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■48926 / 親記事)  微分方程式の問題
□投稿者/ metro 一般人(3回)-(2018/12/23(Sun) 11:24:18)
    大学数学、微分方程式論についての質問です。

    Aをd次の正方行列で、g=g(t,ξ)を写像g:R×R^d → R^dでξに関して全微分可能でδg(t,ξ)/δξも連続であるとする。

    いま、uをR^d値の未知関数とする方程式

    du/dt=Au+g(t,u) (※)

    を考える。あるK > 0があって|g(t,ξ)| ≦ K (t ∈ R,ξ ∈ R)が成立するとする。

    この時任意のa ∈ Rに対して(※)の−∞ < t < ∞における解でu(0) = aとなるものが存在することを示せ。

    さらにAを実対称行列で全ての固有値は負であるとする。このとき、aを適当に選ぶことでu(t)は−∞ < t < ∞で有界になることを示せ。

    この問題の解き方が分かりません。教えてください。よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48934 / ResNo.1)  Re[1]: 微分方程式の問題
□投稿者/ metro 一般人(4回)-(2018/12/24(Mon) 10:03:52)
    この問いで、du/dt=Au+g(t,u)の解はu(0)=u_0として
    u(t)=(u_0)e^(At)+∫[0→t]e^{A(t−s)}g(s,u(s))ds
    と表せると思いますが、u(0) = aとなるのは
    u(t)=ae^(At)+∫[0→t]e^{A(t−s)}g(s,u(s))ds
    となるので解が存在するとしても良いのでしょうか?

    そして、「Aが実対称行列で〜」の方が良く分かりません。教えてくれますと嬉しいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48935 / ResNo.2)  Re[2]: 微分方程式の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(24回)-(2018/12/24(Mon) 17:24:31)
    du/dt=Au+g(t,u)の解は
    もし存在すれば
    u(0)=u_0として
    u(t)=e^(At)[u_0+∫[0→t]e^{A(-s)}g(s,u(s))ds]
    と表せて,u(0)=aとなるのは
    u(t)=e^(At)[a+∫[0→t]e^{A(-s)}g(s,u(s))ds]
    となるのであって
    解が存在するとはいえません

    なぜなら
    右辺のg(s,u(s))に中に求めるべき未知関数解u(s)が入っているからです
    未知の解を未知の解で定義する事はできません

    解の存在は
    コーシー・リプシッツの定理
    によって
    証明して下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48939 / ResNo.3)  Re[3]: 微分方程式の問題
□投稿者/ metro 一般人(5回)-(2018/12/25(Tue) 19:05:43)
    ありがとうございます。解決しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48931 / 親記事)  ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(13回)-(2018/12/24(Mon) 05:23:06)
    次の問題がわかりません。(1)です。教えていただけると幸いです。
656×192 => 250×73

1545596586.png
/7KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48937 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(25回)-(2018/12/24(Mon) 20:18:07)
    (1)
    △ABCの重心Gとは3頂点A,B,Cのベクトル(座標)の平均だから(どこを原点Oにしても)
    G=(A+B+C)/3=(1/3)(A+B+C)
    OG=(1/3)(OA+OB+OC)
    だから
    Bを原点とするとO=Bだから
    BG=(1/3)(BA+BB+BC)
    ↓BB=0,BA=a,BC=cだから
    BG=(1/3)(a+c)

    ↑BG=(1/3)(↑a+↑c)

    (2)
    |BP|:|PA|=2:3
    だから
    ↑BP={2/(3+2)}↑BA=(2/5)↑BA=(2/5)↑a

    QはPG上の点だから
    ↑BQ=(1-x)↑BP+x↑BG
    となる実数xがある
    ↓↑BP=(2/5)↑a
    ↓↑BG=(1/3)(↑a+↑c)
    ↓だから
    ↑BQ=(1-x)(2/5)↑a+x(1/3)(↑a+↑c)
    ↑BQ=[{2(1-x)/5}+(x/3)]↑a+(x/3)↑c
    ↑BQ=[{6(1-x)/15}+(5x/15)]↑a+(x/3)↑c
    ↑BQ={(6-6x+5x)/15}↑a+(x/3)↑c
    ↑BQ={(6-x)/15}↑a+(x/3)↑c

    QはBC上の点だから
    ↑BQ=y↑BC=y↑c
    となる実数yがある
    y↑c=↑BQ={(6-x)/15}↑a+(x/3)↑c
    だから
    y↑c={(6-x)/15}↑a+(x/3)↑c
    ↓a,cは1次独立だから
    aの係数が等しいから
    (6-x)/15=0
    ↓両辺に15をかけると
    6-x=0
    ↓両辺にxを加えると
    6=x

    cの係数が等しいから
    y=(x/3)
    ↓x=6だから
    y=2

    ↑BQ=2↑c
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48933 / 親記事)  整数について。
□投稿者/ コルム 一般人(14回)-(2018/12/24(Mon) 09:58:46)
    次の問題が分かりません。教えていただけると幸いです。
735×273 => 250×92

