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■47726 / 親記事)  指数のある方程式を解く 両辺の3乗根? 【高校程度】
□投稿者/ Apple 一般人(3回)-(2016/08/02(Tue) 12:36:38)
    (1)
    y^3=a^3×b^6 の時,両辺の3乗根をとって,
    y=a×b^2 として良いのでしょうか?

    (2)
    偶数乗根の場合でも良いでしょうか?
    y^2=a^2
    y=a

    偶数乗根の場合,片方が定数ならば±を付加する必要があると思っています。
    y^2=16
    y=±4

    上記のような手法が一般的に可能なのか考えています。

    方程式を解く時に両辺に同じ数値を足す,引く,掛ける,割ることが大丈夫なことは中学校で習いますが,両辺の同乗根を取るという手法は習うのでしょうか?
    手持ちの中高参考書には見当たりません。

    ご回答頂ける方がいらっしゃいましたら,よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47727 / ResNo.1)  Re[1]: 指数のある方程式を解く 両辺の3乗根? 【高校程度】
□投稿者/ らすかる 一般人(27回)-(2016/08/02(Tue) 15:13:04)
    「両辺に同じ数値を足す,引く,掛ける,割る」は
    複素数範囲まで何の問題もなく成り立つのに対し、
    「両辺の同乗根を取る」は複素数範囲では多価になるため
    一般には単純に「両辺の同乗根を取る」というわけにはいきません。
    ただし、実数範囲で奇数乗根の場合は一価ですので
    (1)は実数範囲であれば問題ありません。
    また、二乗の場合は複素数範囲でも±だけの問題ですから、
    左辺か右辺のどちらかに±を付ければ正しいです。
    (2)はaが定数か変数かにかかわらず、どちらかに±を付けて
    y^2=a^2 → y=±a あるいは ±y=a のようにする必要があります。
    四乗以上の偶数乗根の場合は、実数範囲ならば
    どちらかに±を付けるだけでOKです。

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■47728 / ResNo.2)  Re[2]: 指数のある方程式を解く 両辺の3乗根? 【高校程度】
□投稿者/ Apple 一般人(4回)-(2016/08/03(Wed) 02:22:14)
    らすかるさん,いつもありがとうございます。

    以下のような理解で良いでしょうか?
    実数範囲:奇数乗根一価,偶数乗根二価(±)
    複素数範囲:多価,但し2乗根の場合は二価(±)

    私にとっては上記のような基礎的で重要な理解が複雑で難しいのですが,どうやって勉強したらよいでしょうか?
    一般的な高校生向けの参考書を丹念に読んでいけば自分で考えられるようになるでしょうか?
解決済み!
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■47729 / ResNo.3)  Re[3]: 指数のある方程式を解く 両辺の3乗根? 【高校程度】
□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2016/08/03(Wed) 02:35:24)
    複素数範囲では、n乗根のときn価です。
    勉強は、参考書を読むだけではどんなに丹念に読んでも
    自分で考えられるようにはならないと思います。
    多数の問題を解いて、わからないものは解説などを読んで理解していけば
    同類の問題がそのうち解けるようになり、それと同時に
    徐々に細かいところまで理解が進むと思います。
    (「多数の問題」の「多数」は、数学の得意不得意によって大きく変わります)
    ただし、「複素数範囲では、n乗根のときn価」というところまで
    高校数学の範囲かどうかは、私にはわかりません。

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■47733 / ResNo.4)  Re[4]: 指数のある方程式を解く 両辺の3乗根? 【高校程度】
□投稿者/ Apple 一般人(5回)-(2016/08/04(Thu) 22:47:00)
    らすかるさん,いつもありがとうございます。

    複素数範囲では、n乗根のときn価 なのですね。
    多くの問題を解いていこうと思います^^
解決済み!
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■47723 / 親記事)  126k-11l=1 一般解が解法によって異なる?
□投稿者/ Apple 一般人(1回)-(2016/07/27(Wed) 12:24:51)
    126k-11l=1 の整数の一般解を求める問題(センター試験)

    まず,ユークリッドの互除法を用いて1組の解 (-2, -23)を見つけます。
    その後,2通り方法があり,

    (1) ある参考書に載っている公式のような k=bn+p, l=-an+q を適用すると,

    一般解が以下のようになります。
    k=-11n-2
    l=-126n-23

    (2) 別の参考書では元の方程式からユークリッドの互除法で求めた式を引くことで
    126(k+2)=11(l+23)を導き,

    そこから,一般解が以下のようになります。

    k=11n-2
    l=126n-23


    質問:
    上記の一般解はnの係数が片方は正,片方は負となっていますが,どちらも正しいように思えます。なぜこのようなことが起こるのでしょうか?

