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■49020 / 親記事)  整数解
□投稿者/ q 一般人(1回)-(2019/02/13(Wed) 21:52:58)
    5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0    の 整数解を全て 是非求めて下さい;
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■50569 / ResNo.3)  Re[3]: 整数解
□投稿者/ ポートニック 一般人(2回)-(2020/12/12(Sat) 06:07:48)
    先に結論を書いておきます
    そのあとに幅ひろく通用する導出過程を記しておきます
    長くなるのでここのページでは結果だけとします

    α=√21, ε=(5+α)/2, s=19+9α, t=2+8α,
    Kを有理数体にαを添加して得られる体とし,
    有理整数環ZのKにおける整閉包をAとする.

    KはQ上のベクトル空間として基底{1,α}を持つので
    各w∈Kに対して,w=p+qαを満たすp,q∈Qが一意的に取れるが
    f(w)=p, g(w)=q によりKからQへの関数f,gを定める.

    x,yが問題の方程式を満たす整数であるとき,
    以下の(1)-(4)のいずれかが成立し,また逆も成立する:

    (1)
    ある整数nが存在して
    u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
    x = (23+u)/21
    y = (-x-v-9)/4
    このとき,n≡0(mod 6)

    (2)
    ある整数nが存在して
    u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
    x = (23-u)/21
    y = (-x-v-9)/4
    このとき,n≡4(mod 6)

    (3)
    ある整数nが存在して
    u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
    x = (23+u)/21
    y = (-x+v-9)/4
    このとき,n≡2(mod 6)

    (4)
    ある整数nが存在して
    u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
    x = (23-u)/21
    y = (-x+v-9)/4
    このとき,n≡2(mod 6)

    (3),(4)はn≡2(mod 6)の部分は同じだが
    u,vの取り方とx,yの対応の仕方が異なる


    念の為,小さい解をいくつか求めてみる

    (1)のパターンから導かれる解:
    n= 0 とすれば
    (u,v)=(19,9) より (x,y)=(2,-5)
    n= -6 とすれば
    (u,v)=(-134549,29361) より (x,y)=(-6406,-5741)
    n= 6 とすれば
    (u,v)=(364411,79521) より (x,y)=(17354,-24221)

    (2)のパターンから導かれる解:
    n=4 とすれば
    (u,v)=(10187,2223) より (x,y)=(-484,-437)
    n= -2 とすれば
    (u,v)=(-397,87) より (x,y)=(20,-29)

    (3)のパターンから導かれる解:
    n=2 とすれば
    (u,v)=(691,151) より (x,y)=(34,27)

    (4)のパターンから導かれる解:
    n=2 とすれば
    (u,v)=(443,97) より (x,y)=(-20,27)

    勿論きりがないので具体的を挙げるのはこれで終わりとします
    解の表現としては整数係数の漸化式で与える方法もありますが
    すでに構成した表現から漸化式を得るの難しくないでしょう

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50570 / ResNo.4)  Re[4]: 整数解
□投稿者/ ポートニック 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 06:11:20)
    以下は導出過程です
    記号はさっきの記事を継承します

    まず必要条件から絞ることを考える
    5x^2-2xy-16x-4y^2-18y+2=0
    がある整数x,yに対して成立していたとする

    -4y = x+9 ± √(21x^2-46x+89) ...(△)
    となるように符号を選ぶことができる

    21x^2-46x+89 = w^2 を満たす整数wが取れる
    よって, (21x-23)^2 - 21w^2 = -1340 を得る
    z = 21x-23 とおけば z^2 - 21w^2 = -1340 ...(☆)

    ここで I=(z-wα)A とおく
    (つまり,Iはz-wαで単生成するAのイデアル)

    以下, N(.)はAのイデアルのノルム関数とする.

