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■47855 / 親記事)  多項式の決定
□投稿者/ からすがれい 一般人(1回)-(2017/02/05(Sun) 13:51:55)
    aを正の定数とするとき、次の(1),(2)の条件を同時に満たすような
    実数係数の5次関数y=f(x)をすべて求めよ。
    (1) f(a)=a, f(-a)=-a
    (2) -a<x<a の範囲で極大、極小となる点が2点ずつ存在し、 
       極大値はいずれもa、極小値はいずれも-aである。

    教えて下さい!
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47856 / ResNo.1)  Re[1]: 多項式の決定
□投稿者/ みずき 一般人(1回)-(2017/02/06(Mon) 17:07:44)
    条件から
    f(x)=b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a
    なる実数b,c,d,f,g (b>0,c<d,f<g)が存在します。

    (b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a)'=5b(x-c)(x-d)(x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5)
    x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5=0 の2解は c,d だから
    f+g=-(-4a-3c-3d)/5
    fg=(2a(c+d)+cd)/5

    (b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a)'=5b(x-f)(x-g)(x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5)
    x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5=0 の2解は c,d だから
    c+d=-(4a-3f-3g)/5
    cd=(-2a(f+g)+fg)/5

    よって c+d=-a/2, cd=-a^2/4, f+g=a/2, fg=-a^2/4
    ∴ c=(-1-√5)a/4, d=(-1+√5)a/4, f=(1-√5)a/4, g=(1+√5)a/4

    b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a の定数項を比較して
    b(c^2d^2+f^2g^2)=2
    ∴ b=16/a^4

    以上から
    f(x)=(16/a^4)x^5+(-20/a^2)x^3+5x
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■47853 / 親記事)  場合の数について。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2017/01/28(Sat) 18:02:17)
    平面上に直線aと直線βがある。2直線とも平行で、直線aに点が6こ直線βに3こ点がある。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47854 / ResNo.1)  Re[1]: 場合の数について。
□投稿者/ コルム 一般人(2回)-(2017/01/28(Sat) 18:03:08)
    (2)の答えは、186通り(3)の答えは、15通り
    (4)は540通り(5)は10通り(6)は701通り
    となるような問題文を考えていただけると幸いです。
    まとめて書いてすみません。
    無理でしたら、答えなくても大丈夫です。
    でも、答えていただけると、幸いです。
    ご迷惑をおかけします。
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■47838 / 親記事)  連結集合のはなし
□投稿者/ コメムシ 一般人(1回)-(2016/12/05(Mon) 03:12:43)
    X_1,X_2を位相空間とし,A⊂X_1×X_2を連結集合とする時,
    {x_1∈X_1;(x_1,x_2)∈A}と{x_2∈X_2;(x_1,x_2)∈A}も連結集合になる事を示していただけませんでしょうか?
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47851 / ResNo.1)  Re[1]: 連結集合のはなし
□投稿者/ 集合 一般人(1回)-(2017/01/11(Wed) 12:03:05)
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■47843 / 親記事)  超フィルタの定義はこれでOK?
□投稿者/ EE 一般人(1回)-(2016/12/29(Thu) 23:38:13)
    Ωを全体集合とする。
    [定義1] F⊂2^ΩがΩ上のフィルタ ⇔(def) (i) Ω∈F,φ∈F, (ii) F∋a⊂b⊂Ω⇒b∈F, (iii) a,b∈F⇒a∩b∈F.
    [定義2] F⊂2^ΩがΩ上の超フィルタ ⇔(def) (i) FはΩ上のフィルタ, (ii) a∈F ⇒ Ω\a∈F.

    どこか間違ってますでしょうか? 間違ってましたら訂正をお願い致します。
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■46659 / 親記事)  素数
□投稿者/ 大蛇 一般人(1回)-(2015/01/09(Fri) 17:58:05)
    pを素数とすると、2^p-1の素因数は全てpより大きいことを示せ。

    教えて下さい。
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▽[全レス10件(ResNo.6-10 表示)]
■46665 / ResNo.6)  Re[1]: 素数
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2015/01/10(Sat) 00:51:37)
    スレ主さんの仰る通りですね。
    「a^1, a^2, a^3, ・・・, a^(q-1)は全て法qで非合同」になるのは
    aが法qの原始根の場合だけですね。

    pが2を原始根として持つ素数ならば私の提示した方法で説明できてるけど、
    それ以外の素数はアウトですね!

    よって、私の書き込みは無視してください。申し訳ありません。
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■46667 / ResNo.7)  Re[1]: 素数
□投稿者/ みずき 一般人(16回)-(2015/01/10(Sat) 02:35:07)
    次のようにできると思います。

    qを2^p -1の任意の素因数とすると、2^p≡1 (mod q)。
    ここで、集合Uを
    U={n|nは正の整数で、2^n -1が素因数qで割り切れる}
    で定め、Uの中で最小な正の整数をeとする。

    ここで次の命題を証明する。
    「Uの任意の元をmとするとき、mがeで割り切れる」
    (命題の証明)
    mがeで割り切れないと仮定する。
    mをeで割ったときの商をs、余りをrとするとm=es+r(0<r<e)と表せる。
    このとき2^r≡2^r*1≡2^r*{(2^e)^s}≡2^(es+r)≡2^m≡1 (mod q)
    だから、2^r -1はqで割り切れる。
    0<r<eだから、rはeより小さなUの要素となるが、これはeの最小性に反する。
    従って、仮定が誤りで、mはeで割り切れる。
    (命題の証明終了)

    2^p≡1 (mod q)と命題によりpはeで割り切れるから、eはpの約数。
    pは素数だから、e=1,pのいずれか。
    e=1とすると、2-1=1がqで割り切れることになり不合理なので、e=p。
    2^p -1は奇数だから、qは奇素数。よって、2とqは互いに素だから、
    フェルマーの小定理より、2^(q-1)≡1 (mod q)が言えて、
    命題によりq-1はe=pで割り切れる。
    よって、p≦q-1なので、p<qが言えました。
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■46668 / ResNo.8)  Re[1]: 素数
□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2015/01/10(Sat) 04:33:48)
    スレ汚し申し訳ありません。

    自然数aが素数qと互いに素な場合、ある自然数eが存在して
    a^e ≡ 1 (mod q) (フェルマーの小定理の系(カーマイケルの定理?))
    となります。eはq-1の約数となりますので、1 ≦ e ≦ q-1です。
    e = 1となるのはa = 1の場合だけですので、a = 2ならば1 < e ≦ q-1となります。

    q ≦ pつまりq-1 < pと仮定すると、1 < e < pです。
    ここで2^p ≡ 1 (mod q)ならばpはeの倍数となり、これはpが素数であることに反します。
    よって、q ≦ pは不可能です。
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■46688 / ResNo.9)  Re[2]: 素数
□投稿者/ 大蛇 一般人(6回)-(2015/01/14(Wed) 07:51:17)
    ありがとうございました。
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■47842 / ResNo.10)  素数の勉強会します
□投稿者/ Tommy. P.N. 一般人(1回)-(2016/12/24(Sat) 02:48:57)
http://youtu.be/WNyZwjk5KCw
    http://youtu.be/WNyZwjk5KCw
    突然ですが、今週日曜日に素数の勉強会を開催します。
    素数の好きな方歓迎します。
    ヨロシクお願い致します。
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