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■48893 / 親記事)  整数の個数と極限
□投稿者/ ボンボニエール 一般人(1回)-(2018/11/17(Sat) 19:08:40)
    nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
    (C) 0≦k<n 
    (D) k/n≦1/m<(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
    条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
    lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))
    を求めよ。

    この問題を教えて下さい。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■48896 / ResNo.1)  Re[1]: 整数の個数と極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(15回)-(2018/11/18(Sun) 21:25:42)
    nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
    (C) 0≦k<n 
    (D) k/n≦1/m<(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
    条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
    k<nだから
    k+1≦nだから
    k/n≦1/m<(k+1)/n≦1だから
    k/n≦1/m<1となる最大の1/mは1/2だから
    T[n]は
    k/n≦1/2となるkの個数となる
    k/n≦1/2となるkの最大値は
    k≦n/2となるkの最大値で
    n/2の整数部[n/2]=int[n/2]だから
    T[n]=[n/2]+1
    [n/2]≦n/2<[n/2]+1
    n/2<[n/2]+1≦n/2+1=(n+2)/2
    n/2<T[n]≦(n+2)/2
    (log(n/2))/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦(log((n+2)/2))/(log(n))
    {log(n)-log(2)}/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦{log(n)+log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    1-log(2)/log(n)≦(log(T[n]))/(log(n))≦1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    lim[n→∞]1-log(2)/log(n)≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦lim[n→∞]1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    1≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦1

    lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))=1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48897 / ResNo.2)  Re[1]: 整数の個数と極限
□投稿者/ らすかる 一般人(33回)-(2018/11/18(Sun) 22:25:44)
    (D)を逆数にするとn/(k+1)<m≦n/k
    k≦√(n+1/4)-1/2のときn/k-n/(k+1)≧1だから
    k≦√(n+1/4)-1/2を満たすkに対してはmが必ず存在し、
    これは[√(n+1/4)-1/2]+1個ある(+1はk=0の分)。
    k>√(n+1/4)-1/2で存在するmは[n/{√(n+1/4)-1/2}]-a個
    (aは√(n+1/4)-1/2が整数のとき1、そうでないとき2)
    なので、T[n]=[√(n+1/4)-1/2]+1+[n/{√(n+1/4)-1/2}]-a
    √n-2<[√(n+1/4)-1/2]<√n
    √n-1<[n/{√(n+1/4)-1/2}]<√n+1
    なので2√n-4<T[n]<2√n+1
    従って
    lim[n→∞]log(2√n-4)/log(n)≦lim[n→∞]log(T[n])/log(n)≦lim[n→∞]log(2√n+1)/log(n)
    から
    lim[n→∞]log(T[n])/log(n)=1/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48898 / ResNo.3)  Re[2]: 整数の個数と極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(16回)-(2018/11/19(Mon) 19:29:13)
    求めるのはmの個数ではなく
    kの個数です
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48899 / ResNo.4)  Re[3]: 整数の個数と極限
□投稿者/ らすかる 一般人(34回)-(2018/11/19(Mon) 21:19:36)
    > 求めるのはmの個数ではなくkの個数です
    私はkの個数を求めています。
    mの個数は無限個なので意味がないですね。

    例えばn=10000のとき
    m=2のときk=5000は条件を満たす
    m=3のときk=3333は条件を満たす
    m=4のときk=2500は条件を満たす
    ・・・
    m=100のときk=100は条件を満たす
    となり、k≧100で条件を満たすkは99個です。
    (2≦m≦100に対して、条件を満たすkは重複しません。)
    # m≦100では「条件を満たすmの個数」=「条件を満たすkの個数」なので
    # その部分から「mの個数を求めている」と感じられたのでしょうか。

    そしてk<100に対しては必ず条件を満たすmが存在しますので、
    k<100で条件を満たすのはk=0〜99の100個です。
    従ってn=10000のときはT[n]=99+100=199となります。
    この例のように、nが大きい時、T[n]は約2√nになりますので、
    求める極限値は1/2となります。

