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■51860 / 親記事) 　場合の数
□投稿者/ 場合の数 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 17:42:23)
    赤玉が3つあり、1,2,3の番号がふってある。
    白玉、青玉も3つずつあり、同様に1,2,3の番号がふられている。
    これらの9個の玉を横一列に並べるとき、k=1,2,…,9として
    左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数をa[k]個、
    左から数えてk番目に初めて3色が出揃う列の数をb[k]個とするとき
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9] と
    b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    の値の求め方を教えて下さい。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51861 / ResNo.1) 　Re[1]: 場合の数
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 18:54:59)
    a[k]=「左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数」
    =「左から数えてk番目以降に初めて3色が出揃う列」
    =b[k]+b[k+1]+b[k+2]+…+b[9]
    なので
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
    =(b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
    　+(b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
    　+(b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
    　+…
    　+(b[9])
    =b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    となり、求める二つの値は同じであることがわかります。

    a[1]=9!=362880
    a[2]=9!=362880
    a[3]=9!=362880
    a[4]=9!-3^3×3!×6!=246240
    a[5]=6P4×3C2×5!=129600
    a[6]=6P5×3C2×4!=51840
    a[7]=6P6×3C2×3!=12960
    a[8]=0
    a[9]=0
    なので
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
    =b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    =1529280
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51862 / ResNo.2) 　Re[2]: 場合の数
□投稿者/ 場合の数 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 21:21:54)
    ありがとうございます！
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51857 / 親記事) 　式と直線の問題
□投稿者/ u 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 02:00:38)
    あるクラスの 5 人の身長と平均歩幅は次の通りであった。 ただし, 身長を x, 平均歩幅を y とし, 5 人の計測値を (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, 5 としている。

    i=1 xi=154 yi=69
    i=2 xi=158 yi=67
    i=3 xi=165 yi=75
    i=4 xi=152 yi=61
    i=5 xi=161 yi=73

    x と y の間には xy-平面上の直線 y = ax + b で表される関係があると仮定し、この直線の式を定める。直線上の点の x 座標が xi のとき y 座標を yˆi で表し,Σ[i=1→5](yi − yˆi)^2ができるだけ小さくなるようにしたい.

    問題 1 直線を求めるための方針を簡潔に説明しなさい.

    問題 2 関係式を求めなさい. 求める過程を詳細に示すこと.

    問題 3 求めた直線上の y = yi に対応する x 座標を zi とするとき zi の平均は xiの平均に等しくなることを示しなさい.


    問題１はi=2,3を外れ値にしてi=1,4,5の連立方程式を解いていく流れでいいでしょうか？
    問題２は問題１の連立方程式を解いていくだけでしょうか？
    問題３はxiもziも同じ値が同じ数あるので平均は等しくなるという解釈で間違ってないでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


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■51853 / 親記事) 　素数
□投稿者/ ナジャル 一般人(1回)-(2022/06/03(Fri) 23:24:06)
    pq-rs=pr+qs=t
    をみたす素数p,q,r,s,tを教えて下さい。
    求め方もよろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51854 / ResNo.1) 　Re[1]: 素数
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2022/06/04(Sat) 00:43:41)
    p,q,r,sがすべて奇素数とするとtが(2より大きい)偶数になって不適。
    またp,q,r,sのうち2つ以上が2だとするとpq-rsかpr+qsのうち少なくとも一つが
    偶数になって不適。従ってp,q,r,sのうちどれか一つだけが2。
    pq-rs=pr+qsはp(q-r)=s(q+r),q(p-s)=r(p+s)のように変形できるのでp,qは2ではない。
    rとsを入れ替えてpとqを入れ替えても式が成り立つので、
    s=2として解を求め、rとs、pとqを交換したものも解とすればよい。
    このときpq-2r=pr+2qすなわちp(q-r)=2(q+r)。
    q=6m+1かつr=6n+1とするとq-rが3で割り切れq+rが3で割り切れないので不適。
    q=6m-1かつr=6n-1のときも同じ。
    q=6m+1かつr=6n-1とするとq+rが3で割り切れるがq-rが3で割り切れないので
    p=3でなければならない。しかし3(q-r)=2(q+r)とするとr=5qとなり不適。
    q=6m-1かつr=6n+1のときも同じ。
    従ってqかrのいずれかは6k±1でない奇素数すなわち3でなければならない。
    p(q-r)=2(q+r)からq=3とすると左辺が0以下になり不適なので、
    r=3でなければならない。
    pq-rs=pr+qsにr=3,s=2を代入して整理すると(p-2)(q-3)=12となるので
    p=5,q=7と決まり、このときt=29。
    rとs、pとqの入れ替えも解なので、条件を満たす解は
    (p,q,r,s,t)=(5,7,3,2,29),(7,5,2,3,29)の2組。

