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■52605 / 親記事) 　確率の基礎問題
□投稿者/ 数学機雷の父 一般人(1回)-(2024/08/19(Mon) 02:42:30)
    ■背景
    息子の中学校の問題集で以下の問答を発見しました。

    問：
    １～８までの数が１枚ずつ書かれた白いカードと黒いカードがそれぞれ８枚、合計１６枚ある。この中から２枚を引くとき、引いたカードに書かれた数の和が５になる確率を求めよ。

    答：
    8/120 = 1/15


    ■小生の疑問
    数の和が５になるペアは以下のとおり４通りのため答えは4/120 = 1/30にではないかと思っております。問題集の回答では「１と４、２と３の場合がそれぞれ４通りずつあるので合計８通りである」という旨の説明が記載されておりましたが、私は重複してカウントしているように思えて仕方ありません。
    どなたか私の疑問を解消していただけませんでしょうか。

    ≪和が５になるペア≫
    1+4
    2+3
    3+2
    4+1
引用返信/返信 [メール受信/ON]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52606 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率の基礎問題
□投稿者/ 数学機雷の父 一般人(2回)-(2024/08/19(Mon) 02:45:17)
    自己解決しましたｗ
    とても複雑に考えてしまってました。お騒がせしてすみませんでした。汗
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52534 / 親記事) 　微積分
□投稿者/ 蘭ねえちゃん 一般人(1回)-(2024/06/04(Tue) 11:06:34)
    実数から実数への微分可能な関数f(x)が、任意の実数x,yに対して
    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    を満たしています。f'(0)=1であるとき、
    ∫[0→1]f(x)dx>17/28
    となることの証明をお教え下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52603 / ResNo.1) 　Re[1]: 微積分
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2024/08/17(Sat) 21:57:14)
    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    ↓x=y=0とすると
    {f(0)}^3=-f(0)
    {f(0)}^3+f(0)=0
    f(0)({f(0)}^2+1)=0
    ∴
    f(0)=0

    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    f(x+y)f(x)f(y)+f(y)=f(x+y)-f(x)
    {f(x+y)f(x)+1}f(y)=f(x+y)-f(x)
    {f(x+y)f(x)+1}f(y)/y={f(x+y)-f(x)}/y
    lim[y→0]{f(x+y)f(x)+1}f(y)/y=lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y

    ({f(x)}^2+1)f'(0)=f'(x)
    ↓f'(0)=1だから
    {f(x)}^2+1=f'(x)

    f'/(1+f^2)=1
    ∫{1/(1+f^2)}df=x+C

    f=tan(t)
    df=(1/{cos(t)}^2)dt
    1/(1+f^2)=1/(1+{tan(t)}^2)={cos(t)}^2

    arctan(f)=x+C

    f(x)=tan(x+C)
    0=f(0)=tan(C)
    C=0
    ∴
    f(x)=tan(x)

    ∫[0→1]f(x)dx
    =∫[0→1]tan(x)dx
    =∫[0→1]{sin(x)/cos(x)}dx
    =∫[1→cos1](-1/t)dt
    =[-log|t|][1→cos1]
    =-log|cos1|
    =log(1/cos1)
    >0.61
    >17/28
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52581 / 親記事) 　整数の方程式
□投稿者/ 山内 一般人(1回)-(2024/07/21(Sun) 13:01:16)
    a^2+A^2+bc+BC=1
    bc+BC+d^2+D^2=3
    ab+AB+bd+BD=ac+AC+cd+CD=0
    をみたす整数は存在しますか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52602 / ResNo.1) 　Re[1]: 整数の方程式
□投稿者/ muturajcp 一般人(6回)-(2024/08/16(Fri) 16:03:04)
    aが偶数と仮定すると

    a=0(mod2)
    a^2=0(mod4)

    Aが偶数と仮定すると

    A=0(mod2)
    A^2=0(mod4)
    だから
    1=a^2+A^2+bc+BC=bc+BC(mod4)
    bc+BC=1(mod4)
    だから
    3=bc+BC+d^2+D^2=1+d^2+D^2(mod4)
    だから
    d^2+D^2=2(mod4)
    だから
    d=D=1(mod2)
    ↓a=A=0(mod2)だから
    0=ab+AB+bd+BD=b+B(mod2)
    だから
    b=B(mod2)

    d=D=1(mod2),a=A=0(mod2)だから
    0=ac+AC+cd+CD=c+C(mod2)
    だから
    c=C(mod2)
    ↓これとb=B(mod2)から
    1=bc+BC=bc+bc=0(mod2)
    となって矛盾するから

