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■52314 / 親記事)  確立 基礎問題
□投稿者/ ああ 一般人(1回)-(2023/09/16(Sat) 15:02:59)
    ある袋に、赤玉5こと白玉4こがはいっている。
    同時に3つ取り出す場合に赤1白2になる確率を求めよ

    と言う問題において、回答は
    (5C1×4C2)/9C3=5/14
    となっており、納得ができるのですが、
    私の回答である
    5/9×4/8×3/7のどこが間違っているのかがまるで理解できません。
    どなたか教えてくださいませんか。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52315 / ResNo.1)  Re[1]: 確立 基礎問題
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2023/09/16(Sat) 18:38:25)
    2023/09/16(Sat) 18:42:57 編集(投稿者)

    ああさんの回答は
    途中で引いた球を戻さずに3個の玉を引くとき
    赤玉、白玉、白玉
    を「この順番で引く」確率です。

    ですので、他に
    白玉、赤玉、白玉
    白玉、白玉、赤玉
    の順に引く確率を考えて、これらの和を取る必要があります。

    ということでああさんの方針だと、求める確率は
    5/9×4/8×3/7+4/9×5/8×3/7+4/9×3/8×5/7
    =3×5/9×4/8×3/7
    =5×1/2×1/7
    =5/14
    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52316 / ResNo.2)  Re[2]: 確立 基礎問題
□投稿者/ ああ 一般人(4回)-(2023/09/16(Sat) 18:46:38)
    ご回答いただきありがとうございます。
    今考えればなぜこんな事に考えが及ばなかったのか...
    かなり間抜けでしたが、2度と同じ間違いを起こさない様気をつけます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52313 / 親記事)  CELINE コピー
□投稿者/ vogcopy.net 一般人(2回)-(2023/09/15(Fri) 16:16:44)
    エディ・スリマンがセリーヌのクリエイティブ ディレクターに就任して初めて手がけたアイコンバッグ「16(セーズ)」。vogcopy.net/brand-23-c0.html CELINE コピー 今季は新色として淡いラベンダーカラーが仲間入り。よりドラマティックな印象になったワンハンドルバッグが、スタイリングに華を添えてくれる。

    パリの凱旋門のチェーンからインスパイアされたセリーヌの「トリオンフ」。vogcopyneed.weebly.com/ シグネチャーをレザーで覆ってステッチをあしらったこちらのチェーンショルダーバッグは、よりミニマムなデザイン。ジャケットなどのトラッドスタイルからデニムなどのカジュアルスタイルまで、どんな装いにもマッチ。
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■52177 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ 夜勤中断 一般人(1回)-(2023/05/05(Fri) 17:08:54)
    正の整数nでn<m<3nかつgcd(n,m)=1を満たすmが全て素数である
    ようなものを全て求めるにはどうすればよいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52311 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2023/09/15(Fri) 00:13:18)
    n = 1のとき、1 < m < 3*1を満たし、(1, m) = 1となるのはm = 2のみなので題意を満たします。

    n > 1のとき、n < 2n-1 < 2n+1 < 3nであり、(n, 2n-1) = (n, 2n+1) = 1だから、
    nが題意を満たすなら2n-1と2n+1が共に素数であることが必要です。

    従って、題意を満たすnを全て求めるということは、双子素数を全て求めるということに匹敵します。
    現在、双子素数が有限個か無限個かは未解決だと思いますので、おそらくこの質問の回答も未解決ということになるのではないでしょうか?

    それとも、質問者さんは双子素数問題に挑んでいて、何らかの情報を集めていらしゃるのかな?
    余談ですが、昔まだフェルマーの大定理が未解決だった頃、東大入試にそれを証明せよという問題が出題されたことがあり、もしかして解いてしまう強者受験生がいるかもしれないという期待があったようですが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52312 / ResNo.2)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2023/09/15(Fri) 08:39:07)
    ※一部未証明です。

    n=1,2は条件を満たす。
    nが3以上の奇数のとき、m=n+1とすればgcd(n,m)=1かつmが非素数(4以上の偶数)なので不適。
    nが4以上で3で割り切れない偶数のとき、n<m<3n, m=3^kを満たすmが存在するので不適。
    よってn≧3ではnが6の倍数の場合のみ考えればよい。
    n=6は条件を満たす。
    n=12,18,24のときm=25がnと互いに素な非素数。
    n=30,36,42,48のときm=49がnと互いに素な非素数。
    n=54のときm=121がnと互いに素な非素数。
    k≧5のときprime[k+2]/prime[k]<√3(要証明だが難しいかも)だから
    3n>13^2のときnと3nの間に素数の2乗が2個以上存在する。
    よってn≧60のときnと3nの間に素数の2乗p^2とq^2が存在し、
    gcd(n,p)=1またはgcd(n,q)=1のいずれかが成り立つので
    m=p^2またはm=q^2がnと互いに素な非素数となる。
    よって条件を満たすnはn=1,2,6の3個のみ。

    # というわけで、まず間違いなく成り立つであろう「k≧5のときprime[k+2]/prime[k]<√3」が示せれば、上記が成り立ちます。

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■52213 / 親記事)  二項係数2nCn
□投稿者/ 二項係数 一般人(1回)-(2023/06/01(Thu) 23:20:51)
    nが2以上のとき
    2nCn<2^(2n-1)
    の証明教えて下さい
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52310 / ResNo.1)  Re[1]: 二項係数2nCn
□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2023/09/11(Mon) 18:10:06)
    # 今頃回答が付いても無意味かもしれませんが・・・。

