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■49152 / 親記事)  カーリングの7試合とは
□投稿者/ くぅい 一般人(1回)-(2019/04/04(Thu) 09:56:22)
    今NHKでやっているカーリングの世界選手権の予選で、
    アナウンサーが毎回「7試合勝てば決勝にいける」と言っているのが気になっています。
    13か国が総当たりで自分以外の12か国と対戦し、勝ち数が多い順に上から6か国が決勝に行きます。
    7勝以上勝った国が決勝に行ける確率はどのくらいなのでしょうか?
    決勝に行く国の勝ち数の期待値はどのくらいなのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■49153 / ResNo.1)  Re[1]: カーリングの7試合とは
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2019/04/04(Thu) 10:57:54)
    どちらも実力差で変わり、求まらないと思います。
    例えば「6強7弱」と言える実力差ならば、
    上位6か国は下位7か国に全勝して7勝以上、
    下位7か国は上位6か国に全敗で6勝以下となりますので
    「7勝以上=決勝に行ける」となりますが、
    「11強2弱」ならば11か国が7勝し、7勝した11か国のうち
    5か国が決勝に進めないということもあり得ます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49161 / ResNo.2)  Re[2]: カーリングの7試合とは
□投稿者/ くぅい 一般人(2回)-(2019/04/05(Fri) 13:54:38)
    2019/04/05(Fri) 14:02:50 編集(投稿者)

    有り難うございます。
    NHKのアナウンサーも適当なこと言うものですね・・・。

    もし過去の多くの例から6勝では決勝にすすむのは危うくて7勝(以上)したチームはすべて決勝にいけている
    ということが十分に観測されていた(のでNHKもそう言った)場合、なにか言えることはあるのでしょうか?
    毎年強豪国は平均して○か国である、といったことなど
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49163 / ResNo.3)  Re[3]: カーリングの7試合とは
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2019/04/05(Fri) 14:42:21)
    「7勝すればほぼ決勝進出」ということは、6勝以下でも決勝進出の可能性があり、
    「7勝するのが6か国以下であることが多い」ということですね。
    平均6勝なので、7勝の国が3つ4つにならない限り、これは成り立つ可能性が高いです。
    試合数が多ければ同じ勝数でたくさんの国が並ぶ可能性は少ないですよね。
    例えばプロ野球のように試合数が多いと、3チームが同勝数ということはまれです。
    リーグ戦も4チームぐらいだと勝数が並ぶことがかなり頻繁にありますが、
    12試合もあると結構バラけて「7勝が4か国」のようなことがほとんど発生しない
    ということではないでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49174 / ResNo.4)  日本は4位
□投稿者/ くぅい 一般人(3回)-(2019/04/08(Mon) 08:21:43)
    2019/04/08(Mon) 08:23:51 編集(投稿者)

    ありがとうございます。
    12試合で7勝すれば平均勝ち数より少し多く、
    また7勝付近で団子になりにくいということなのですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49052 / 親記事)  (削除)
□投稿者/ -(2019/03/21(Thu) 07:15:25)
    この記事は(投稿者)削除されました
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■49053 / ResNo.1)  Re[1]: 会計に関わるものなんですが
□投稿者/ mo 一般人(1回)-(2019/03/21(Thu) 15:23:39)
    2019/03/21(Thu) 15:25:46 編集(投稿者)

    参考です

    ●去年の理屈の推測と、それに基づく今年の例
    【昨年】コーチが4名なので、3万ずつで計12万
    2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    A団:120,000÷22×18人=98181.81…で、98,182円
    B団:120,000÷22×4人=21818.18…で、21,818円

    【今年】はコーチが5名なので、3万ずつで計15万
    2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    A団:150,000÷22×18人=122,727.27…で、122,727円】
    B団:150,000÷22×4人=27,272.72…で、27,273円】

    ●【今年の】団員1名当たりの負担について
    全体:150,000÷22=6,818.18…で、6,818円だと、4円不足
    A団:6,818×18=122,724【3円ずれ…団内で調整】
    B団:6,818×4=27,272【1円ずれ…団内で調整】




引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49155 / ResNo.2)  Re[2]: 会計に関わるものなんですが
□投稿者/ 主 一般人(1回)-(2019/04/04(Thu) 15:27:04)
    教えて下さりありがとうございます!!

