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■50732 / 親記事) 　因数分解
□投稿者/ megumi 一般人(3回)-(2021/04/21(Wed) 16:53:58)
    行列式
    (L-3　-2　　1)
    (-2　 L-3　 1)
    (-2　　1　 L-3)
    を1行で展開すると

    (L-3)( (L-3)^2 - 1 ) + 2(-2(L-3)) + 2) + (-2 + 2(L-3) )
    = (L-3)(L-3)^2 - (L-3) - 4(L-3) + 4 - 2 + 2(L-3)
    = (L-3)( L^2-6L+9 - 1 - 4 + 2 ) + 2
    = (L-3)( L^2-6L+6 ) + 2
    = L^3-6L^2+6L - 3L^2+18L-18 + 2
    = L^3-9L^2+24L-16
    　これを因数分解する。
    　　　　L^2-8L+16
    　　　　─────────
    　(L-1)| L^3-9L^2+24L-16
    　　　　 L^3-L^2
    　　　　 ----------------
    　　　　　　-8L^2+24L-16
    　　　　　　-8L^2+8L
    　　　　 ----------------
    　　　　　　　　　16L-16
    L^3-9L^2+24L-16 = (L-1)(L^2-8L+16) = (L-1)(L-4)^2

    因数分解でもっと気の利いた解き方はありませんか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50734 / ResNo.1) 　Re[1]: 因数分解
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2021/04/21(Wed) 18:52:36)
    2021/04/21(Wed) 19:06:16 編集(投稿者)

    以下の操作を行列式に行います。
    (1)
    1行目から2行目を引く
    (2)
    1行目からL-1を行列式の外に括り出す。
    (3)
    2行目から3行目を引く。
    (4)
    2行目からL-4を行列式の外に括り出す。
    (5)
    1行目を2行目、3行目に足す。
    (6)
    2列目で余因子展開する。


    注)
    飽くまで1例です。
    コツは行、列の足し引きによって
    (i)変数部をできるだけ括り出す。
    (ii)0を2行、又は2列並ぶようにする
    です。
    詳しくは線形代数学の参考書で
    行列式の例題の模範解答をどうぞ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50735 / ResNo.2) 　Re[2]: 因数分解
□投稿者/ megumi 一般人(4回)-(2021/04/21(Wed) 20:06:40)
    ああ、行列のほうを操作するのですね。ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50714 / 親記事) 　√の問題
□投稿者/ 許して 一般人(1回)-(2021/04/19(Mon) 07:33:31)
    2021/04/19(Mon) 08:46:37 編集(投稿者)

    (1) a>0, b>0 のとき √a+2√b>√(a+4b) を示せ。
    (2) √14-√10>√15-√11 を示せ。

    という問題なのですが、(2)は(1)を使うとうまく解けたりするのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50715 / ResNo.1) 　Re[1]: √の問題
□投稿者/ らすかる 一般人(33回)-(2021/04/19(Mon) 14:17:40)
    (2)には(1)が使えない気がします。

    (1)
    √a+2√b=√{(√a+2√b)^2}
    =√{a+4b+4√(ab)}＞√(a+4b)

    (2)
    (√14+√11)^2=25+2√154＞25+2√150=(√15+√10)^2から
    √14+√11＞√15+√10なので
    √14-√10＞√15-√11

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50717 / ResNo.2) 　Re[2]: √の問題
□投稿者/ 許して 一般人(2回)-(2021/04/19(Mon) 21:33:32)
    ありがとうこざいます
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50707 / 親記事) 　極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(1回)-(2021/04/17(Sat) 08:00:02)
    θ, φ, ｒ, α は実数で、
    ０≦θ≦π
    ０≦φ≦π
    ｒ＞０
    ｒ(cosα＋ｉsinα)＝２cosθ＋２ｉsinθ＋cos(θ-φ)＋ｉsin(θ-φ)
    を満たしている。
    cosθ を ｒ と α であらわせ。

