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■52679 / 親記事)  確率
□投稿者/ たける 一般人(1回)-(2025/02/09(Sun) 06:34:08)
    サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率と
    サイコロをn+1回ふって同じ目が連続でm+1回以上出る確率は
    どちらが大きいか知りたいです。
    理由もあわせて教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52812 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ muturajcp 一般人(16回)-(2025/04/13(Sun) 09:43:27)
    1≦m≦n
    k=0〜n-mに対して
    6以外の目がk回出る確率が(5/6)^kその後6の目が連続でm回出る確率は1/6^m
    だから
    サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率は

    (1/6^m)Σ[k=0〜n-m](5/6)^k …@
    ------------------------------------------
    サイコロをn+1回ふって同じ目が連続でm+1回以上出る確率は

    m=1のとき

    1回目と2回目が同じ目が出る確率は(1/6)

    k=1〜n-1に対して
    k回目とk+1回目が異なる目が出る確率(5/6)^k
    n回目とn+1回目が同じ目が出る確率は(1/6)

    (1/6)+(1/6)Σ[k=1〜n-1](5/6)^k
    =
    (1/6^m)Σ[k=0〜n-m](5/6)^k
    となって@に等しい
    ---
    n-m≦1のとき

    1〜m+1回目が同じ目が出る確率は(1/6^m)

    n-m=1のとき
    1回目と2回目が異なる目が出る確率(5/6)
    n+1-m〜n+1回目が同じ目が出る確率は(1/6^m)

    (1/6^m)+(1/6^m)(5/6)
    =
    (1/6^m)Σ[k=0〜n-m](5/6)^k
    となって@に等しい
    ---
    m=2
    n=4
    のとき
    サイコロを4+1回ふって同じ目が連続で2+1回以上出る確率は
    aaa
    (1/6^2)
    baaa
    (5/6)(1/6^2)
    bbaaa
    (1/6)(5/6)(1/6^2)
    bcaaa
    (5/6)(5/6)(1/6^2)

    (1/6^2){1+2(5/6)}
    >
    (1/6^2){1+(5/6)+(5/6)^2}
    だから

    サイコロを4回ふって6の目が連続で2回以上出る確率より大きい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52814 / ResNo.2)  Re[2]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2025/04/13(Sun) 12:10:23)
    例えばn=5,m=2のとき
    3,6,4,6,6
    でも「6の目が連続でm回以上出」たことになるのでは?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52815 / ResNo.3)  Re[3]: 確率
□投稿者/ muturajcp 一般人(17回)-(2025/04/13(Sun) 16:16:37)
    間違えました取り消します

    m=1 のとき
    1≦m≦n
    k=0〜n-mに対して
    6以外の目がk回出る確率が(5/6)^kその後6の目が連続でm回出る確率は1/6^m
    だから
    サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率は

    (1/6^m)Σ[k=0〜n-m](5/6)^k …@

    m=1のときしか成り立ちませんでした

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]



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■52561 / 親記事)  52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ スフィンクス 一般人(3回)-(2024/07/09(Tue) 10:38:27)
     興味深い問題なので勉強中なのですが、式変形がよくわかりません。


    √(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと

    N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)

    -------------
     この式変形がさっぱりわかりません。Word に書き写してみましたが、それでもわかりません。


652×290 => 250×111

1720489107.png
/186KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■52562 / ResNo.1)  Re[1]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2024/07/09(Tue) 16:41:09)
    1行目はいいとして、その後すぐに
    両辺をN^(2log[5]2)で割って
    Nを1個にすれば解けます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52563 / ResNo.2)  Re[2]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ スフィンクス 一般人(4回)-(2024/07/09(Tue) 20:39:05)
    No52562に返信(らすかるさんの記事)
    > 1行目はいいとして、その後すぐに
    > 両辺をN^(2log[5]2)で割って
    > Nを1個にすれば解けます。

     こうですか?

