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■49871 / 親記事)  目的の形への行列の三角化
□投稿者/ 鬼ちゃん 一般人(1回)-(2019/08/03(Sat) 18:44:03)
    3×3正方行列Aが
    A=[1, -1,1
    1, 0, -1
    -1, 0, 3]
    のように与えられているときに、A=P-1JPとなるような正則行列Pと三角行列J
    J=[a, 0, 0
    0, b, 1
    0, 0, b]
    があります。ここで、実数a,bの値とAを三角化するPを求めたいのですが、Aの固有値1, 2(1は重複度2)に対する固有ベクトルp1=(2, 1, 1)^t, p2=(1, 0, 1)^tを求め、この二つのベクトルと独立なベクトルp3を求めてP=[p1, p2, p3]として検算を行いましたが、P-1APは目標としていたような三角行列Jにならず困っています。p3の定め方によってPは変わり、またp1, p2, p3をPのどの列とするかによってもPは変わってしまうため、三角化の結果も変わってしまうと思うのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか?
    よろしくお願いします。
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■49873 / ResNo.1)  Re[1]: 目的の形への行列の三角化
□投稿者/ nakaiti 付き人(66回)-(2019/08/03(Sat) 23:21:50)
    まず固有値 1 が重複度 2 で固有値 2 が重複度 1 ということなので a=2,b=1 となることがわかります。正則行列 P を行ベクトルを使って P=(p1,p2,p3)^t と表すと A=P^{-1}JP の両辺に左から P をかけて
    (p1A,p2A,p3A)^t=PA=JP=(2p1,p2+p3,p3)
    を得ます。これを比べれば p1,p3 がそれぞれ固有値 2,1 に対する固有ベクトルであり、p2 は
    p2A=p2+p3
    を満たすベクトルであることがわかります。これらの関係式をもとに行列 P を求めればいいというのが基本的な考え方です。

    ただ、この p1,p2,p3 の求め方はすでに方法論があるのでそれも紹介しておきます。
    p1 は固有ベクトルなので求め方はわかると思います。
    一方、p2 に関する式を変形すると
    p2(A-E)=p3≠0
    となり p3 は固有値 1 に関する固有ベクトルなので
    p3(A-E)=0
    を満たします。つまり p2 は
    p2(A-E)^2=0 かつ p2(A-E)≠0
    となるものなので (A-E)^2 の核から (A-E) の核を除いたところから取ってきたベクトルを p2 とすればよく、このとき p3 は p3=p2(A-E) で定めればよいことがわかります。
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■49885 / ResNo.2)  Re[2]: 目的の形への行列の三角化
□投稿者/ 鬼ちゃん 一般人(3回)-(2019/08/06(Tue) 13:02:25)
    なるほど、理解できました!
    丁寧にご説明して頂きありがとうございます!
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■48988 / 親記事)  3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(37回)-(2019/01/17(Thu) 19:21:38)
    aは実数とする。
    関数f(x)=x^4-6x^2-4ax+a^2は3つの極値を持つものとする。
    (1)関数y=x^3-3xのグラフを書け。
    (2)aについて条件を求めよ。
    (3)f(x)の3つの極値の和が取り得る値の範囲を求めよ。
    教えていただけると幸いです。
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■49819 / ResNo.2)  Re[2]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(4回)-(2019/07/26(Fri) 15:37:04)
    (2)をもう少し詳しく教えていただけると幸いです。
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■49820 / ResNo.3)  Re[1]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(5回)-(2019/07/26(Fri) 15:47:57)
    無限大の場合分けは、一応書いてあるのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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■49821 / ResNo.4)  Re[2]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(6回)-(2019/07/26(Fri) 15:48:34)
    (2)です。
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■49822 / ResNo.5)  Re[3]: 3次関数について。
□投稿者/ nakaiti 付き人(60回)-(2019/07/26(Fri) 17:26:35)
    (2)は誘導に乗って解くこともできて f'(x)=4(x^3-x-a)=0 が異なる3つの実数解を持てばよいので
    x^3-x=a
    が異なる実数解を持てばよい。これは y=x^3-x と y=a というグラフが異なる3点で交わることと同じで(1)で書いたグラフを考えるとそのための条件が -2<a<2 であることがわかります。
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■49830 / ResNo.6)  Re[1]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(7回)-(2019/07/28(Sun) 16:14:22)
    では、x→∞の時、、、のところと、x→ー∞の時、、、のところは、どうなのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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■49018 / 親記事)  (削除)
□投稿者/ -(2019/02/11(Mon) 12:26:04)
    この記事は(投稿者)削除されました
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49019 / ResNo.1)  Re[1]: 静岡大学数学について。
□投稿者/ 菩菩紙御炉 一般人(2回)-(2019/02/13(Wed) 01:25:08)
    マルチポスト先の
    ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/10971569.html
    に回答がある。
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■49818 / ResNo.2)  Re[2]: 静岡大学数学について。
□投稿者/ コルム 一般人(3回)-(2019/07/26(Fri) 13:53:36)
    誰か詳しく教えていただけないでしょうか?
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■49788 / 親記事)  等角写像の問題です。
□投稿者/ にゃー 一般人(1回)-(2019/07/22(Mon) 21:01:59)
    円C:|z-1| の内部を第一象限に移す等角写像を1つ求めたいのですが、やり方がわかりません…。 単位円と上半平面の等角写像がポイントなのかなと勝手に思っているのですが…。 どなたかご教示いただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49789 / ResNo.1)  Re[1]: 等角写像の問題です。
□投稿者/ にゃー 一般人(3回)-(2019/07/22(Mon) 21:54:49)
    訂正 円C:|z-1|=1 です。
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■49812 / ResNo.2)  Re[2]: 等角写像の問題です。
□投稿者/ nakaiti 付き人(57回)-(2019/07/25(Thu) 19:41:16)
    あなたのところでの等角写像の定義はどのようになっていますか?普通に考えるとそのような等角写像は存在しないはずです。あまり厳密ではありませんがその理由は以下の通りです。

    仮にそのような等角写像が存在したとしてそれを w=f(z) としましょう。f による C の像は第一象限の境界である実軸の非負の部分と虚軸の上半分をつなげた折れ線 L になるはずで、特に原点に移される C の点 z0 が存在します。f は等角写像なので z0 における C の角度である 180°は保存されるはずですが、実際は 90°に変化してしまっています。
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■49806 / 親記事)  掲示板について。
□投稿者/ コルム 一般人(2回)-(2019/07/24(Wed) 18:01:48)
    excelやwordの質問ができる掲示板を知らないでしょうか?教えてgoo を退会してしまったもので。すみません。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■49807 / ResNo.1)  Re[1]: 掲示板について。
□投稿者/ マルチポスト撲滅委員会 一般人(6回)-(2019/07/24(Wed) 19:45:14)
     例の Excel 掲示板でWord に関する質問をして叩き出されたんだなw

     知恵袋で質問するんだな。
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