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■52940 / 親記事)  順列
□投稿者/ 純烈. 一般人(1回)-(2025/09/18(Thu) 10:08:21)
    1からn(≧2)までの整数の順列a[1],a[2],…,a[n]で
    a[k]<a[k+1]を満たさないkがただひとつだけある
    ものは何通りありますか?
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■52937 / 親記事)  2次不等式
□投稿者/ 埼玉 一般人(1回)-(2025/09/17(Wed) 20:20:44)
    xの2次不等式2x^2-4ax+a^2-b≦0が任意の実数aに対して整数の解をもつような実数bの値の範囲を求めよ。

    という問題なのですが、教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52938 / ResNo.1)  Re[1]: 2次不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2025/09/18(Thu) 09:22:41)
    b<0のときa=0とおくと不等式はx^2≦b/2となり解なし。

    b≧0のとき不等式の実数解は
    a-√(2a^2+2b)/2≦x≦a+√(2a^2+2b)/2

    0≦b<1/4のときa=1/2とおくと不等式の解は
    1/2-√(8b+2)/4≦x≦1/2+√(8b+2)
    となり、0≦b<1/4から√2≦√(8b+2)<2なので
    0<1/2-√(8b+2)/4≦x≦1/2+√(8b+2)<1
    となって整数解を持たない。

    1/4≦b<1/2のとき
    |a|<1/2ならばa^2-b<0なので
    不等式は整数解x=0を持つ。
    |a|≧1/2ならば√(2a^2+2b)≧1なので
    不等式の実数解の範囲の長さが1以上となり、必ず整数解を含む。

    1/2≦bのとき√(2a^2+2b)≧1なので上記と同様に必ず整数解を含む。

    よって条件を満たす実数bの範囲は b≧1/4。

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■52933 / 親記事)  方程式の解
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2025/08/28(Thu) 21:34:49)
    方程式 2^x=x^2 の解法をご教授ください。
    y=2^xとy=x^2のグラフを画いて(PCに描かせて)みたところ、x=2,4と負の解の計3つ解があることは確認できるのですが、実際どう解けばよいのでしょうか?
    特に、負解は、代数的に表現できるのでしょうか?
    よろしくお願いします。


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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52934 / ResNo.1)  Re[1]: 方程式の解
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2025/08/28(Thu) 23:47:29)
    負の解は

    2^x=x^2
    2^(x/2)=-x
    1=-x・2^(-x/2)
    1=-x・e^{-(x/2)log2}
    log2/2=-(x/2)log2・e^{-(x/2)log2}
    -(x/2)log2=W(log2/2)
    ∴x=-(2/log2)W(log2/2)
    =-0.76666469596212309311120442251031484800667534666983…
    (W( )はランベルトのW関数)

    この値が掲載されている↓こちらのサイトに
    oeis.org/A073084
    代数的な表現が記載されていませんので、代数的には表現できないと思います。

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■52935 / ResNo.2)  Re[2]: 方程式の解
□投稿者/ かけ流し 一般人(1回)-(2025/08/29(Fri) 06:55:25)
    らすかる様

     ご教授ありがとうございます。
    今後ともよろしくお願いたします。
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■52931 / 親記事)  1の原始2n+1乗根
□投稿者/ page2 一般人(1回)-(2025/08/23(Sat) 09:16:17)
    ωを1の原始2n+1乗根とします(n∈N)。
    Π[k=0→2n] (1-ω^k*x-ω^(2k)*y)
    をx,yの整数係数多項式で表すには
    どのように計算すればいいですか?
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■52887 / 親記事)  積分不等式
□投稿者/ 秋田犬 一般人(1回)-(2025/06/04(Wed) 19:42:48)
    a≧0
    f(x)>0
    f'(x)>0
    のとき0≦x≦π/4で
    f(x)≧∫[a,x+a]sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))dt
    が成り立つことの証明を教えてください
    秋田大の問題です
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52890 / ResNo.1)  Re[1]: 積分不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2025/06/05(Thu) 12:01:34)
    2025/06/05(Thu) 19:59:41 編集(投稿者)

    不定積分の1つを g(t) = ∫{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt とおきます。

    x > 0 の場合、平均値の定理より a < c < x+a となるcが存在して、
    g(x+a)-g(a) = ((x+a)-a)g'(c) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) となります。
    0 < c-a < x ≦ π/4 なので sin(c-a) > 0, cos(c-a) > 0 ですので、
    g(x+a)-g(a) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) > 0 といえます。

    ここで、0 < sin(c-a)cos(c-a) = sin(2(c-a))/2 < 2(c-a)/2 < x です。
    また、f'(x) > 0 よりf(x)は単調増加なのと、
    0 < sin(c-a) < c-a < x なので 0 < f(sin(c-a)) ≦ f(x) ですので、
    0 < g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) となります。

    x = 0 の場合、g(x+a)-g(a) = (x^2)f(x) = 0 ですので、
    0 ≦ x ≦ π/4 の範囲で 0 ≦ g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) は成立します。

    0 ≦ x ≦ π/4 < 1 なので x^2 < 1 ですので、
    f(x) > (x^2)f(x) ≧ g(x+a)-g(a) = ∫[a, x+a]{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt
    といえます。

    # a ≧ 0 という条件は使用せず、不要となってしまっていることから、
    # 私の解法は何らかの考え漏れがあるのかもしれません。
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■52929 / ResNo.2)  Re[2]: 積分不等式
□投稿者/ 秋田犬 一般人(1回)-(2025/08/23(Sat) 05:25:26)
    たしかにaはなんなんでしょう…(置換したら消える?)
    分かりやすいご説明ありがとうございました
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