550×234 => 250×106

1720525145.png
/126KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52564 / ResNo.3)  Re[3]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2024/07/09(Tue) 23:01:13)
    はい、その通りです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52565 / ResNo.4)  Re[4]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ スフィンクス 一般人(5回)-(2024/07/10(Wed) 11:06:37)
     ありがとうございました。証明全体もなんとか理解できました。しかし、難しいですね。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52804 / ResNo.5)  Re[5]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ 一万円 一般人(1回)-(2025/04/05(Sat) 05:07:56)
http://youtu.be/EAaUqx87TsQ
    これ今年の一橋大学に出ましたね
    的中
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-5]



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■52538 / 親記事)  約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(1回)-(2024/06/07(Fri) 19:39:01)
    自然数nで約数の個数が√(3n)以上となるものを全て求めよ。

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■52544 / ResNo.2)  Re[2]: 約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(2回)-(2024/06/11(Tue) 20:22:47)
    他には無いのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52545 / ResNo.3)  Re[3]: 約数の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2024/06/12(Wed) 19:10:40)
    n=2^p・3^q・N(p,qは非負整数、Nは2でも3でも割り切れない自然数)とすると
    Nの素因数は最小で5なのでNの素因数の個数はlog[5]N以下
    Nの素因数がk個のとき、約数の個数が最大となるのは
    k個の素因数がすべて異なるときで、2^k個
    従って自然数nの約数の個数は
    (p+1)(q+1)・2^(log[5]N)=(p+1)(q+1)・N^(log[5]2)以下
    √(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと
    N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)
    f(p)=(p+1)^2/2^pはp=2/log2-1≒1.88539のとき極大でf(1)=2,f(2)=9/4,f(3)=2なので
    非負整数pに対してf(p)の最大値はf(2)=9/4
    g(q)=(q+1)^2/3^(q+1)はq=2/log3-1≒0.82048のとき極大でg(0)=1/3,g(1)=4/9,g(2)=1/3なので
    非負整数qに対してg(q)の最大値はg(1)=4/9
    1/(1-log[5]4)>1なので
    (p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)<1のとき(1)の右辺が1未満となり解なし
    従って(1)を満たす解はp=2かつq=1かつN=1のみなので、元の問題の解はn=12のみ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52546 / ResNo.4)  Re[4]: 約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(3回)-(2024/06/13(Thu) 13:23:05)
    理解出来ました。
    有難うございます。

    素因数の個数を(ω(n)ではなく)Ω(n)の意味で使っているんですね。
    //ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52568 / ResNo.5)  Re[3]: 約数の個数
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/07/14(Sun) 09:54:41)
    x(p)≧0は整数
    n=Π[pは素数]p^{x(p)}
    とする
    √(3n)≦Π{pは素数}{1+x(p)}
    ↓両辺を2乗すると
    3n≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2

    3Π[pは素数]p^{x(p)}≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2

    3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}

    f{p}(x)=(1+x)^2/p^x
    とすると
    f'{p}(x)=(1+x){2-(1+x)logp}/p^x
    x>2/logp-1のときf'{p}(x)<0だからf{p}(x)は減少
    f{p}(0)=1
    f{2}(1)=2

    p=2のときx≧2>2/log2-1のときf{2}(x)は減少
    (1+x)^2/2^x≦f{2}(2)=9/4
    f{2}(x)はx=2で最大値9/4になる

    p≧3のときx≧1>2/log-1のときf{p}(x)は減少

    p=3のとき
    (1+x)^2/3^x≦f{3}(1)=4/3
    f{3}(x)はx=1で最大値4/3になる

    p≧5のとき
    f{p}(1)=4/p<1=f{p}(0)
    (1+x)^2/p^x≦f{p}(0)=1
    f{p}(x)はx=0で最大値1になる

    3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}≦f{2}(2)f{3}(1)Π{素数p≧5}f{p}(0)=(9/4)(4/3)・1=3

    n=2^2・3^1=12
1000×1000 => 250×250

m202406281353.jpg
/99KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52803 / ResNo.6)  Re[4]: 約数の個数
□投稿者/ コスモス 一般人(1回)-(2025/04/05(Sat) 05:06:20)
http://youtu.be/bAXJTnlD1Cg
    これ今年の一橋に出たんですね
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52574 / 親記事)  羅生門
□投稿者/ 茶川龍之介 一般人(1回)-(2024/07/15(Mon) 08:57:41)
    仕事をクビになり会社の門で憔悴していたらババアがいきなり話しかけてきました。