    教えて下さい。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■50709 / ResNo.2) 　Re[2]: 極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(2回)-(2021/04/17(Sat) 13:44:41)
    有難うございます。
    ±はどちらもありますか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50710 / ResNo.3) 　Re[3]: 極形式
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2021/04/17(Sat) 14:08:28)
    もしどちらかしかない場合は排除しなければなりませんので
    検討しましたが、どちらもありました。
    （ただし、値によっては一方が不適解の場合もあります）
    例えばα=π/4, r={√2+√6-2√(√3-1)}/2のときθ=π/6,π/3となりますが、
    図を描いてみればどちらも適解であることがわかります。
    r(cosα+isinα)が(1+√3-√(2√3-2))(1+i)/2≒0.761+0.761iで
    θ=π/6のとき2cosθ+2isinθ=√3+i≒1.732+i、
    θ=π/3のとき2cosθ+2isinθ=1+(√3)i≒1+1.732iとなり、
    いずれもr(cosα+isinα)≒0.761+0.761iまでの距離が1ですので
    条件を満たすφが存在します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50711 / ResNo.4) 　Re[4]: 極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(3回)-(2021/04/17(Sat) 15:49:36)
    θ＝π/6 のとき
    0.761＋0.761ｉ＝1.732＋ｉ＋cos(π/6-φ)＋ｉsin(π/6-φ)
    すなわち
    −0.971−0.239ｉ＝cos(π/6-φ)＋ｉsin(π/6-φ)
    これをみたす０≦φ≦πは存在しますか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50712 / ResNo.5) 　Re[5]: 極形式
□投稿者/ らすかる 一般人(32回)-(2021/04/17(Sat) 17:19:20)
    ごめんなさい、勘違いしていました。
    条件は0≦φ≦πなのに勘違いして
    0≦θ-φ≦πで考えてしまっていました。
    0≦φ≦πならば解は一つしかないですね。
    θは大きい方だけ適解なのでcosθは小さい方が適解となり、
    cosθ={(r^2+3)cosα-|sinα|√{16r^2-(r^2+3)^2}}/(4r)
    が解になると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50713 / ResNo.6) 　Re[6]: 極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(4回)-(2021/04/17(Sat) 18:33:54)
    とんでもないです。
    とても参考になりました。
    有難うございました。
解決済み!
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■50704 / 親記事) 　tanと自然数
□投稿者/ こうさく 一般人(1回)-(2021/04/16(Fri) 01:25:26)
    自然数m,nは、
    tanα=1/m,tanβ=1/n
    を満たす角度α,βをとると
    tan(α+β)が整数になるという。
    m,nを求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50705 / ResNo.1) 　Re[1]: tanと自然数
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2021/04/16(Fri) 06:46:37)
    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
    =(1/m+1/n)/{1-(1/m)(1/n)}
    =(m+n)/(mn-1)
    少なくとも(分母)≦(分子)でなければならないので
    mn-1≦m+n
    mn-m-n-1≦0
    mn-m-n+1≦2
    (m-1)(n-1)≦2
    m=1のときtan(α+β)=(n+1)/(n-1)=1+2/(n-1)となるのでn=2,3
    n=1のときも同様にm=2,3
    m＞1かつn＞1のとき、(m-1)(n-1)≦2を満たす自然数(m,n)の組は
    (2,2),(2,3),(3,2)だが、このうち(2,2)は(m+n)/(mn-1)が整数とならず不適。
    他はすべて条件を満たすので、求める答えは
    (m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50706 / ResNo.2) 　Re[2]: tanと自然数
□投稿者/ こうさく 一般人(2回)-(2021/04/16(Fri) 08:38:01)
    ありがとうございます！！
解決済み!
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■50693 / 親記事) 　α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(1回)-(2021/04/03(Sat) 13:50:51)
    α^3-2α^2+4α-4=0
    のとき
    α^52=p+qα
    をみたす整数p,qが存在することを示せ。(和訳)

    整数論の本を読んでいたら上記演習問題があったのですが、これは手計算で示せるものなのでしょうか？
    単に存在することを示すだけなので、次数を下げていく以外の方法があるのか！？などと思ってみたり…
    どうなんでしょう？教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50694 / ResNo.1) 　Re[1]: α^52
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2021/04/03(Sat) 17:29:37)
    次数下げとあまり変わりませんが、工夫すると
    (α^3-2α^2+4α-4)(α+2)=α^4+4α-8=0 から α^4=-4α+8
    (α^4+4α-8)α^2-4(α^3-2α^2+4α-4)=α^6-16α+16=0 から α^6=16α-16=16(α-1)
    α^13=α(α^6)^2=256α(α-1)^2=256{(α^3-2α^2+4α-4)-(3α-4)}=256(-3α+4)
    (-3α+4)^4=81α^4-432α^3+864α^2-768α+256
    =81(-4α+8)-432(α^3-2α^2+4α-4)+960α-1472
    =636α-824
    なので
    α^52=(α^13)^4=256^4・(-3α+4)^4=2^32・(636α-824)=2^34・(159α-206)
    となりp=-103・2^35、q=159・2^34でα^52=p+qαが成り立つ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50703 / ResNo.2) 　Re[2]: α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(2回)-(2021/04/08(Thu) 17:48:13)
    有難うございます。
    私にも・・・辛うじて計算できる方法です。
    α^4を見つけるのが肝要ですね。
    工夫の偉大さを感じました。
解決済み!
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