    また,(1)の手法の場合,-11l+126k=1と左辺の項の順番を入れ替えると(2)と同じ一般解となります。この順番は任意に変えてよいのでしょうか?

    よろしくお願い致します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47724 / ResNo.1)  Re[1]: 126k-11l=1 一般解が解法によって異なる?
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2016/07/27(Wed) 16:12:08)
    一般解は無数にありますので
    解き方により見かけの異なる解が出ます。
    最初の解のnに-nを代入すれば二番目の解になりますし、
    nにn+1やn-1を代入した形もまた別の解になります。

    項の順番を入れ替えても同値ですから
    順番の入れ替えは問題ありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47725 / ResNo.2)  Re[2]: 126k-11l=1 一般解が解法によって異なる?
□投稿者/ Apple 一般人(2回)-(2016/07/29(Fri) 16:59:35)
    > 最初の解のnに-nを代入すれば二番目の解になります
    確かに-nを入れれば同じになりますね。
    すっきりしました。

    > 項の順番を入れ替えても同値ですから
    > 順番の入れ替えは問題ありません。
    順番の入れ替えも問題ないということで安心しました。

    誠にありがとうございました。
解決済み!
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■47722 / 親記事)  軌跡
□投稿者/ l 一般人(1回)-(2016/07/19(Tue) 22:50:29)
    楕円 (x-1)^2+y^2/3^2=1 上の点(1+Cos[t],3*Sin[t]) に於ける接線に原点Oから下した垂線の足をPとする。
    Pの軌跡を表す 方程式 c; f[x,y]=0 を求めよ;
    cで囲まれる部分の面積を求めよ;
    をお願いします
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■47718 / 親記事)  
□投稿者/ 数拳王  (になれたら) 一般人(1回)-(2016/07/16(Sat) 11:05:24)
http://計算過程がわかりません。  (全く)
    数学検定P2の問題で

    Q4,

    (6) y=a(x-α)(x-β)

    頂点の座標をもとめなさいの問で

    (5)よりx=(α+β)/2 (軸の方程式) を問いの式のxに代入するまでをして


    y=a((α+β)/2 -α)((α+β)/2 -β)= ここからの計算の仕方がわかりません。


    どなたかたすけていただけないでしょうか?(痛切)
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47719 / ResNo.1)  Re[1]: q
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2016/07/16(Sat) 11:17:49)
    a((α+β)/2-α)((α+β)/2-β)
    =(a/4)((α+β)-2α)((α+β)-2β)
    =(a/4)(-α+β)(α-β)
    =-(a/4)(α-β)(α-β)
    =-a(α-β)^2/4
    となりますね。

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■47712 / 親記事)  極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(1回)-(2016/07/15(Fri) 11:56:44)
    次の問題の解答を見た時、極限の使い方に疑問を覚え質問をさせていただきました。

    α、βは定数とする。
    極限
    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}/{(1^β+2^β+・・・+n^β)^(α+1)}

    解答

    分子、分母を n^(α+1)(β+1)で割れば

    分子は
    {(1^α+2^α+・・・+n^α)/n^(α+1)}^(β+1)
    となり
    { }の中の極限は1/(α+1) @
    したがって分子の極限は
    1/(α+1)^(β+1) A

    ・・・ 続く

    以上が問題と解答の一部です。

    お伺いしたいのは、@からAへとなるときの^(β+1)の扱いなどについてです。
    累乗の部分の扱いといえばよいのでしょうか、自分でも上手く言葉にできないのですが、

    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)} B
    を求めるときに

    lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α) C
    の極限がわかれば、(Cの極限)^(β+1)がBの極限である。ただ(β+1)乗をつければ良いということがよくわからないでいます。