    ☆より N(I) = |1340| = 2^2*5*17 である

    Kの判別式は 21 であるので
    (21/5) = (21/67) = 1 より
    5A,67A は以下のように異なる素イデアルの積に分解する:
    5A = (5,α+1)(5,α-1)
    67A = (67,α+17)(67,α-17)

    また,2Aは既に素イデアルである

    したがって N(I)= 2^2*5*17 とあわせて
    Iは以下の4つのいずれかに一致している:

    2A(5,α+1)(67,α+17)
    2A(5,α+1)(67,α-17)
    2A(5,α-1)(67,α+17)
    2A(5,α-1)(67,α-17)

    それぞれのイデアルの積を計算すると

    (19 + 9α)A,(2 - 8α)A,(19 - 9α)A,(2 + 8α)A となる

    (共役を考えれば4つのうち前半の2つだけで残りがわかる)

    さて,Aの基本単数を計算することになるが
    そのためには |p^2-21q^2|=4 を満たす最小の正整数解を求めればよい.
    (p,q)=(5,1)が要件を満たすので冒頭で定めたεは実は基本単数である.
    (一般には正則連分数展開から2次体の基本単数は高速に求まる)

    I = (19 + 9α)A のときを考える
    このとき, (z-wα)A = (19 + 9α)A であるので
    z-wα = ±(19 + 9α)ε^n を満たす整数nが取れる
    εの共役は 1/ε であるのだから
    I = (19 - 9α)A のケースを考える必要はない

    I = (2 + 8α)A のときを考える
    このとき, (z-wα)A = (2 + 8α)A であるので
    z-wα = ±(2 + 8α)ε^n を満たす整数nが取れる
    εの共役は 1/ε であるのだから
    I = (2 - 8α)A のケースを考える必要はない

    まとめると ある整数nが存在して
    z-wα = ±sε^n または z-wα = ±tε^n
    が成立するように符号を選ぶことができる

    z = 21x-23 だから z≡ -2 (mod αA) となる
    よって, ε,s,t をmod αA で考えることで
    nが偶数であることがいえる

    より正確には,
    z-wα = sε^n または z-wα = -tε^n
    がある偶数nに対して成立するとなる,

    あとは△の右辺が4の倍数である条件を考えるだけでよい.
    そのためには ε^6≡1 (mod 4A) などに注意して
    nをmod 6 で類別し s,t,ε^2,ε^4 などをmod 4Aで計算する.
    ここからはひたすらルーチンなので ここで終わりとする
    (絞れて得られた解が実際に解になることは難しくない)

    以上の解法を4ステップでいうなら
    まず判別式、次にイデアルの計算、そして基本単数、最後にmodulo計算
    (実は今回のパターンではAは単項イデアル整域である
    そのことはたとえばMinkowski's boundを用いれば易い
    しかしながらAがPIDでなくても上記解法に不都合は生じない)

    導出過程の概略ここまで



引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50571 / ResNo.5)  Re[5]: 整数解
□投稿者/ 2666 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 14:51:35)
     高校数学レベルでの解き方はできないのですか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50572 / ResNo.6)  Re[6]: 整数解
□投稿者/ ポートニック 一般人(4回)-(2020/12/14(Mon) 03:13:51)
    No50571に返信(2666さんの記事)
    >  高校数学レベルでの解き方はできないのですか?
    >

    原理的には可能でしょう
    ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
    どういうアプローチがあるかというのを
    行きあたりばったりではなく 系統的に説明する場合は
    高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます

    今回は結果をみてもわかるとおり少し複雑なので
    たとえば幾分シンプルなケース: x^2 -2y^2 = 1
    これぐらいなら高校数学の問題と出題しても大丈夫だとおもわれます
    (ただこれはこれで有名すぎるかもしれないが...)