    「この大きい袋に7で割り切れない自然数がたくさん入っている。無作為にひとつ引いてこっちの小さい袋に入れろ。引いた自然数は見てはいけない。
     小さい袋には不思議な力があり、入れた自然数のすべての正の約数がひとつずつ中に現れるので、無作為にひとつ引け。引いた約数はまだ見てはいけない。
     その約数を7で割った余りが1,2,4のどれかであるか3,5,6のどれかであるか賭けろ。
     引いた約数を確認して賭けたほうに一致していたら一生遊んで暮らせるだけの金をくれてやる。
     一致していなければ熱湯で鼻を茹でるぞ」

    …と。

    私は1,2,4か3,5,6のどちらに賭けたらいいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52801 / ResNo.1)  Re[1]: 羅生門
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2025/04/02(Wed) 15:50:03)
    2025/04/03(Thu) 10:15:17 編集(投稿者)

    問題文が曖昧です。

    最初に引いた7で割り切れない自然数をnとします。
    そして小さい袋には「入れた自然数のすべての正の約数がひとつずつ中に現れる」とありますが、
    n自身もnの正の約数なのだから、nも現れて、
    小さい袋の中には「入れたn」と「現れたn」の2個のnがあると考えるのか?
    それとも、n自身を除く正の約数がひとつずつ現れるのか?

    「無作為にひとつ引け。引いた約数は・・・」とありますが、
    この「引いた約数」にn自身は含めるのか?
    もし、現れた正の約数がn自身を除くものなら、「引いた約数」にn自身は含めないのか?


    以下、この問題の参考情報としてコメントします。

    約数には自身も含めるものとします。
    法7で1, 2, 4は平方剰余で、3, 5, 6は平方非剰余です。

    以下は既知とします。
    (1)平方剰余と平方剰余の積は平方剰余である。
    (2)平方非剰余と平方非剰余の積は平方剰余である。
    (3)平方剰余と平方非剰余の積は平方非剰余である。

    nは7で割り切れない自然数なので、nの正の約数も7で割り切れない自然数となります。
    nの正の約数の内、法7で平方剰余であるものの個数をf(n)、
    nの正の約数の内、法7で平方非剰余であるものの個数をg(n)とします。
    s(n) = f(n)-g(n)とおきます。

    [補題1]
    a, bを互いに素な自然数とすると、s(ab) = s(a)s(b)となることを示します。

    abの約数の内、法7で平方剰余であるのは、
    {aの約数で平方剰余であるもの}*{bの約数で平方剰余であるもの}のf(a)f(b)個と、
    {aの約数で平方非剰余であるもの}*{bの約数で平方非剰余であるもの}のg(a)g(b)個の合計で、
    f(ab) = f(a)f(b)+g(a)g(b)個です。

    abの約数の内、法7で平方非剰余であるのは、
    {aの約数で平方剰余であるもの}*{bの約数で平方非剰余であるもの}のf(a)g(b)個と、
    {aの約数で平方非剰余であるもの}*{bの約数で平方剰余であるもの}のg(a)f(b)個の合計で、
    g(ab) = f(a)g(b)+g(a)f(b)個です。

    よって、
    s(ab) = f(ab)-g(ab) = {f(a)f(b)+g(a)g(b)}-{f(a)g(b)+g(a)f(b)} = {f(a)-g(a)}{f(b)-g(b)} = s(a)s(b)
    となります。
    [補題1 終了]