    またBでlim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}
    となっているのを
    {lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α)}^(β+1) と考えるようなものだと思うのですが
    lim[n→∞]{ } の{ } の範囲、limの及ぼす範囲などがよくわからなくなってしまいました。

    参考書などで、極限の性質(公式)など調べたのですが、定数倍や、和、積、商などの性質については載っていたのですが、上記のようなことの記述を見つけること、気がつくことができませんでした。

    (@を区分求積法をつかって求めることは理解しているつもりです。)
    この問題は高校レベル(だと思います)の参考書からです。
    基本的なことかもしれませんが、詳しく教えていただけるとありがたいです。
    よろしくお願いいたします。
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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■47713 / ResNo.1)  Re[1]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2016/07/15(Fri) 16:16:40)
    何が疑問なのかよくわかりませんが、関連のことを書いてみます。

    lim[n→∞]a[n]=A, lim[n→∞]b[n]=B のとき
    lim[n→∞](a[n]×b[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]b[n])=AB
    なので
    lim[n→∞](a[n]×a[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])=A×A
    つまり書き方を変えれば
    lim[n→∞](a[n])^2=(lim[n→∞]a[n])^2=A^2
    同様に
    lim[n→∞](a[n]×a[n]×a[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])=A×A×A
    つまり
    lim[n→∞](a[n])^3=(lim[n→∞]a[n])^3=A^3

    また
    lim[n→∞]√a[n]=√lim[n→∞]a[n]=√A
    すなわち
    lim[n→∞]{a[n]^(1/2)}=(lim[n→∞]a[n])^(1/2)=A^(1/2)

    などが成り立ちます。

    一般には、f(x)が連続のとき
    lim[n→∞]f(a[n])=f(lim[n→∞]a[n])
    です。

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■47714 / ResNo.2)  Re[2]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(2回)-(2016/07/15(Fri) 16:47:15)
    らすかる様
    御回答ありがとうございました。

    詳しく記述いただきまして大変勉強になりました。しばらく悩んでいたので本当に助かりました。
    自分でもうまく言葉にできず、分かりずらい質問内容となってしまって申し訳ありませんでした。
    教えていただいたことで内容こそ私が求めていたものだと思います。
    また、確認させていただきたいのですが、下記の問題で教えていただいたことを使用できると考えたのですが、いかがでしょうか?

    双曲線x^2-y^2=1の上の2つの点P(1,0),Q(u,v)を結ぶ直線PQが漸近線y=xと交わる点をRとする。ただし、点Qは双曲線上の第1象限の部分にある。
    u→∞のとき、QRの長さはどんな値に近づくか?

    解答

    lim[u→+∞]QR^2 = lim[u→+∞] 2(u^2-u)/{u+√(u^2-1)-1} = 式変形省略 = 1/2 @
    ゆえに
    lim[u→+∞]QR =1/√2 A

    以上が問題と解答になります。

    lim[u→+∞]QR^2 = 1/2 @
    ゆえに
    lim[u→+∞]QR =1/√2 A

    という箇所ですが、教えていただいたことを使えば@からAが導ける。という理解でよろしいでしょうか。
    よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47715 / ResNo.3)  Re[3]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2016/07/15(Fri) 16:50:53)
    はい、仰る通り、@からAが導けます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47716 / ResNo.4)  Re[3]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(3回)-(2016/07/15(Fri) 17:08:13)
    追記
    記述し忘れました。

    @からAは

    lim[x→a]f(x)・f(x)=α・α
    だから

    lim[u→+∞]QR^2=1/2

    α^2=1/2 と考えて
    QR=±√(1/2)
    QR>0より
    lim[u→+∞]QR=1/√2
    として良いのでしょうか?
    よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47717 / ResNo.5)  Re[4]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(4回)-(2016/07/15(Fri) 17:56:31)
    御回答ありがとうございます。
    一つ前の返信(追記のもの)を投稿する時に、らすかる様のご返信に気がつくことができず、投稿してしまいました。大変失礼いたしました。

    御回答いただき、自分の考えに確信が持てました。今回は御回答いただき本当にありがとうございました。また掲示板は不慣れなため、失礼をしてしまい本当に申し訳ありませんでした。

    もしまた機会がありましたらよろしくお願いいたします。
    今回はありがとうございました。

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