、x,y,zのうち少なく
    とも一つは虚数であることを示せ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48858 / ResNo.1)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2018/10/07(Sun) 14:16:17)
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。
    もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので
    k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2
    k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1)
    k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2)
    k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3)
    (1)を(2)に代入して整理すると
    z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4)
    (4)を(3)に代入して整理すると
    (3k^2-6k+4)(2x-1)=0
    x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0
    これを解いてk=1±i/√3
    x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、
    k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48859 / ResNo.2)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2018/10/07(Sun) 14:36:40)
    別解
    もし式の値が0だとすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので矛盾。
    よって式の値は0ではないので全項を逆数にしても等号は成り立つ。
    (x-y)/(2x-1)=(y-z)/(2y-1)=(z-x)/(2z-1)から
    2(x-y)/(2x-1)=2(y-z)/(2y-1)=2(z-x)/(2z-1)
    1-(2y-1)/(2x-1)=1-(2z-1)/(2y-1)=1-(2x-1)/(2z-1)
    (2y-1)/(2x-1)=(2z-1)/(2y-1)=(2x-1)/(2z-1)
    この式の値をkとするとk^3=1だが
    もしk=1とするとx=y=zとなり矛盾するので
    kは1の虚数三乗根。
    従ってx,y,zのうち少なくとも二つは虚数とわかる。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48860 / ResNo.3)  Re[2]: 等式
□投稿者/ 喰レポ 一般人(2回)-(2018/10/07(Sun) 17:33:47)
    大変エレガントな別解に感動いたしました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48855 / 親記事)  (削除)
□投稿者/ -(2018/10/06(Sat) 13:02:16)
    この記事は(投稿者)削除されました
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■48846 / 親記事)  五角形
□投稿者/ 工務店能美 一般人(1回)-(2018/09/27(Thu) 15:36:06)
    正五角形ではないが、角の大きさは全て等しい五角形は、
    少なくとも一本の辺の長さが無理数である。

    これって正しいですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48847 / ResNo.1)  Re[1]: 五角形
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2018/09/27(Thu) 17:09:54)
    正しいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48851 / ResNo.2)  Re[2]: 五角形
□投稿者/ 工務店能美 一般人(2回)-(2018/10/01(Mon) 21:07:51)
    ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48848 / 親記事)  桁数
□投稿者/ waka 一般人(6回)-(2018/09/28(Fri) 17:46:53)
    P=(1/100)×60^(99)を16進法で表したとき、その整数部分の桁数を求めよ。という問題が分かりません。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48849 / ResNo.1)  Re[1]: 桁数
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2018/09/28(Fri) 20:39:42)
    何を既知としてよいかによって答え方がまるで変わると思いますが、
    とりあえず私が暗記している範囲で
    log[10]2=0.30103、log[10]3=0.4771として計算してよいものとすると

    log[10]P=log[10]{(1/100)×60^(99)}
    =log[10](1/100)+log[10]{60^(99)}
    =-2+99log[10]60
    =-2+99log[10](10×3×2)
    =-2+99(log[10]10+log[10]3+log[10]2)
    =-2+99(1+0.30103+0.4771)
    =-2+99×1.77813
    =174.03487
    log[2]P=log[10]P/log[10]2=174.03487/0.30103≒578.1313
    よってPは2進法で579桁なので、16進法では[(579+3)/4]=145桁。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48840 / 親記事)  対数不等式
□投稿者/ waka 一般人(4回)-(2018/09/25(Tue) 14:43:10)
    定数aが 0<a<1のとき
       log_a^2(a^2-x^2)-log_a(ax)≧0を解け。

    という問題が答えと合いません。解答はa/√(1+a^2)≦x<a です。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48841 / ResNo.1)  Re[1]: 対数不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/09/25(Tue) 17:00:37)
    問題の式から0<x<a
    log[a^2](a^2-x^2)-log[a](ax)≧0
    log[a^2](a^2-x^2)≧log[a](ax)
    (1/2)log[a](a^2-x^2)≧log[a](ax)
    log[a](a^2-x^2)≧2log[a](ax)
    log[a](a^2-x^2)≧log[a](a^2x^2)
    a^2-x^2≦a^2x^2
    x^2(a^2+1)≧a^2
    x^2≧a^2/(a^2+1)
    x≧a/√(a^2+1)
    0<a/√(a^2+1)<aなので
    a/√(a^2+1)≦x<a

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48845 / ResNo.2)  Re[2]: 対数不等式
□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2018/09/27(Thu) 10:51:01)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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