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■52385 / 親記事) 　確率
□投稿者/ じゃん 一般人(1回)-(2023/11/20(Mon) 12:10:39)
    確率の問題を解説していただきたいです。

    a,b,c,d ４つの部屋があります。
    外に出ると移動が終了します。
    aから外に出る確率は1/3(終了)、aからbに移る確率は1/3、aからcに移る確率は1/3
    bからcに移る確率は1/3、bからaに移る確率は2/3
    cからdに移る確率は2/3、cからaに移る確率は1/3
    dから外に出る確率は1/3(終了)、dからbに移る確率は1/3、dからcに移る確率は1/3

    となっています。
    スタート地点はaであり、移動回数に制限はありません。
    dから外に出る確率はいくつになりますでしょうか？

    どうぞよろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52386 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ 星は昴 一般人(5回)-(2023/11/21(Tue) 10:28:33)
    　マルチ先の

    ｈｔｔｐｓ：／／ｗｗｗ２．ｒｏｃｋｅｔｂｂｓ．ｃｏｍ／１１／ｂｂｓ．ｃｇｉ？
    ｉｄ＝ｙｏｓｓｈｙ＆ｍｏｄｅ＝ｒｅｓ＆ｒｅｓｔｏ＝８６７６４

    に回答があるが。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52376 / 親記事) 　1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開
□投稿者/ 星は昴 一般人(2回)-(2023/11/07(Tue) 19:24:57)
    1/z(z-1) z=0でローラン展開 0<|z|<1の場合
    　　1/z(z-1)
    = (-1)/z(1-z)
    =(-1/z){1/(1-z)}
    =(-1/z)(1+z+z^2+z^3+…)
    = -z^(-1) - z^0 - z^1 - z^2 - …
    = -∑[n=0→∞]z^(n-1)

    　これにならって
    1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開 0<|z|<1の場合
    をやりたいのですが、どうやっていいのかわかりません。
    　形式的に計算すると

    　　1/{z^2(z-1)^2}
    = (1/z^2){1/(1-z)^2}
    = (1/z^2){1/(1-z)}^2
    = (1/z^2)(1+z+z^2+z^3+…)^2
    = (1/z^2+1/z+1+z+z^2+…)^2

    になってしまいます。wolfram の結果と合いません。どこがおかしいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52377 / ResNo.1) 　Re[1]: 1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開
□投稿者/ 星は昴 一般人(3回)-(2023/11/07(Tue) 19:28:16)
    自己解決いたしました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52372 / 親記事) 　速度
□投稿者/ waka 一般人(4回)-(2023/11/03(Fri) 09:56:29)
    よろしくお願いいたします。
    問題
    　表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合で増加している球がある。半径が10cmになった瞬間において、次のものを求めよ。
    （１）半径の増加する速度

    表面積の増加を始めてt秒後の球の半径をrcm, 表面積をScm^2とする。

    dS/dt=4πと解答に書いてあるのですが、dS/dtがなぜ4πになるのかわかりません。基本的なことだとは思うのですがよろしくお願いします。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52373 / ResNo.1) 　Re[1]: 速度
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2023/11/03(Fri) 12:50:57)
    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    「s」は「秒」の意味と解釈します。

    「表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合」を数式で表すと「dS/dt = 4π」となります。
    dS/dtは時間tに対する表面積Sの変化率を表しているからです。
    勿論、表面積Sの単位は「cm^2」で、時間tの単位は「「s(秒)」です。

    以下余談

    半径をr[cm]とすると、表面積はS = 4πr^2[cm^2]ですから、
    4π = dS/dt = (dS/dr)(dr/dt) = ((d/dt)4πr^2)(dr/dt) = (8πr)(dr/dt)
    ⇒ dr/dt = 4π/(8πr) = 1/(2r)

    よって、r = 10[cm]の時の半径の増加速度はdr/dt = 1/(2*10) = 1/20[cm/s]
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52374 / ResNo.2) 　Re[2]: 速度
□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2023/11/03(Fri) 17:45:02)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52368 / 親記事) 　i^iについて
□投稿者/ たぬき 一般人(1回)-(2023/10/23(Mon) 22:19:11)
    オイラーの公式によりi=e^(iπ/2)だから、
    i^i=(e^(iπ/2))^i=e^((iπ/2)*i)=e^(-π/2)だと思います。

