数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■ 過去ログ検索の勧め⇒ここを読んでみてください
google検索

 
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。
検索条件:
現在のログを検索過去のログを検索
■ 2006/2/20より、累計:、本日:、昨日:
数式の記述方法
TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \] あるいは,$ TeX形式数式 $ で数式を記述します。
 TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは New で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは UpDate で表示されます。

記事リスト ( )内の数字はレス数
Nomal漸化式(10) | Nomal(1/4)(3:4:5)(2) | Nomal漸化式(6) | Nomal等比数列の問題です(4) | Nomal3次方程式(6) | Nomal漸化式と極限(2) | Nomal互いに素?(4) | Nomal(削除)(5) | Nomalなぜy軸対称となるのかが理解できません。(2) | Nomal(削除)(2) | Nomal多項式の決定(1) | Nomal場合の数について。(1) | Nomal連結集合のはなし(1) | Nomal位相空間の問題(0) | Nomal超フィルタの定義はこれでOK?(0) | Nomal素数(10) | Nomal関数の連続性?(0) | Nomal連続関数の集合は環をなす?(2) | Nomal三角不等式(2) | Nomal3元数できたよーぐると(0) | Nomaln番目の有理数を求める公式とは?(24) | Nomal有理点(5) | Nomal教えてください(1) | Nomal数列(0) | Nomal角度(3) | Nomal平面図形(1) | Nomalこの問題が分かりません(7) | Nomal無限級数 助けてください(1) | Nomal等式について。(3) | Nomal四角形が円に内接するための条件(4) | Nomal総合問題(1) | Nomal整数解(3) | Nomal漸近線(0) | Nomalあほ教師(3) | Nomal全射の個数を求める問題(2) | Nomal陰関数f(x,y)=0の連続性についての質問(2) | Nomal二次方程式です(T ^ T)(1) | Nomal解説お願いします(1) | Nomalコラッツ予想について(0) | Nomalf(S)(0) | Nomal不変(0) | Nomal指数のある方程式を解く 両辺の3乗根? 【高校程度】(4) | Nomal126k-11l=1 一般解が解法によって異なる?(2) | Nomal軌跡(0) | Nomalq(1) | Nomal極限の計算 定数乗? について教えてください。(5) | Nomal偏微分後でも連続性は保たれますか?(0) | Nomal組合せの問題?(2) | NomalA×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?(4) | Nomalこれには選択公理が要るの?(0) | Nomalガウス記号(2) | Nomal部分分数分解(3) | Nomal素数(1) | Nomalご教授ください(1) | Nomalオイラーのφ関数(3) | Nomal内接円と外接円(2) | Nomala_1,a_2,…,a_nが零でない互いに素な整数とする時,(0) | NomalS(0) | NomalS(0) | Nomalお願いします(らすかる様)(2) | Nomal儲け(0) | Nomal反転(0) | Nomal数学的帰納法(2) | Nomal最短(0) | Nomal三重積分(3) | Nomal二等辺三角形(0) | Nomal数学的帰納法(2) | Nomal約数(1) | Nomal確率と組み合わせ(10) | Nomal最短(0) | Nomalご教授ください(1) | Nomal認知症診断の指数(0) | Nomal面積(0) | Nomal下限についての命題(8) | Nomal有理数 a,b,c,d を 求めて下さい(1) | Nomal空間図形(1) | Nomalベクトル? 空間座標(0) | Nomal三角関数のグラフ(3) | Nomal座標上の2円の問題(2) | Nomal頂点と面との距離(2) | Nomal場合の数の問題(3) | Nomal(削除)(0) | Nomal生理中?(0) | Nomal正規直交基底は元の基底の定数倍?(2) | Nomal(削除)(2) | Nomal外接円との関係(0) | Nomal小数部分(4) | Nomal素数の足し算 完全数(2) | Nomal色々な数列の和(1) | Nomal下半分の確率問題教えて下さい。(0) | NomalMax Min(0) | Nomal無限級数(2) | Nomal数V 積分の応用(0) | Nomal空間図形(0) | Nomal解(0) | Nomal楕円の方程式(0) | Nomal表示(0) | Nomal曲線の長さ?(1) | Nomal場合の数(4) | Nomal不等式と積分(1) |