    私は本題の出題者ではないし 本題が高校数学の問題として適切かどうかは保留とします
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50577 / ResNo.7)  Re[7]: 整数解
□投稿者/ q 一般人(1回)-(2020/12/15(Tue) 15:34:32)
    No50572に返信(ポートニックさんの記事)
    > ■No50571に返信(2666さんの記事)
    >> 高校数学レベルでの解き方はできないのですか?
    >>
    >
    > 原理的には可能でしょう
    > ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
    > どういうアプローチがあるかというのを
    > 行きあたりばったりではなく 系統的に説明する場合は
    > 高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます
    >

    C;5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0
         は双曲線であり
         
      漸近線が
    -(((105 x+(21 Sqrt[21]-21) y+53 Sqrt[21]-168) (-105 x+(21+21 Sqrt[21]) y+53 Sqrt[21]+168))/2205)=0
    y=1/84 (-Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189),
    y=1/84 (Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189)
    である ことから
    C∩Z^2 を 求める方法を 是非教えてください;


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50369 / 親記事)  全ての 整数解 等
□投稿者/ nomi 一般人(2回)-(2020/06/16(Tue) 05:32:58)
    [1] K x y^2+48 x^4+372 x^3 y+124 x^3+929 x^2 y^2+648 x^2 y+108 x^2
      +804 x y^3+324 x y+36 x+216 y^4+354 y^3+203 y^2+48 y+4 
      を @@多様な発想で@@ Kを定め 二次式の積[因数分解]表現願います;

    [2] 為された 二次式の積=0 を満たす 整数解を 2つ明記願います;
    [3] 二次式の積=0 なる 各 2次曲線 の 名は?
    双曲線が出現したなら 漸近線を 導出法を 明記し 求めて下さい;

    [3] さらに 全ての 整数解を 導出過程を 明記し 是非 求めて下さい;
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50573 / ResNo.1)  Re[1]: 全ての 整数解 等
□投稿者/ ポートニック 一般人(5回)-(2020/12/14(Mon) 03:20:03)
    [1]は考えている代数構造が問題文からではハッキリしないので
    (以降の問題文からZ[x,y]上で分解する問題だと推測できるけれど)
    [1]については2変数の複素係数多項式環C[x,y]上で考えることにします
    これだとそこそこ一般的なので悪くはないとおもいます
    (ただCまで拡張しても答えは同じになります)

    問題の多項式を f(x,y)∈C[x,y]とおく.
    f(x,y)が2次の因子を持つならば,
    ある次数2のg(x,y)∈C[x,y]が存在して
    f(x,y)≡0 (mod g(x,y)) が成立する.
    つまり剰余環R=C[x,y]/(g)にて fの像は消える
    計算のために g(x,y)=x^2-axy-by^2-cx-dy-e とおく
    RはC上の無限次元ベクトル空間で
    基底として(x^i*y^j) (i∈{0,1},0≦j) が取れる
    このことから問題は連立方程式の問題に帰着される
    計算により,a,b,c,d,eの組は2通りに決まり
    いずれの場合も k=916 を得る
    (ちなみに可約まで拡張しても k=916 しかありません)

    k=916 のとき
    f(x,y) = (3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1)(16x^2+60xy+20x+27y^2+24y+4)


    (2)は最後の問題の一部なので 飛ばして次は[3]にうつります
    最後の問題はなぜか同じ番号がふられていますが勝手に[4]とします

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50574 / ResNo.2)  Re[1]: 全ての 整数解 等
□投稿者/ ポートニック 一般人(6回)-(2020/12/14(Mon) 03:26:53)
    [3] は2つにページをわけます
    このページでは2次曲線の分類を行います

    結論からいうと共に双曲線である
    2次曲線の分類は与えられた係数のみで行うことができる
    一般の ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f = 0 で与えられる2次曲線の分類は以下の通り:

    -------------
    以下のように対称行列A,Bと定数kを定める.
    A=[[a,b],[b,c]],B=[[a,b,d],[b,c,e],[d,e,f]]
    k = det[[a,b],[b,c]]+det[[a,d],[d,f]]+det[[c,e],[e,f]]

    (1) det(A)>0 のとき
    det(B)*tr(A)<0 ならば 楕円
    det(B)*tr(A)=0 ならば 1点集合
    det(B)*tr(A)>0 ならば 空集合