    上の解答は、この例をもう少し厳密に書いたものです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48902 / ResNo.5)  Re[4]: 整数の個数と極限
□投稿者/ ボンボニエール 一般人(2回)-(2018/11/21(Wed) 11:01:19)
    1/2ですね。
    具体例も解説していただき大変理解が深まりました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48889 / 親記事)  数列
□投稿者/ いらが 一般人(1回)-(2018/11/14(Wed) 11:54:47)
    数列a[n](n=1,2,3,...)を
    a[n]=n!*(Σ[k=n+1,∞]1/k!)
    と定めると、
    a[n]>a[n+1] (n=1,2,3,...)
    であることの証明を
    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48890 / ResNo.1)  Re[1]: 数列
□投稿者/ らすかる 一般人(32回)-(2018/11/14(Wed) 15:49:21)
    a[n]-a[n+1]
    ={n!Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)!Σ[k=n+2〜∞]1/k!}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    >n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=1〜∞]1/{(n+1)!(n+2)^k}}}
    ={n!/(n+1)!}{1-n{Σ[k=1〜∞]1/(n+2)^k}}
    ={1/(n+1)}{1-n/(n+1)}
    ={1/(n+1)}{1/(n+1)}
    =1/(n+1)^2
    >0
    なので
    a[n]>a[n+1]

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48892 / ResNo.2)  Re[2]: 数列
□投稿者/ いらが 一般人(2回)-(2018/11/15(Thu) 10:23:52)
    有り難うございます。
    大変助かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48850 / 親記事)  極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)
    x,y,zは0≦x,y,z<2πをみたす実数で、さらに
    数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
    n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48878 / ResNo.2)  Re[2]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)
    どういうことでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48880 / ResNo.3)  Re[3]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)
    x=0
    y=0
    z=0
    とすると
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
    cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
    lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
    sinnx+sinny+sinnzは0に収束する

    x=0
    y=0
    z=0


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48882 / ResNo.4)  Re[4]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
    sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
    が収束するならば、
    x=y=z=0である

    ことを示していただけませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48883 / ResNo.5)  Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)
    x,y,zがどんな値であっても、
    nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
    いくらでも3に近くすることができるから、
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
    よってx=y=z=0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48887 / ResNo.6)  Re[1]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1

    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48884 / 親記事)  統計学についての質問
□投稿者/ telly 一般人(1回)-(2018/11/07(Wed) 18:51:05)
    この写真の問いが分かりません。

    どのように解けばよいのでしょうか?
2293×3244 => 177×250

cbz6s-q4prx-001-min.jpg
/76KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48885 / ResNo.1)  Re[1]: 統計学についての質問
□投稿者/ muturajcp 一般人(9回)-(2018/11/10(Sat) 11:06:27)
    Pは区間(0,1]における1次元ルベーグ測度とする
    確率変数Xに対する確率測度として考える
    ||X||∞=inf{x|P(|X|>x)=0}
    とすると
    (1)
    ω∈(0,1]
    X(ω)=ω
    の時
    ||X||∞
    =inf{x|P(|X|>x)=0}
    =inf{x|P(|ω|>x)=0}
    ↓ω∈(0,1]→0<ω≦1だから
    =inf{x|P(x<ω≦1)=0}
    =inf{x|P((x,1])=0}
    ↓P((x,1])=1-xだから
    =inf{x|1-x=0}
    =inf{x|x=1}
    =inf{1}
    =1

    (2)
    ω∈(0,1]
    X(ω)=cosω
    の時
    ||X||∞
    =inf{x|P(|X|>x)=0}
    =inf{x|P(|cosω|>x)=0}
    ↓ω∈(0,1]→0<ω≦1だから
    =inf{x|P(0<ω<arccos(x),ω≦1)=0}
    =inf{x|P((0,min(arccos(x),1)])=0}
    ↓P((0,min(arccos(x),1)])=min(arccos(x),1)だから
    =inf{x|arccos(x)=0}
    =inf{x|x=1}
    =inf{1}
    =1
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48886 / ResNo.2)  Re[1]: 統計学についての質問
□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/11/10(Sat) 20:32:25)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の場合
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1
    だから
    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48333 / 親記事)  確率について。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2017/08/15(Tue) 00:39:38)
    1から1000まで書かれたカードが1枚ずつあります。
    その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
    とするとき、
    log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
    となる確率を求めたいのですが、どこから手をつけてよいのか分かりません。
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48881 / ResNo.1)  Re[1]: 確率について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(8回)-(2018/10/30(Tue) 21:21:41)
    1から1000まで書かれたカードが1枚ずつある
    その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
    とするとき、
    全場合の数は
    1000C2=1000*999/2=500*999=499500