    Aは奇数だから

    A=1(mod2)
    A^2=1(mod4)
    だから
    1=a^2+A^2+bc+BC=1+bc+BC(mod4)
    だから
    bc+BC=0(mod4)
    だから
    3=bc+BC+d^2+D^2=d^2+D^2(mod4)
    d^2+D^2=3(mod4)
    d^2=0.or.1(mod4)
    D^2=0.or.1(mod4)
    だから
    d^2+D^2≠3(mod4)
    となって矛盾するから

    aは奇数だから

    a=1(mod2)
    a^2=1(mod4)

    Aが偶数と仮定すると

    A=0(mod2)
    A^2=0(mod4)
    だから
    1=a^2+A^2+bc+BC=1+bc+BC(mod4)
    だから
    bc+BC=0(mod4)
    だから
    3=bc+BC+d^2+D^2=d^2+D^2(mod4)
    d^2+D^2=3(mod4)
    d^2=0.or.1(mod4)
    D^2=0.or.1(mod4)
    だから
    d^2+D^2≠3(mod4)
    となって矛盾するから

    Aは奇数だから

    A=1(mod2)
    A^2=1(mod4)
    1=a^2+A^2+bc+BC=2+bc+BC(mod4)
    だから
    bc+BC=3(mod4)
    だから
    3=bc+BC+d^2+D^2=3+d^2+D^2(mod4)
    だから
    d^2+D^2=0(mod4)
    d=D=1(mod2)のときd^2+D^2=2(mod4)
    d=0,D=1.or,d=1,D=0 (mod2)のときd^2+D^2=1(mod4)
    だから
    d=D=0(mod2)
    だから
    0=ab+AB+bd+BD=b+B(mod2)
    だから
    b=B(mod2)

    0=ac+AC+cd+CD=c+C(mod2)
    c=C(mod2)
    ↓これとb=B(mod2)から
    bc+BC=bc+bc=0(mod2)
    となって
    bc+BC=3=1(mod2)
    に矛盾するから

    a^2+A^2+bc+BC=1
    bc+BC+d^2+D^2=3
    ab+AB+bd+BD=ac+AC+cd+CD=0
    をみたす整数は存在しない
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52600 / 親記事) 　確率の最大値
□投稿者/ アイちゃん 一般人(1回)-(2024/08/13(Tue) 13:02:56)
    チンパンジーの生息する山に数直線の0以上の部分を設置しました。
    この山に転がっている石の表面には正の実数がひとつ彫られており、どの正の実数をとってもその実数が彫られた石が無数に見つかります。また、λが彫られた石が数直線の0以上x以下の部分に落ちる確率は1-e^(-λx)となっています。
    早速チンパンジーたちがそれぞれ石を一つとってきて、数直線に落としてはそれを拾い、また落とし…という遊びを始めました。
    しかし漫然と石を落としているだけではさすがにチンパンジーたちも飽きるようなので、数直線の1以上2以下の部分に初めて石を落とす前に0以上1未満の部分と2より大きい部分のどちらにも石を落としたことのある子には1以上2以下の部分に石を落としたあとにバナナをあげることにしました。ただし、カロリーのこともあるのでバナナは一日一本までとします。
    次の日もその次の日もまたその次の日も…前日にバナナをも.らった子ももらえなかった子も、好きな石を見つけてきて同じように1以上2以下の部分に落とした子にはバナナをあげることにします。
    一週間後、チンパンジーたちはどの実数が彫られた石を手にしているでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


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■52595 / 親記事) 　至急お願いします
□投稿者/ スタバ 一般人(1回)-(2024/08/09(Fri) 19:53:18)

    a>b>0を満たす定数a.b,x>0

    [(a^x+b^x)/2]^1/xの取りうる値の範囲を求めたいです
    お願いします&#128583;&#8205;♀&#65039;
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52597 / ResNo.1) 　Re[1]: 至急お願いします
□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2024/08/11(Sun) 19:16:15)
    b<a
    ↓両辺を0<x乗すると
    b^x<a^x
    ↓両辺にb^xまたはa^xを加えると
    2b^x<a^x+b^x<2a^x
    ↓両辺を2で割ると
    b^x<(a^x+b^x)/2<a^x
    ↓両辺を(1/x)乗すると
    b<{(a^x+b^x)/2}^(1/x)<a
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52598 / ResNo.2) 　Re[2]: 至急お願いします
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2024/08/11(Sun) 22:02:58)
    xが全実数ならば
    取りうる値の範囲は
    b＜{(a^x+b^x)/2}^(1/x)＜a
    となりますが、
    x＞0なので
    √(ab)＜{(a^x+b^x)/2}^(1/x)＜a
    となりそうです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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