    (2) det(A)<0 のとき
    det(B)≠0 ならば 双曲線
    det(B)=0 ならば 交わる2直線

    (3) det(A)=0 のとき
    det(B)≠0 ならば 放物線
    det(B)=0 のときは kの値によって以下の3通りがある:
    ・k<0 ならば 平行な2直線
    ・k = 0 ならば 1つの直線
    ・k>0 ならば 空集合
    -------------

    3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1 について
    ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f の形にすると
    a=3,b=6,c=8,d=2,e=3,f=1 である
    今回のケースでは det(A)= -12 <0 であるから
    3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1=0 が表す2次曲線は
    双曲線または交わる2直線に分類される
    その2つをさらに区別するには
    det(B)が0であるかどうかをチェックすればよい
    今回のケースでは det(B)= 1≠0 であるから
    交わる2直線にはならず,「双曲線に分類される」
    もう片方の2次曲線についても同様である

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50575 / ResNo.3)  Re[1]: 全ての 整数解 等
□投稿者/ ポートニック 一般人(7回)-(2020/12/14(Mon) 03:29:08)
    [3] の後半となります.つまり漸近線を求めること.

    平面アフィン代数曲線における漸近線とは
    対応する射影曲線上の無限遠点における接線である

    そこで 3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1 を斉次化し
    g(x,y,z)=3x^2+12xy+4xz+8y^2+6yz+z^2 を得る
    C上の射影曲線D:g(x,y,z) = 0 を定める.
    ここで直線z=0は無限遠直線を表している
    [a:b:c]をDとz=0との交点とすれば,
    3a^2+12ab+8b^2 = 0 であるので
    D上の無限遠点はちょうど2つ存在し,
    それは [α:1:0] と [β:1:0] である
    ここでα,βは 3t^2+12t+8=0 の異なる2根である
    よって,求める漸近線はちょうど2本存在し,
    (∂g(u)/∂x)x + (∂g(u)/∂y)y + (∂g(u)/∂y)z = 0 で定まるものに対応する
    ここで uはD上の無限遠点とする

    具体的に求めてみる:
    ∂g/∂x = 6x + 12y + 4z
    ∂g/∂y = 12x + 16y + 6z
    ∂g/∂z = 4x + 6y + 2z

    γはαまたはβのいずれかとする.
    ∂g(u)/∂x = 6γ + 12
    ∂g(u)/∂x = 12γ + 16
    ∂g(u)/∂z = 4γ + 6

    よって, (6γ + 12)x + (12γ + 16)y + (4γ + 6)z = 0

    これを非斉次化すれば
    (6γ + 12)x + (12γ + 16)y + (4γ + 6) = 0

    簡約すれば
    (9γ+42)x + (-6γ+24)y + 13 = 0
    あるいは
    y = (-3γ/8 - 3/2)x - γ/16 - 1/2

    以下の2本が求める漸近線となる:
    y = (-3-√3)x/4 -√3/24 - 3/8
    y = (-3+√3)x/4 +√3/24 - 3/8


    平面曲線:16x^2+60xy+20x+27y^2+24y+4 = 0
    についても全く同様の手法で以下の2本を得る:
    y = (-10-2√ 13)x/9 - 5√13/117 - 4/9
    y = (-10+2√ 13)x/9 + 5√13/117 - 4/9

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50576 / ResNo.4)  Re[1]: 全ての 整数解 等
□投稿者/ ポートニック 一般人(8回)-(2020/12/14(Mon) 03:36:43)
    最後の問題の[4]
    導出法については以前にわたしがここで書いたものが
    汎用性の高い手法なので参考になるとおもいます
    www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=res&namber=49020
    たぶん出題者は同一人物なので 把握されていることを信じます

    2元2次の不定方程式は以前にやったように一般的な解法が存在する
    今回も当然のごとく同様の方法で解くことができるのだから結果のみを記す
    せっかくなので漸化式を用いて解を記述することにする

    3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1 = 0 の整数解について:
    a[n+1] = -71*a[n] -224*b[n] - 68
    b[n+1] = 84*a[n] +265*b[n] + 80
    a[0] = -1, b[0] = 0
    により整数列(a_n),(b_n)を定める
    ただし,負の番号も許すとする.
    初期値から負の番号の項も計算できることに注意する.
    このとき,任意の整数nに対して,(x,y)=(a[n],b[n])は解となり,
    逆にx,yが不定方程式の解ならば,対応する整数nが必ず取れる.