■記事リスト / ▼下のスレッド
■47915 / 親記事)  漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(4回)-(2017/03/11(Sat) 21:22:47)
    a[1]=1
    a[2]=1
    a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n] (n≧1)
    であるとき、a[n]が自然数であること
    の証明を教えて下さい。お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス10件(ResNo.6-10 表示)]
■47922 / ResNo.6)  Re[6]: 漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(7回)-(2017/03/12(Sun) 11:45:06)
    有り難うございます。
    やはりそういう関係が成り立つのですね。

    それって、実験的に類推する方法以外で、代数的に(非帰納法で)式変形だけで証明できるのでしょうか?
    そもそも、見る人が見ればこういった線形的な関係が成り立つのは明らかなのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47923 / ResNo.7)  Re[6]: 漸化式
□投稿者/ IT 一般人(3回)-(2017/03/12(Sun) 11:46:38)
    らすかるさんへ、
     興味深い結果ですね。
     「a[1]=a[2]=1」という条件も効いているのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47924 / ResNo.8)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2017/03/12(Sun) 11:53:20)
    長文ですが、一定の結果が出せたので書き込ませて頂きます。

    f(x) = Ax^2+Bx+C, a[n+2] = f(a[n+1])/a[n]とし、
    a[n+2] = p*a[n+1]+q*a[n]+rとなるp, q, rがA, B, Cだけで決定できるか考えてみます。

    n = 1とn = 2で変形できる、つまり、
    a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r
    a[4] = p*a[3]+q*a[2]+r
    は成立するもとします。

    後は、kを自然数としてn = kとn = k+1で成立する、つまり、
    a[k+2] = p*a[k+1]+q*a[k]+r
    a[k+3] = p*a[k+2]+q*a[k+1]+r
    と仮定して、n = k+2でも成立することが示せれば良い訳です。

    a[k+4] = (A*a[k+3]^2+B*a[k+3]+C)/a[k+2]
    = {A*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)^2+B*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)+C}/a[k+2]
    = {A*(p^2)*a[k+2]^2+2Apq*a[k+2]a[k+1]+2Apr*a[k+2]+A*(q^2)*a[k+1]^2+2Aqr*a[k+1]+A*r^2+Bp*a[k+2]+Bq*a[k+1]+Br+C}/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+{A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C)}/a[k+2]

    上記の最後の式で、ある定数sが存在して、
    A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C) = s*f(a[k+1])・・・・・(1)
    と表せれば、
    a[k+4] = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*f(a[k+1])/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*f(a[k+1])/a[k]*a[k]/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k+2]*a[k]/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k]・・・・・(2)
    と、とりあえず分数式は解消されて整式になります。

    先ず、(1)の様に表せる為には
    A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C) = s*(A*a[k+1]^2+B*a[k+1]+C)
    より、
    A*(q^2) = sA・・・・・(3)
    2Aqr+Bq = sB・・・・・(4)
    A*r^2+Br+C = sC・・・・・(5)
    であることが必要です。

    A ≠ 0とすれば、(3)より、
    s = q^2・・・・・(6)
    です。

    (6)を(4)に代入すると、
    2Aqr+Bq-(q^2)B = q*{2Ar+(1-q)B} = 0
    よって、q = 0ならrは任意の値、q ≠ 0なら
    r = (q-1)B/(2A)・・・・・(7)
    であれば良いです。

    (6)(7)を(5)に代入して見ると、
    A*{(q-1)B/(2A)}^2+B*(q-1)B/(2A)+C = (q^2)C
    ⇒ {(q-1)^2}(B^2)/(4A)+(q-1)(B^2)/(2A)+(1-q^2)C = 0
    ⇒ (q-1){(q-1)(B^2)+2(B^2)-(1+q)*4AC} = 0
    ⇒ (q-1){(q+1)(B^2)-(1+q)*4AC} = 0
    ⇒ (q-1)(q+1)(B^2-4AC) = 0

