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■47293 / 親記事)  直角三角形の中線
□投稿者/ ゴンチャロフ 一般人(1回)-(2015/05/26(Tue) 21:54:05)
    直角三角形の3つの中線がすべて整数であるとき、その直角三角形の3辺は
    ピタゴラス3つ組のようにすべてパラメタ表示できるのでしょうか?
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47294 / ResNo.1)  Re[1]: 直角三角形の中線
□投稿者/ らすかる 大御所(341回)-(2015/05/27(Wed) 15:03:23)
    直角を挟む2辺をa,bとし、a,b,cの中点と対頂点を結ぶ線分の長さを
    d,e,fとすると、中線定理から
    d=√(a^2+4b^2)/2
    e=√(4a^2+b^2)/2
    f=√(a^2+b^2)/2
    この式からa,bを消去すると
    d^2+e^2=5f^2
    となりますので、この式を満たす自然数のパラメータ表示を求めて
    a=2√{(e^2-f^2)/3}
    b=√(4f^2-a^2)
    c=√(a^2+b^2)
    に当てはめれば目的の式になります。
    d^2+e^2=5f^2のパラメータ表示は検索したところ
    d=|m^2+4mn-n^2|
    e=|2m^2-2mn-2n^2|
    f=m^2+n^2
    と表せるようですので
    a=(2/3)√{3(m-3n)(m-n)(m+n)(3m+n)}
    b=(4/3)√{3mn(m+2n)(2m-n)}
    c=2(m^2+n^2)
    ただし m<n<2mまたは3n<m
    のようになりますね。
    例えば
    (m,n)=(2,3)のとき
    (a,b,c,d,e,f)=(2√105,16,26,19,22,13)
    (m,n)=(3,4)のとき
    (a,b,c,d,e,f)=(2√273,8√22,50,41,38,25)
    (m,n)=(3,5)のとき
    (a,b,c,d,e,f)=(16√14,4√65,68,44,62,34)
    (m,n)=(4,1)のとき
    (a,b,c,d,e,f)=(2√65,8√14,34,31,22,17)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47282 / 親記事)  複素数平面
□投稿者/ 高校生3年 一般人(1回)-(2015/05/24(Sun) 10:36:35)
    複素数平面についての問題です。

    <式>
    |z|=|z+1-3i|

    上記について、グラフを書くと直交する訳を教えてください。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47284 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数平面
□投稿者/ らすかる 大御所(339回)-(2015/05/24(Sun) 11:46:49)
    何と何が直交するのですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47287 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数平面
□投稿者/ 高校生3年 一般人(2回)-(2015/05/24(Sun) 13:42:13)
    ご連絡ありがとうございます。

    この式を解いていくと垂直に交わる図となるみたいなのですが、
    どのように式を変形していけばいいのかわからないところです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47288 / ResNo.3)  Re[3]: 複素数平面
□投稿者/ Samantha 一般人(14回)-(2015/05/24(Sun) 13:44:07)
    何と何が直交するのですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47290 / ResNo.4)  Re[1]: 複素数平面
□投稿者/ ひよこ 一般人(9回)-(2015/05/25(Mon) 00:38:25)
    方程式を満たすがどのようなものか、幾何的に考えてみると、

    左辺はと原点の距離、右辺はと点の距離。
    したがって、上記の二点から等距離であるような点がであるということになる。

    というわけで、原点とを結ぶ線分の垂直二等分線が、求めるのグラフということになる。

    で、何が疑問なのでしょうか?
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■47285 / 親記事)  不等式
□投稿者/ お願いします 一般人(1回)-(2015/05/24(Sun) 12:17:15)
    実数x,yがx^3+y^3-3xy=0を満たすとき、
    x+y+1>0が成り立つことを示せ。

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47286 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 大御所(340回)-(2015/05/24(Sun) 12:55:03)
    z=1として
    x^3+y^3-3xy=0
    x^3+y^3+z^3-3xyz=1
    (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=1
    (x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=2
    (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>0なので
    x+y+z>0すなわちx+y+1>0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47289 / ResNo.2)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ IT 一般人(11回)-(2015/05/24(Sun) 20:57:14)
    2015/05/24(Sun) 22:47:22 編集(投稿者)

    (別解)
    x≦yとしても一般性を失わない
    x≧0のときはx+y+1>0 成立
    x<0のときy>0
     x^3+y^3-3xy=(x+y)^3-3(x+y+1)xy
     x+y+1≦0のとき x+y<0、-3(x+y+1)xy≦0なのでx^3+y^3-3xy<0となり不適
     よってx+y+1>0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47279 / 親記事)  3次方程式
□投稿者/ 高山 一般人(3回)-(2015/05/24(Sun) 09:25:17)
    a,bは実数とし
    x^3+ax^2+2bx+1=0
    の実数解をαとしたとき、
    b^2-a≧α
    を示せ。

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47281 / ResNo.1)  Re[1]: 3次方程式
□投稿者/ らすかる 大御所(338回)-(2015/05/24(Sun) 10:06:55)
    t=0のとき
    t^3+at^2+2bt+1=1>0
    t≠0かつt>b^2-aのとき
    t^3+at^2+2bt+1>t^3+(b^2-t)t^2+2bt+1
    =(b^2)t^2+2bt+1
    =(bt+1)^2≧0
    よってt>b^2-aのときt^3+at^2+2bt+1>0なので
    t^3+at^2+2bt+1=0を満たすならばt≦b^2-a
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47283 / ResNo.2)  Re[2]: 3次方程式
□投稿者/ 高山 一般人(5回)-(2015/05/24(Sun) 10:40:45)
    ありがとうございます。  
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47276 / 親記事)  3次関数
□投稿者/ 高山 一般人(1回)-(2015/05/24(Sun) 08:46:29)
    a,bは実数とし
    f(x)=x^3+ax^2+2bx+1
    としたとき、
    f(b^2-a)≧0
    を示せ。

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47277 / ResNo.1)  Re[1]: 3次関数
□投稿者/ IT 一般人(10回)-(2015/05/24(Sun) 09:14:06)
    2015/05/24(Sun) 09:16:40 編集(投稿者)

    t=b^2-aとおくとa=b^2-tなので
    f(t)=t^3+(b^2-t)t^2+2bt+1
    =(b^2)t^2+2bt+1
    =(bt+1)^2≧0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47278 / ResNo.2)  Re[2]: 3次関数
□投稿者/ 高山 一般人(2回)-(2015/05/24(Sun) 09:22:10)
    ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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