1545613126.png
/43KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48936 / ResNo.1)  Re[1]: 整数について。
□投稿者/ まるちぽすと撲滅委員会 一般人(1回)-(2018/12/24(Mon) 17:44:55)
     この質問者は自分の実力をはるかに超える問題のスレを立て、回答をひたすらねだる回答乞食である。
    ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/10890719.html
     (1)を回答すると
       (1)はわかりました。
    という大嘘を言って
       (2)を教えていただけると幸いです。
    とさらなる回答をねだる。

     (2)を回答すると
       (2)はわかりました。
    という大嘘を言って
       (3)を教えていただけると幸いです。
    とさらなる回答をねだる。

     (3)を回答すると
       (3)はわかりました。
    という大嘘を言って
       (4)を教えていただけると幸いです。
    とさらなる回答をねだる。

     (4)を回答すると、回答者に一言の礼も言わず、再び分不相応の問題を持ってきてスレを立てる。回答が遅いときは駄々っ子のようにマルチポストする。
     この繰り返しなので、本人はまるで実力が向上しない。
     よって回答を与えるのはムダである。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48928 / 親記事)  有理数
□投稿者/ ぱりぴ 一般人(1回)-(2018/12/23(Sun) 13:04:14)
    0でない有理数qで
    (1/2)(q^2+1/q^2)
    が整数となるもの
    を教えて下さい
    (考え方も)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48929 / ResNo.1)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2018/12/23(Sun) 14:00:46)
    kを整数として
    (1/2)(q^2+1/q^2)=k
    q^2+1/q^2=2k
    q^2+2+1/q^2=2k+2
    (q+1/q)^2=2k+2
    q+1/q=±√(2k+2)
    √(2k+2)が有理数ならば√(2k+2)は整数(証明略)
    √(2k+2)=n(nは整数)とおくと
    q+1/q=n
    q^2-nq+1=0
    q={n±√(n^2-4)}/2
    n^2-4が平方数でなければならないのでn=±2(証明略)
    よってq={n±√(n^2-4)}/2からq=±1で
    最初の式に代入すると確かに整数1になる。
    従って答えはq=±1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48932 / ResNo.2)  Re[2]: 有理数
□投稿者/ ぱりぴ 一般人(2回)-(2018/12/24(Mon) 09:27:22)
    有り難うございます
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48905 / 親記事)  放物線と円
□投稿者/ 仙柳 一般人(1回)-(2018/11/21(Wed) 16:51:48)
    以下の問題の模範解答を教えていただけないでしょうか。
    素人が解答を作るとどうもキチッとしないものになってしまうので
    模範解答が知りたいと思っています。よろしくお願いします。

    問題
    kを正の定数とする。
    xy平面において放物線y=x^2と直線y=x+kで
    囲まれた領域に含まれる円の最大の半径を
    kで表せ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48930 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ muturajcp 一般人(22回)-(2018/12/23(Sun) 20:33:15)
    kを正の定数とする.
    xy平面において放物線y=x^2と直線y=x+kで
    囲まれた領域に含まれる円の最大の半径をrとする
    円は直線y=x+kと1点で接する
    円は放物線と1点以上で接する
    接点以外の交点を持たない
    A=(1/2,1/4)とする
    (x,y)=Aの時,放物線の接線の傾きはy'=2x=1となる
    接線は直線y=x+kの傾き1と同じ平行になる
    法線は
    y=-x+(3/4)
    となる
    法線と直線y=x+kの交点をB=(x,y)とすると
    B=((3-4k)/8,(3+4k)/8)
    |AB|/2={(4k+1)√2}/16
    となる
    ABの中点をC(x,y)とすると
    C=((7-4k)/16,(4k+5)/16)
    だから中心C半径|CA|の円の方程式は
    {x-(7-4k)/16}^2+{y-(4k+5)/16}^2=(4k+1)^2/128
    (16x+4k-7)^2+(16y-4k-5)^2=2(4k+1)^2
    32x^2+4(4k-7)x+32y^2-4(4k+5)y-4k+9=0
    放物線との交点を(x,x^2)してy=x^2を代入すると
    (2x-1)^2{8(x+1/2)^2+7-4k}=0
    0<k≦7/4の時
    円と放物線の交点は接点Aだけとなるから
    最大半径は
    r={(4k+1)√2}/16

    k>7/4の時は
    円と放物線は2点で接して中心はy軸上にある
    x座標が正の方の接点をA=(a,a^2)とすると
    法線は
    y={-1/(2a)}x+a^2+(1/2)
    だから
    中心Cは
    C=(0,a^2+(1/2))
    |CA|=√{a^2+(1/4)}
    Cから直線y=x+kへの垂線
    y=-x+a^2+(1/2)
    とy=x+kの交点をB=(x,y)とすると
    B=(a^2/2-k/2+1/4,a^2/2+k/2+1/4)
    |BC|=|CA|だから
    (k/2-a^2/2-1/4)√2=√(a^2+1/4)
    (2a^2+1-2k)^2=8a^2+2
    (2a^2-2k-1)^2=8k+2
    a^2=[2k+1-√{2(4k+1)}]/2
    |BC|=[{√(4k+1)}-√2]/2

    0<k≦7/4の時
    r={(4k+1)√2}/16

    k>7/4の時は
    r=[{√(4k+1)}-√2]/2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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