    提出する予算案の備考欄に、
    一人当たりの負担額書いたほうが良いかな?と。
    (うちはA団です。)
    ですので、備考欄に、【A団費分@6,818円】

    と表記するのは間違っていますか?
    なんとかいたらわかりやすく、収まるか聞きたい

    No49053に返信(moさんの記事)
    > 2019/03/21(Thu) 15:25:46 編集(投稿者)
    >
    > 参考です
    >
    > ●去年の理屈の推測と、それに基づく今年の例
    > 【昨年】コーチが4名なので、3万ずつで計12万
    > 2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    > A団:120,000÷22×18人=98181.81…で、98,182円
    > B団:120,000÷22×4人=21818.18…で、21,818円
    >
    > 【今年】はコーチが5名なので、3万ずつで計15万
    > 2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    > A団:150,000÷22×18人=122,727.27…で、122,727円】
    > B団:150,000÷22×4人=27,272.72…で、27,273円】
    >
    > ●【今年の】団員1名当たりの負担について
    > 全体:150,000÷22=6,818.18…で、6,818円だと、4円不足
    > A団:6,818×18=122,724【3円ずれ…団内で調整】
    > B団:6,818×4=27,272【1円ずれ…団内で調整】
    >
    >
    >
    >
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49158 / ResNo.3)  Re[3]: 会計に関わるものなんですが
□投稿者/ mo 一般人(2回)-(2019/04/05(Fri) 00:03:48)
    No49155に返信(主さんの記事)
    > 提出する予算案の備考欄に、
    > 一人当たりの負担額書いたほうが良いかな?と。
    > (うちはA団です。)
    > ですので、備考欄に、【A団費分@6,818円】
    > と表記するのは間違っていますか?
    > なんと書いたらわかりやすく、収まるか聞きたい

    ★表記の方法は、きちんとした書式がなければ、間違いとか正解とかでなく
    【求められている事】を正確に書けばよいのでないでしょうか
    追加で入れた方が良いことは、補足・備考などとして追加すいればよいと思います

    ★それよりも、端数のずれた分をどうするかを明記する。
    お金の問題なので、それが第一だと思います。

    ★単なる計算の表示は大したことではありません
    A団、B団の代表者とお話をして、端数の処理、不足分の処理などを
    「〜となりますが、〜の処理は…」と話合うことが第一と思います。
    その際に、どのような情報を出すか(誤解を防ぐために)も含め…



引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49095 / 親記事)  たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(1回)-(2019/03/27(Wed) 12:52:14)
    x,y,zは0より大きく1より小さい1/2ではない実数で
    関数fをf(a)=(2√(a-a^2))/(1-2a)とすると
    f(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)を満たしている
    x+y+z+2√(xyz)の値を求めよ

    この問題なのですが、中三程度の式変形で解けますでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■49100 / ResNo.2)  Re[2]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(2回)-(2019/03/28(Thu) 00:22:16)
    すみません、私がなにか勘違いしているかもしれません。

    もしf(x)>0かつf(y)>0かつf(z)>0や、またはf(x)<0かつf(y)>0かつf(z)>0
    などの条件があれば少なくとも問題としては成立するでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49102 / ResNo.3)  Re[3]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2019/03/28(Thu) 06:00:32)
    > もしf(x)>0かつf(y)>0かつf(z)>0や、またはf(x)<0かつf(y)>0かつf(z)>0
    > などの条件があれば少なくとも問題としては成立するでしょうか?