    いくつか求めてみる
    a[1] = 3, b[1] = -4
    a[2] = 615, b[2] = -728
    a[-1] = -165, b[-1] = 52
    a[-2] = -31977, b[-2] = 10136


    16x^2+60xy+20x+27y^2+24y+4 = 0 の整数解について:
    a[n+1] = 251*a[n] + 810*b[n] + 235
    b[n+1] = -480*a[n] - 1549*b[n] - 450
    a[0] = -1, b[0] = 0
    により整数列(a_n),(b_n)を定める
    ただし,負の番号も許すとする.
    このとき,任意の整数nに対して,(x,y)=(a[n],b[n])は解となり,
    逆にx,yが不定方程式の解ならば,対応する整数nが必ず取れる.

    いくつか求めてみる
    a[1] = -16, b[1] = 30
    a[2] = 20519, b[2] = -39240
    a[-1] = 1064, b[-1] = -330
    a[-2] = -1381321, b[-2] = 428040

    以上
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■50568 / 親記事)  完璧なのコピーbuytowe
□投稿者/ 完璧なのコピーbuytowe 一般人(1回)-(2020/12/11(Fri) 12:35:26)
    完璧なのコピーbuytowe

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■50320 / 親記事)  素数
□投稿者/ 招き猫 一般人(1回)-(2020/04/21(Tue) 21:50:21)
    素数についての命題の証明を読んでいるのですが、
    以下がなぜ言えるのか分からないので教えてほしいです。
    証明の流れ的に恐ろしく簡単なことだと思うのですが…
    よろしくお願いします。

    pは素数、kは自然数で、kはp-1の倍数ではないとき
    pと互いに素な自然数aでa^k-1がpの倍数でない、というaが存在する。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50567 / ResNo.1)  Re[1]: 素数
□投稿者/ ポートニック 一般人(1回)-(2020/12/09(Wed) 04:42:53)
    aをmod pの原始根とする
    これが条件を満たすaである
    さもなければ a^k≡1 (mod p)であるから
    原始根の性質により p-1|k がいえるので
    kはp-1の倍数ではないという仮定に反する
    証明ここまで

    原始根の存在については 初等整数論講義に完全に初等的な証明があります
    wikisource 初等整数論講義 で検索をかけるとよいです
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■50564 / 親記事)  指数計算の練習
□投稿者/ 2666 一般人(1回)-(2020/12/03(Thu) 16:35:35)
      1/(5(e^(πi/5))^4) = -(1/5)e^(πi/5)

    となる理由を教えて下さい。左辺の分母は

      5(e^(πi/5))^4 = 5e^(4πi/5) = -5e^(πi/5)

    ですから

      1/-5e^(πi/5) = -(1/5)e^(-πi/5)

    となりませんか?

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50565 / ResNo.1)  Re[1]: 指数計算の練習
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2020/12/03(Thu) 20:53:49)
    > 5e^(4πi/5) = -5e^(πi/5)

    これは違います。
    5e^(4πi/5)=-5e^(-πi/5)
    です。
    5e^(4πi/5)は偏角4π/5の点なので
    -を付けると偏角は-π/5になります。
    図で確認して下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50566 / ResNo.2)  Re[2]: 指数計算の練習
□投稿者/ 2666 一般人(2回)-(2020/12/03(Thu) 21:33:18)
    ああ、そうですね! うっかりしていました。
    回答ありがとうございました。
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