    一方、指数法則よりa≠0に対して(a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bなので、
    a=e,c=0とすると、(e^b)^0=e^(b*0)=(e^0)^bですが、
    (e^b)^0=1かつe^(b*0)=e^0=1なので(e^0)^b=1^b=1だと思います。
    上記を使うと(i^i)^4=(i^4)^i=1^i=1となるので、
    i^iは1の4乗根の±1か±iのどれかということになり、
    e^(-π/2)に一致しません。

    どこが間違っているのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52369 / ResNo.1) 　Re[1]: i^iについて
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2023/10/23(Mon) 23:25:39)
    (a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bという指数法則は
    ・aが0以外の実数かつbとcが整数
    ・a＞0かつbとcが実数
    のときは成り立ちますが、それ以外の時は一般に成り立ちません。
    （つまり虚数には使えません。）

    i^i=e^(-π/2)も違います。
    i^i=e^(ilogi)=e^{i(log|i|+iargi)}=e^{i(i(π/2+2nπ))}=e^(-π/2-2nπ)
    のように多価になります。

    1^i=1も違います。
    1^i=e^(ilog1)=e^{i(log|1|+iarg1)}=e^{i(i(2nπ)}=e^(-2nπ)
    のように、これも多価になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52370 / ResNo.2) 　Re[1]: i^iについて
□投稿者/ たぬき 一般人(2回)-(2023/10/23(Mon) 23:45:55)
    指数関数は周期2πiを持ち、対数関数は複素数では多価関数となるのを忘れていました。
    回答ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52356 / 親記事) 　(x+1)^n-x^n
□投稿者/ plan:D 一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 20:20:47)
    nは3以上の奇数で、pはnを割り切る素数のうち最小のものとする。
    このとき、任意の整数xに対して(x+1)^n-x^nはpで割り切れない、
    というのは正しいでしょうか？
    反例か証明を教えてほしいです。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52366 / ResNo.1) 　Re[1]: (x+1)^n-x^n
□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2023/10/14(Sat) 22:36:21)
    # 証明できたような気がしますが、あまり自信がないので識者の方のツッコミをお願いします。

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    素数pは正の整数とします。

    x ≡ 0 (mod p)または、x+1 ≡ 0 (mod p)つまりx ≡ -1 (mod p)の場合、
    (x+1)^n-x^nがpで割り切れないことは容易に分かるので、
    以下でxは法pで0にも-1にも合同でない整数とします。

    xの法pで(剰余体Z/pZで)の逆元をyとします。つまりxy ≡ 1 (mod p)です。
    xは法pで0に合同ではないので、このようなyは必ず存在し、剰余類としては唯一に定まります。
    また、yも法pで0に合同ではありません。
    更に、xは法pで-1に合同ではないのと、-1の逆元は-1であることから、yは-1に合同ではありません。
    # 合同でない2つの剰余類の逆元同志も合同にはならない為。

    (x+1)^n-x^n = rとおくと、
    ⇒ (y(x+1))^n-(yx)^n ≡ (y^n)r (mod p)
    ⇒ (1+y)^n-1 ≡ (y^n)r (mod p)
    つまり、r ≡ 0 (mod p)であることと、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは同値です。

    yは法pで0にも-1にも合同ではないので、1+yは法pで1にも0にも合同ではありません。
    よって、1 < m ≦ p-1である自然数mが存在して、(1+y)^m ≡ 1 (mod p)となります。
    尚、mは(1+y)^m ≡ 1 (mod p)を満たす最小の自然数とします。
    # 上記はフェルマーの小定理の応用で、mはp-1の約数となります。

    (1+y)^n ≡ 1 (mod p)であるためにはnがmの倍数であることが必要です。
    しかし、nの最小因数がpであり、1 < m < pであるため、nはmで割り切れません。

    以上から、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは不可能であり、
    (x+1)^n-x^n = r ≡ 0 (mod p)であることも不可能と言えます。
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