    そうですね、f(x),f(y),f(z)のうち2個以上が正ならばx+y+z+2√(xyz)=1です。
    x=(sin(A/2))^2, y=(sin(B/2))^2, z=(sin(C/2))^2, 0<A,B,C<π とおくと
    f(x)=tanA, f(y)=tanB, f(z)=tanCとなり、
    f(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)からA+B+C=πが導けますので
    A,B,Cは△ABCの内角と考えられます。
    そう考えると鈍角は最大1個ですから、f(x),f(y),f(z)のうち
    2個以上が正となり、この条件のとき
    x+y+z+2√(xyz)
    =(sin(A/2))^2+(sin(B/2))^2+(sin(C/2))^2+2sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    =1
    が成り立ちます(証明はしていません)。
    これを三角関数を使わずに示そうとすると
    u>0,v>0,w=(u+v)/(uv-1)として
    {1-1/√(u^2+1)}/2+{1-1/√(v^2+1)}/2+{1-w/√(w^4+w^2)}/2
    +2√{{1-1/√(u^2+1)}/2・{1-1/√(v^2+1)}/2・{1-w/√(w^4+w^2)}/2
    =1
    が成り立つことを示すことになりますが、
    式が複雑すぎて解けていません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49110 / ResNo.4)  Re[3]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2019/03/28(Thu) 23:39:56)
    ほぼ解けました。

    f(a)=2√(a-a^2)/(1-2a)
    条件からf(a)≠0
    逆関数g(a)を求めると
    a>0のときg(a)={1-1/√(a^2+1)}/2
    a<0のときg(a)={1+1/√(a^2+1)}/2
    であり
    xyz=x+y+z(xyz≠0)を満たしているときに
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    の値を求める問題になる。
    ここで追加条件によりx>0,y>0とおいてよいので
    g(x)={1-1/√(x^2+1)}/2, g(y)={1-1/√(y^2+1)}/2

    z>0のときg(z)={1-1/√(z^2+1)}/2 (※z<0のときも多分同様なので省略)
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}
    なので、xyz=x+y+zのときに
    {1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}=1
    となることを示せばよい。
    この式を変形していくと成り立つので、それを逆順に書くと
    xyz=x+y+z
    xyz-x-y-z=0
    (xyz-x-y-z)(xyz+x+y-z)(xyz+x-y+z)(xyz-x+y+z)=0
    (x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2)^2=4(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2=2√{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} (※)
    (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)-(x^2+1)(y^2+1)-(y^2+1)(z^2+1)-(z^2+1)(x^2+1)
    =2{√(x^2+1)}{√(y^2+1)}{√(z^2+1)}
    √(x^2+1)=p,√(y^2+1)=q,√(z^2+1)=rとおくと
    p^2q^2r^2-p^2q^2-q^2r^2-r^2p^2=2pqr
    2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)=(pqr-pq-qr-rp)^2
    √{2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)}=-(pqr-pq-qr-rp) (※)
    {(3pqr-pq-qr-rp)+√{2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)}}/(2pqr)=1
    (1-1/p)/2+(1-1/q)/2+(1-1/r)/2+2√{(1-1/p)/2・(1-1/q)/2・(1-1/r)/2}=1
    ∴{1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}=1
    のように示せます。
    ただし、(※)の2個所は平方根をとっていますが、符号についてきちんと
    検証していません。おそらくx,y,zのうち2個以上が正のときに
    上のようになり、そうでない時は符号が逆になるので1にならないのだと思います。
    従ってx,y,zのうち2個以上が正のときに
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2が正であることとpqr-pq-qr-rpが負であることを
    示せば、1になることの証明が完成します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49137 / ResNo.5)  Re[4]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(3回)-(2019/04/02(Tue) 00:07:00)
    有難うございます。
    詳しく計算を書いていただいたので大変助かります。

    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2
    =(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2-2
    =2(xy+yz+zx)-2
    =2{xy+z(x+y)}-2
    =2{xy+(x+y)^2/(xy-1)-1}
    =2(x^2+1)(y^2+1)/(xy-1)
    x,yが正、zが負とするとz(xy-1)=x+yよりxy-1は負なので
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2は負になりそうなので
    もう少しよく考えてみます
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49138 / ResNo.6)  Re[5]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2019/04/02(Tue) 00:24:26)
    > x,yが正、zが負とするとz(xy-1)=x+yよりxy-1は負なので
    > x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2は負になりそうなので
    > もう少しよく考えてみます