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    組み合わせの数nCrをC(n, r)と表すこととします。

    nを2以上の自然数として、
    C(2n, n) = ((2n)!)/(n!)((2n-n)!)
    = {(2n)(2n-1)(2n-2)・・・(2n-(n-1))}/{(n)(n-1)(n-2)・・・(n-(n-1))}
    = {(2n)(2n-1)(2n-2)・・・(n+1)}/{(n)(n-1)(n-2)・・・(1)}

    n = 2のとき、C(2*2, 2) = {4*3}/{2*1} = 6 かつ 2^(2*2-1) = 8 なので、
    C(2n, n) < 2^(2n-1)という題意は成立します。

    kを2以上の自然数として、n = kのときにC(2k, k) < 2^(2k-1)が成立すると仮定します。
    C(2k, k) = {(2k)(2k-1)(2k-2)・・・(k+1)}/{(k)(k-1)(k-2)・・・(1)}です。

    すると、n = k+1の場合、
    C(2(k+1), k+1) = {(2(k+1))(2(k+1)-1)(2(k+1)-2)・・・((k+1)+1)}/{(k+1)((k+1)-1)((k+1)-2)・・・(1)}
    = {(2k+2)(2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2)・・・(k+2)}/{(k+1)(k)(k-1)(k-2)・・・(1)}
    = {{(2k+2)(2k+1)/(k+1)}/{(k+1)}}C(2k, k)

    ここで、
    {(2k+2)(2k+1)/(k+1)}/{(k+1)} = {(2k+2)/(k+1)}{(2k+1)/(k+1)} = 2{2-1/(k+1)} < 2^2
    ですから、
    C(2(k+1), k+1) < (2^2)C(2k, k) < 2^(2+(2k-1)) = 2^(2(k+1)-1)
    となり、n = k+1でも題意は成立します。

    以上から数学的帰納法により、nを2以上の自然数としてC(2n, n) < 2^(2n-1)が成立すると言えます。
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■52299 / 親記事)  係数
□投稿者/ 係数 一般人(1回)-(2023/09/06(Wed) 19:33:15)
    Σ[k=0,∞](5x-3x^2)^kを展開して整理してa[0]+a[1]x+a[2]x^2+…+a[n]x^n+…
    と表した時の係数a[n]はどのような式で表されるのか教えて下さい。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■52300 / ResNo.1)  Re[1]: 係数
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 00:25:22)
    2023/09/08(Fri) 00:22:54 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    また、xの値に関わらず(5x-3x^2)^0 = 1とします。

    Σ[k=0,∞]{(5x-3x^2)^k} = 1/{1-(5x-3x^2)}ですから、
    f(x) = 1/(3x^2-5x+1)と置けば、a[0], a[1], ・・・はf(x)のマクローリン展開の係数となり、
    a[0] = f(0)/(0!), a[1] = f'(0)/(1!), a[2] = f''(0)/(2!), ・・・となります。

    nを非負整数として、f(x)のn階導関数をf[n](x)と表すことにします。
    f[0](x)はf(x)自身です。すると、a[n] = f[n](0)/(n!)となりますね。

    # おそらく質問者さんは、a[n]をもっと具体的なnの式で表すことを期待されていると思うので、
    # 上記の回答では期待外れでしょうけど。
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■52304 / ResNo.2)  Re[2]: 係数
□投稿者/ 係数 一般人(2回)-(2023/09/08(Fri) 15:25:38)
    ありがとうございます。ちなみにですが、a[n]>0になることって簡単に分かったりしますか?
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■52308 / ResNo.3)  Re[1]: 係数
□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2023/09/11(Mon) 00:18:25)
    3x^2-5x+1 = 0とおくと、x = (5±√13)/6ですので、
    u = (5+√13)/6, v = (5-√13)/6とすれば、3x^2-5x+1 = 3(x-u)(x-v)です。

    よって、
    1/(3x^2-5x+1) = 1/{3(x-u)(x-v)}
    = (1/(3(u-v))){1/(x-u)-1/(x-v)}
    = (1/√13){(1/v)/(1-x/v)-(1/u)/(1-x/u)}
    = (1/√13){3u/(1-3ux)-3v/(1-3vx)}
    = (3/√13){uΣ[k=0,∞]((3ux)^k)-vΣ[k=0,∞]((3vx)^k)}
    = (3/√13)Σ[k=0,∞]{(3^k)((u^(k+1))-(v^(k+1)))(x^k)}

    但し、xの値に関わらずx^0 = 1とします。
    以上から、自然数nに対してa[n] = {((3u)^(n+1))-((3v)^(n+1))}/√13となります。
    u > 1 > v > 0なので、(u^(n+1))-(v^(n+1)) > 0ですので、a[n] > 0と言えそうです。

    # 計算間違いしている可能性もあるので、質問者さんの方で良く検算してみてください。
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■52309 / ResNo.4)  私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください!
□投稿者/ Lambda Winner 一般人(1回)-(2023/09/11(Mon) 15:09:57)
http://xolotto.com/ja/
    私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください! ハハハ、エッセイをたくさん書くように言ってもいいけど、数字を見ると頭が自動的に痛くなるみたい。 とにかく高校の時、係数を勉強した記憶があって すごく大変でした。
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