    1≦Q<P≦1000
    1/1000<1/Q≦1
    1<P/Q≦1000

    log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log_10(3)
    となる時

    1<P/Q<10の時
    [log10(P/Q)]=0
    log10(P/Q)<log_10(3)
    1<P/Q<3
    Q+1≦P≦3Q-1
    Q+1≦P≦1000
    1≦Q≦999

    1≦Q≦333の時,Q+1≦P≦3Q-1,の2Q-1通り
    334≦Q≦999の時,Q+1≦P≦1000,の1000-Q通り
    だから
    Σ_{Q=1〜333}(2Q-1)+Σ_{Q=334〜999}(1000-Q)
    通り

    10≦P/Q<100の時
    [log10(P/Q)]=1
    log10(P/Q)<1+log_10(3)=log_10(10)+log_10(3)=log_10(30)
    10≦P/Q<30
    10Q≦P<30Q
    10Q≦P≦30Q-1
    10Q≦P≦min(30Q-1,1000)
    10Q≦1000
    1≦Q≦100

    1≦Q≦33の時10Q≦P≦30Q-1の20Q通り
    34≦Q≦100の時10Q≦P≦1000の1001-10Q通り
    だから
    Σ_{Q=1〜33}20Q+Σ_{Q=34〜100}(1001-10Q)
    通り

    100≦P/Q<1000の時
    [log10(P/Q)]=2
    log10(P/Q)<2+log_10(3)=log_10(100)+log_10(3)=log_10(300)
    100≦P/Q<300
    100Q≦P<300Q
    100Q≦P≦min(300Q-1,1000)
    100Q≦P≦1000
    1≦Q≦10

    1≦Q≦3の時100Q≦P≦300Q-1の200Q通り
    4≦Q≦10の時100Q≦P≦1000の1001-100Q通り
    だから
    Σ_{Q=1〜3}200Q+Σ_{Q=4〜10}(1001-100Q)
    通り

    P/Q=1000の時
    [log10(P/Q)]=3
    log10(P/Q)<3+log_10(3)=log_10(1000)+log_10(3)=log_10(3000)
    P/Q=1000<3000
    Q=1,P=1000

    1
    通り

    Σ_{Q=1〜333}(2Q-1)+Σ_{Q=334〜999}(1000-Q)
    +Σ_{Q=1〜33}20Q+Σ_{Q=34〜100}(1001-10Q)
    +Σ_{Q=1〜3}200Q+Σ_{Q=4〜10}(1001-100Q)
    +1
    =
    2Σ_{Q=1〜333}Q-333+Σ_{n=1〜666}n
    +20Σ_{Q=1〜33}Q+Σ_{Q=34〜100}{10(101-Q)-9}
    +200Σ_{Q=1〜3}Q+Σ_{Q=4〜10}{100(11-Q)-99}
    +1
    =
    333*334-333+333*667
    +10*33*34-9(100-33)+10Σ_{Q=34〜100}(101-Q)
    +100*3*4-99(10-3)+100Σ_{Q=4〜10}(11-Q)
    +1
    =
    333*333+333*667
    +10*33*34-9*67+10Σ_{n=1〜67}n
    +100*3*4-99*7+100Σ_{n=1〜7}n
    +1
    =
    333(333+667)
    +10*33*34-9*67+10*67*68/2
    +100*3*4-99*7+100*7*8/2
    +1
    =
    333*1000
    +10*33*34-9*67+10*67*34
    +100*3*4-99*7+100*7*4
    +1
    =
    333000
    +340(33+67)-603
    +1200-693+2800
    +1
    =
    333000
    +34000-603
    +4000-693
    +1
    =
    371000-1296+1
    =
    369705
    通り

    log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log10(3)
    となる確率は

    369705/499500
    =
    24647/33300≒0.74
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