    上に書いた計算は「z>0の場合」の計算です。
    z<0の場合は冒頭の式が
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}
    でなく
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1+1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1+1/√(z^2+1)}/2}
    となりますので、計算は違ってくるはずです。
    しかし長大な式変形をもう一度やりたくありませんので
    z>0の場合のみ書いて、z<0の場合は「(※z<0のときも多分同様なので省略)」
    と断って省略しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49124 / 親記事)  確率、期待値の計算
□投稿者/ おさかな 一般人(1回)-(2019/03/31(Sun) 14:58:50)
    数学の問題です。(確率)
    池にいる魚の数をNとする。
    n(<=N)匹釣って、マークしてから池に離す。
    十分な時間が経ってから、マークをした魚がm(<=n)匹集まるまで魚を釣る。このとき釣れた魚のうち、マークの付いていない魚の数をXとする。

    (1)NCn=Σ(k=m→N-n+m) (k-1)C(m-1)(N-k)C(n-m)を証明せよ。

    (2)期待値E(X)を計算せよ。

    この問題がわかりません、、、
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■49121 / 親記事)  数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ モノトーン 一般人(1回)-(2019/03/31(Sun) 08:22:50)
    ∠ABC=90°である三角形ABCの辺BC,CA,AB上に点P,Q,Rがあり、AQ:QC=2:1,AR=AQ,QP=QR,∠PQR=90°が成立している。CP=1のときARを求めよ。
    【JMO2011予選の問題】

    上記の問題について、幾何的な解法は理解できましたが、座標平面を導入し、代数的に解けないか考えてみました。

    A(3a,0),B(0,0),C(0,3c),R(r,0)とおく。ただし、a>0,c>1/3,0<r<aとする。
    また、与えられた条件より,P(0,3c-1)Q(a,2c)となる。

    AQ=ARより → 二点間の距離(計算略)→ 5a^2-4c^2-6ar+r^2=0
    PQ=QRより → 二点間の距離(計算略)→ 3c^2+2c-2ar+r^2=1
    PQ⊥RQより → 内積=0(計算略)→ a^2-ar-2c^2+2c=0

    という感じで、連立方程式を解く(正確にはrの値を求める)という方針を立てたのですが
    なかなかここから進みません。どなたかもし上手い方法があればご教授願います。よろしくお願いいたしますm(__)m


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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49122 / ResNo.1)  Re[1]: 数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2019/03/31(Sun) 11:20:42)
    5a^2-4c^2-6ar+r^2=0 … (1)
    3c^2+2c-2ar+r^2=1 … (2)
    a^2-ar-2c^2+2c=0 … (3)

    (2)×2+(3)×5-(1)をcについて整理して
    c=-(r^2-3ar-2)/14 … (4)
    (4)を(1)に代入して整理すると
    (245-9r^2)a^2+6r(r^2-51)a-(r^4-53r^2+4)=0 … (5)
    (4)を(3)に代入して整理すると
    (98-9r^2)a^2+2r(3r^2-34)a-(r^4+10r^2-24)=0 … (6)
    (5)×(98-9r^2)-(6)×(245-9r^2)をaについて整理して
    a=(15r^4-282r^2+224)/{(45r^2-476)r} … (7)
    (7)を(5)に代入して整理すると
    (r^2+1)(5r^2-20r+16)(5r^2+20r+16)(9r^2-245)=0
    よって正の実数解は
    r=2(5±√5)/5,7√5/3
    この解と(7)と(4)からa,cを求めると
    r=7√5/3のときa=14129√5/33705,c=-5080/6741<0となり不適
    r=2(5-√5)/5のときa=2(5-2√5)/5,c=(5-2√5)/5<1/3となり不適
    r=2(5+√5)/5のときa=2(5+2√5)/5,c=(5+2√5)/5>1/3となり適
    従って求める答えは 3a-r={6(5+2√5)-2(5+√5)}/5=4+2√5

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■49123 / ResNo.2)  Re[2]: 数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ モノトーン 一般人(4回)-(2019/03/31(Sun) 11:30:56)
    さっそくのご返事ありがとうございます!
    こんなに煩雑に過程になるのですね…
    ここまでの計算量があるものを対応いただき、ありがとうございましたm(__)m
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