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■52123 / 親記事) 　複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(3回)-(2023/03/06(Mon) 10:10:33)
    複素数x,y,zが
    x+y+z=x^7+y^7+z^7=0かつxyz≠0
    を満たしているとき
    x^2+y^2+z^2
    の値を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52124 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2023/03/06(Mon) 12:39:42)
    x+y+z=0からx/z+y/z+1=0, x^7+y^7+z^7=0から(x/z)^7+(y/z)^7+1=0
    x/z=a, y/z=bとおけばa+b=-1,a^7+b^7=-1
    ab=kとおく。条件からk≠0。
    a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2k
    a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)=-(1-2k)+k=3k-1
    a^4+b^4=(a+b)(a^3+b^3)-ab(a^2+b^2)=-(3k-1)-k(1-2k)=2k^2-4k+1
    a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b)=(3k-1)(2k^2-4k+1)+k^3=7k^3-14k^2+7k-1
    7k^3-14k^2+7k-1=-1
    7k^3-14k^2+7k=0
    k^2-2k+1=0
    (k-1)^2=0
    k=1
    ∴a^2+b^2=1-2k=-1
    a^2+b^2+1=0
    (x/z)^2+(y/z)^2+1=0
    ∴x^2+y^2+z^2=0

    ちなみにω=(-1+i√3)/2（1の虚数三乗根）として
    (x,y,z)=(t,tω,tω^2)（tは0でない定数）とおけば問題の条件を満たし、
    x^n+y^n+z^nは
    nが3の倍数のとき 3t^n
    そうでないとき 0
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52125 / ResNo.2) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ squall 一般人(2回)-(2023/03/06(Mon) 20:25:19)
    らすかるさんは、人間コンピュータみたいですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52126 / ResNo.3) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(4回)-(2023/03/06(Mon) 23:07:05)
    有難うございました。
    とても分かり易かったです。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]


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■52120 / 親記事) 　複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(1回)-(2023/03/05(Sun) 21:16:09)
    複素数x,y,zが
    x+y+z=0かつx^4+y^4+z^4=0
    を満たしているとき
    x^2+y^2+z^2
    の値を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52121 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2023/03/05(Sun) 22:32:41)
    x=y=z=0は条件を満たし、このときのx^2+y^2+z^2の値は0
    x=y=z=0でないとき、z≠0とすれば
    x/z+y/z+1=0かつ(x/z)^4+(y/z)^4+1=0
    x/z=a, y/z=bとおくと
    a+b=-1, a^4+b^4=-1
    a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab
    a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(1-2ab)^2-2a^2b^2=1-4ab+2a^2b^2=-1
    2(ab)^2-4ab+1=-1
    2(ab)^2-4ab+2=0
    (ab)^2-2ab+1=0
    (ab-1)^2=0
    ab=1
    よって
    a^2+b^2=1-2ab=-1
    a^2+b^2+1=0
    両辺にz^2≠0を掛けて
    x^2+y^2+z^2=0
    従ってx=y=z=0かどうかにかかわらずx^2+y^2+z^2=0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52122 / ResNo.2) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(2回)-(2023/03/05(Sun) 23:09:48)
    有難うございます。
    大変分かり易かったです。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


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■52117 / 親記事) 　五角形への疑問
□投稿者/ park235 一般人(2回)-(2023/03/03(Fri) 21:06:42)
    単位円に五角形が内接しています
    この五角形の辺のどれかは長さが無理数ですか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52118 / ResNo.1) 　Re[1]: 五角形への疑問
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2023/03/03(Fri) 23:41:29)
    例えば
    A(1,0),B(7/25,24/25),C(-7/25,24/25),D(-1,0),E(7/25,-24/25)
    とすれば
    AB=CD=EA=6/5, BC=14/25, DE=8/5
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52119 / ResNo.2) 　Re[2]: 五角形への疑問
□投稿者/ park235 一般人(3回)-(2023/03/04(Sat) 21:05:02)
    ありがとうございました
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


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■52039 / 親記事) 　期待値
□投稿者/ park235 一般人(1回)-(2022/11/29(Tue) 15:08:44)
    ２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。
    毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます。

    どちらかのビンが空になるのは、いつころと予測できますか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52040 / ResNo.1) 　Re[1]: 期待値
□投稿者/ らすかる 一般人(20回)-(2022/11/29(Tue) 22:38:28)
    どちらかのビンがk日目（10≦k≦19）に空になる確率は
    2・(k-1)C9・(1/2)^k だから
    求める期待値は
    Σ[k=10～19]k・2・(k-1)C9・(1/2)^k=1079775/65536≒16.476(日目)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52116 / ResNo.2) 　Re[2]: 期待値
□投稿者/ park235 一般人(1回)-(2023/03/03(Fri) 21:05:11)
    ありがとうございました☆
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52114 / 親記事) 　軌跡
□投稿者/ ロドリゲス 一般人(1回)-(2023/02/10(Fri) 10:02:46)

    xy平面において、原点Oと異なる点Pがあり、Oを端点とする半直線OP上にあり、OP×OQ＝１となるような点Qを考える。
    (1）Pが直線x=k(k>0)上を動くときのQの軌跡を求めよ
    (2)A(-1,2),B(-1,-1),C(2,-1)とする。Pが三角形ABCの周上を動くとき、(1)を利用してQの軌跡を求めよ

    何卒宜しくお願い致します。(数ⅠAⅡBの範囲でお願いします。)
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