数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 95]

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■50356 / 親記事)

　解析学

□投稿者/ 通りすがり一般人(1回)-(2020/06/02(Tue) 22:56:02)

答えだけでなく、途中式も教えていただけると嬉しいです。

1125×396 => 250×88

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50357 / ResNo.1)

　Re[1]: 解析学

□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2020/06/03(Wed) 18:11:13)

[2]のみ解説します。

(1)
x ≧ 0 だから 0 < 1/√(1+x^2) ≦ 1 です。
逆正弦関数は主値のみを考えて、0 < Arcsin(1/√(1+x^2)) ≦ π/2 とします。

f(x) = Arcsin(1/√(1+x^2))
⇒ sin(f(x)) = 1/√(1+x^2)
0 < f(x) ≦ π/2 だから sin(f(x)) > 0 です。

⇒ 1/(sin(f(x))^2) = 1+x^2
⇒ {1-sin(f(x))^2}/(sin(f(x))^2) = (cos(f(x))/sin(f(x)))^2 = 1/(tan(f(x))^2) = x^2

x ≧ 0 かつ 0 < f(x) ≦ π/2 だから tan(f(x)) > 0 なので、
⇒ 1/tan(f(x)) = x

1/tan(f(x)) > 0 なので、上記式で x = 0 となることは不可能です。
また tan(f(x)) という項があるので、f(x) = π/2 となることも不可能です。
・・・なので、以下では 0 < x かつ 0 < f(x) < π/2 として話しを進めます。
x = 0 つまり f(x) = π/2 となるケースは別途考察します。

ここで、0 < π/2-f(x) < π/2 とすれば、
tan(f(x)) = sin(f(x))/cos(f(x)) = cos(π/2-f(x))/sin(π/2-f(x)) = 1/tan(π/2-f(x))
なので、
⇒ tan(π/2-f(x)) = x
⇒ π/2-f(x) = Arctan(x)
⇒ f(x) = π/2-Arctan(x)

よって、C = π/2 となります。
上記最後の式は f(x) = π/2 かつ x = 0 でも成立します。

(2)
g(x) = x*Arctan(x)-log(1+x^2) とおきます。
g(0) = 0 だから x = 0 で x*Arctan(x) ≧ log(1+x^2) は成立します。
g(-x) = g(x) だから、結局 x > 0 のときに g(x) ≧ 0 が示せれば十分です。

y = Arctan(x) とおくと、0 < y = Arctan(x) < π/2 であり、
tan(y) = x かつ 1+x^2 = 1+tan(y)^2 = 1/(cos(y)^2) なので、
g(x) = g(tan(y)) = y*tan(y)+2log(cos(y))
(d/dy)g(x) = ((d/dx)g(x))(dx/dy) = tan(y)+y/(cos(y)^2)+2(-sin(y))/cos(y) = {y-sin(y)cos(y)}/(cos(y)^2)

0 < y < π/2 だから sin(y)cos(y) < sin(y) < y であり、
よって ((d/dx)g(x))(dx/dy) > 0 です。
また、dx/dy = 1/(cos(y)^2) > 0 より、(d/dx)g(x) > 0 と言えます。

以上から、g(0) = 0 かつ x > 0 で g'(x) > 0 より、x > 0 で g(x) > 0 です。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!

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■50368 / ResNo.2)

　Re[1]: 解析学

□投稿者/ nomi 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 01:08:01)

[1]の(1) のみヤリマス　[他は　ご自分で!]
(-Log[2]+Log[3]/2)+1/8 (-4 Log[2]^2+Log[3]^2) x+O[x]^2 で　コタエ」；-Log[2]+Log[3]/2=-(1/2) Log[4/3]

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■50292 / 親記事)

　行列のn乗

□投稿者/ 大学数学一般人(3回)-(2020/04/15(Wed) 00:37:23)

行列のn乗が零行列になるものを選ぶ問題です。

答えは5番になります。
行列の対角化を用いて、n乗を求める方法をやりましたが、これだと時間がかかりすぎてしまいます。

もっと時短でできるような解法を教えてください。
よろしくお願いします。

1708×954 => 250×139

9F125FFD-1CAD-4709-A064-F68449539795.png/133KB

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■50367 / ResNo.1)

　Re[1]: 行列のn乗

□投稿者/ zuru 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 00:44:35)

2020/06/16(Tue) 00:47:26 編集(投稿者)
2020/06/16(Tue) 00:46:55 編集(投稿者)

●採点が超楽な選択問題出題者の教授の心中をさっして　最後のだろうと　予想し●
{{1/2,-16,0},{0,-1/2,16},{0,0,1/2}}の固有値を　さっと　求め　{-(1/2),1/2,1/2}。
予想通り　コレダ」。

念のため　冪を求めると　{{2^-n,2^(4-n) (-1+(-1)^n),-2^(8-n) (-1+(-1)^n+2 n)},{0,(-(1/2))^n,-2^(4-n) (-1+(-1)^n)},{0,0,2^-n}}
　　　　で　n->\[Infinity]　で　零行列で　予想どうりで　他は　やらないで

　　　　　　　◆人生は短いので　余り　時間は　他の場面　に　使う◆

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■50366 / 親記事)

　色々な方法　で

□投稿者/ Fa 一般人(1回)-(2020/06/15(Mon) 15:37:52)

C(k); 12-10 x+2 x^2+7 y-3 x y-y*k-y^2*k=0 で　
　　　　k∈R の時　殆ど曲がった曲線　ですが
2直線に分解するような　k を　色々な方法　で求めよ（を教えて)

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■50364 / 親記事)

　初期値問題

□投稿者/ t 一般人(1回)-(2020/06/13(Sat) 01:47:12)