    [補題2]
    pを7以外の自然数の素数、mを自然数とします。

    pが法7で平方剰余の場合、p^mの正の約数は1, p, p^2, ・・・, p^mのm+1個で、
    全て法7で平方剰余なので、f(p^m) = m+1, g(p^m) = 0となり、s(p^m) = m+1となります。

    pが法7で平方非剰余の場合、
    mが偶数ならば、1, p^2, p^4, ・・・, p^mのm/2+1個が平方剰余で、
    p, p^3, p^5, ・・・, p^(m-1)のm/2個が平方非剰余となり、
    f(p^m) = m/2+1, g(p^m) = m/2, s(p^m) = 1となります。
    mが奇数ならば、1, p^2, p^4, ・・・, p^(m-1)の(m+1)/2個が平方剰余で、
    p, p^3, p^5, ・・・, p^mの(m+1)/2個が平方非剰余となり、
    f(p^m) = g(p^m) = (m+1)/2, s(p^m) = 0となります。

    従って、いずれの場合もs(p^m) ≧ 0と言えます。
    [補題2 終了]

    nがk個の異なる素因数を持つものとし、その素因数をp[1], p[2], ・・・, p[k]、
    素因数の指数をe[1], e[2], ・・・, e[k]とすると、
    n = Π[j=1,k]{p[j]^e[j]}
    ⇒ s(n) = Π[j=1,k]s(p[j]^e[j]) ≧ 0
    ⇒ f(n) ≧ g(n)
    となります。

    つまり、7で割り切れない自然数nの正の約数の内、7を法として平方剰余であるものの個数f(n)は
    平方非剰余であるものの個数g(n)より少ないことはないと言えるので、
    平方剰余である1, 2, 4の方に賭ける方が確率的には良いのかもしれません。

    # 上記解説の法は7である必要はなく、任意の奇素数を法として成立すると考えられます。

    長文失礼しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52798 / 親記事)  高校数学 確率の問題です。
□投稿者/ 星は昴 一般人(9回)-(2025/03/31(Mon) 23:12:47)
    [問題]
     1 から n までの番号が一つずつ書かれた n 枚のカードが入った箱がある。ただし、n は 2 以上の自然数とする。
     箱から同時に 2 枚取り出すとき、書かれた番号の和が n 以下となる確率を求めよ。

     同時に2枚取り出すパターンはトータルで nC2 = n(n-1)/2 通り。

     取り出した2枚のカードの数を a、b で表す。必ず a≠b となるから、a < b とする。すると
      a + b ≦ n
    を満たす場合の数を求めればいいことになると思います。
      a = 1⇒2≦b≦n-1 ∴n-1-1 = n-2 通り。
      a = 2⇒3≦b≦n-2 ∴n-2-2 = n-4 通り。
      a = 3⇒4≦b≦n-3 ∴n-3-3 = n-6 通り。
      ……
     この調子でいけば
      (n-2) + (n-4) + …
    でよさそうな気がするのですが、最後の詰めができません。a = n-2 のときがおかしくなります。
     a = n-2 ならば b のとりうる値は n-1 と n の2通りしかないはずです。ところが上の式から推定して計算すると

      a = n-2⇒n-1≦b≦n-(n-2) = 2 ∴2-(n-2) = 4-n 通り。

    と変な結果になります。考え方に根本的な間違いがあるのでしょうか。n が奇数か偶数かでも違いがありそうですが、どうしたらいいかさっぱりわかりません。
     確率が大の苦手で、解法パターンを覚える勉強法ではなかなか対処できません。文章とちょっとひねられるとおしまいです。
     なるべく詳細な解説を頂けたら幸いです。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52799 / ResNo.1)  Re[1]: 高校数学 確率の問題です。
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2025/04/01(Tue) 03:11:41)
    > a = n-2 ならば b のとりうる値は n-1 と n の2通りしかないはずです。
    これが正しくありません。
    a<b かつ a+b≦nでなければならないのですから、
    a<n/2である必要があります。
    (a=n/2とするとb>n/2なのでa+bがnを超えてしまいます。)
    つまり
    a=m→n-2m通り
    がわかりましたので、
    nが偶数なら m=1〜n/2-1 について合計する
    nが奇数なら m=1〜(n-1)/2 について合計する
    とすればn以下となるのが何通りかが計算できます。

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■52800 / ResNo.2)  Re[2]: 高校数学 確率の問題です。
□投稿者/ 星は昴 一般人(10回)-(2025/04/01(Tue) 07:52:34)
     丁寧な回答まことにありがとうございました。助かりました。
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