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■51855 / ResNo.2) 　Re[2]: 素数
□投稿者/ ナジャル 一般人(2回)-(2022/06/04(Sat) 10:13:42)
    ありがとうございました。
解決済み!
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■51832 / 親記事) 　不等式
□投稿者/ サッカー 一般人(1回)-(2022/03/29(Tue) 21:04:50)
    Σ[k=n+1→∞]1/k!<1/(n*n!)
    の証明教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51851 / ResNo.1) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2022/04/17(Sun) 21:49:32)
    S[k]=Σ[l=n+1〜k]1/l!
    と置くと
    S[k]=(1/n!)Σ[l=n+1〜k]n!/l!＜(1/n!)Σ[m=1〜k-n]1/(n+1)^m
    これより
    S[k]＜(1/n!){1/(n+1)}{1-1/(n+1)^(k-n)}/{1-1/(n+1)}
    S[k]＜{1/(n!・n)}{1-1/(n+1)^(k-n)}
    両辺のk→∞を考えて、証明すべき不等式を得ます。


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■51836 / 親記事) 　y=e^xの法線
□投稿者/ タ 一般人(1回)-(2022/04/09(Sat) 14:45:15)
    xy平面で以下の集合が表す領域はどのようなものになるのか教えて下さい
    {(p,q) | 点(p,q)を通るy=e^xの法線が2本(以上)存在する}
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51837 / ResNo.1) 　Re[1]: y=e^xの法線
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2022/04/09(Sat) 17:58:33)
    2022/04/17(Sun) 12:50:31 編集(投稿者)

    y=e^xの(t,e^t)における法線は
    ye^t-e^(2t)=t-x
    この法線が(p,q)を通るとき
    qe^t-e^(2t)=t-p
    f(t)=qe^t-e^(2t), g(t)=t-p とおくとf'(t)=qe^t-2e^(2t)
    「y=f(x)とy=g(x)の交点が2個以上」⇔「f'(t)＞1となるようなtが存在する」
    qe^t-2e^(2t)＞1が異なる2実数解を持つ条件はq＞2√2であり
    解はlog{{q-√(q^2-8)}/4}＜t＜log{{q+√(q^2-8)}/4}
    y=g(x)が点(log{{q-√(q^2-8)}/4},f(log{{q-√(q^2-8)}/4}))を通るとき
    p=log{{q-√(q^2-8)}/4}-f(log{{q-√(q^2-8)}/4})
    =log{{q-√(q^2-8)}/4}-{q^2+4-q√(q^2-8)}/8
    y=g(x)が点(log{{q+√(q^2-8)}/4},f(log{{q+√(q^2-8)}/4}))を通るとき
    p=log{{q+√(q^2-8)}/4}-f(log{{q+√(q^2-8)}/4})
    =log{{q+√(q^2-8)}/4}-{q^2+4+q√(q^2-8)}/8
    なので、求める領域は
    y＞2√2 かつ
    log{{y+√(y^2-8)}/4}-{y^2+4+y√(y^2-8)}/8≦x≦log{{y-√(y^2-8)}/4}-{y^2+4-y√(y^2-8)}/8
    整理して
    y＞2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦12log2-8log{y+√(y^2-8)}+y√(y^2-8)
    さらに整理すれば
    y＞2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦y√(y^2-8)-8arccosh(y/(2√2))

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51848 / ResNo.2) 　Re[2]: y=e^xの法線
□投稿者/ 夕 一般人(1回)-(2022/04/17(Sun) 09:20:00)
    ありがとうございます
    思ったよりも難しいですね
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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