    4AC-B^2 = 0ならばqは任意の値となりますが、
    4AC-B^2 = 0となるのは、f(x)がxの1次式の平方となる場合です。
    この場合は別途考えることとして(!)、以降4AC-B^2 ≠ 0の場合のみ考えます。

    4AC-B^2 ≠ 0ならばq = ±1であれば良いです。
    q = 1ならば(7)よりr = 0です。
    q = -1ならば(7)よりr = -B/Aです。

    (2)より、
    a[k+4] = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k]
    = Ap*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)+Aq*(p*a[k+1]+q*a[k]+r)+(1-A)(q^2)a[k]+(Apr+Bp-Aqr)
    = Ap*a[k+3]+Aq*a[k+2]+(1-A)(q^2)a[k]+(Apr+Bp-Aqr)
    となりますが、上記が
    a[k+4] = p*a[k+3]+q*a[k+2]+r
    と等価になる為には、
    Ap = p・・・・・(8)
    Aq = q・・・・・(9)
    (1-A)(q^2) = 0・・・・・(10)
    Apr+Bp-Aqr = r・・・・・(11)
    となることが必要です。

    (8)(9)(10)より、A = 1が必要です。
    よって、「q = 1, r = 0」または「q = -1, r = -B」となります。

    A = 1, q = 1, r = 0の場合、(11)は
    1*p*0+Bp-1*1*0 = 0
    ⇒Bp = 0
    となり、B = 0ならばpは任意の値、B ≠ 0ならばp = 0が必要です。

    A = 1, q = -1, r = -Bの場合、(11)は
    1*p*(-B)+Bp-1*(-1)*(-B) = -B
    ⇒ 0 = 0
    となり、pは任意の値となります。

    ・・・と、ここまでのかなり荒削りな結果から、ハイポネックスさんが質問された2問を解いてみます。

    【1問目】a[1] = a[2] = 1, a[n+2] = a[n+1](a[n+1]+1)/a[n] (n≧1)
    A = 1, B = 1, C = 0なので、q = -1, r = -B = -1と取ります。
    a[3] = a[2](a[2]+1)/a[1] = 1*(1+1)/1 = 2
    a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r = p*1+(-1)*1+(-1) = p-2
    ⇒ 2 = p-2
    ⇒ p = 4
    となって、既にみずきさんによる解答の通り、a[n+2] = 4a[n+1]-a[n]-1が得られます。

    【2問目】a[1] = a[2] = 1, a[n+2] = (a[n+1]^2+1)/a[n] (n≧1)
    A = 1, B = 0, C = 1なので、q = -1, r = -B = 0と取ります。
    a[3] = (a[2]^2+1)/a[1] = (1^2+1)/1 = 2
    a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r = p*1+(-1)*1+0 = p-1
    ⇒ 2 = p-1
    ⇒ p = 3
    となって、既に私がよる解答の通り、a[n+2] = 3a[n+1]-a[n]が得られます。

    ITさんの指摘も含む、A ≠ 1の場合はこの方法では漸化式の整式化はできないのかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47925 / ResNo.9)  Re[2]: 漸化式
□投稿者/ IT 一般人(4回)-(2017/03/12(Sun) 12:01:01)
    WIZ さん。
     すごい一般化ですね。読ませていただきます。

    大学入試で出題されたということは、少なくとも出題の事例は既知の命題ということですが、

    数学、数理科学などで 出現し、使われることがあるのでしょうかね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47926 / ResNo.10)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2017/03/12(Sun) 12:12:33)
    2017/03/12(Sun) 12:39:46 編集(投稿者)

    > 「a[1]=a[2]=1」という条件も効いているのでしょうか?

    f(x) = Ax^2+Bx+C, a[n+2] = f(a[n+1])/a[n] = p*a[n+1]+q*a[n]+rにおいて、
    A = 1かつB^2-4AC ≠ 0であれば、q = -1, r = -Bと取れますし、
    pの決定はa[3] = f(a[2])/a[1] = p*a[2]-a[1]-Bより、a[2] ≠ 0であれば、
    p = {f(a[2])/a[1]+a[1]+B}/a[2]となります。

    元の漸化式の分母にa[n]が来る以上、任意の自然数nに対してa[n] ≠ 0と言えるので、
    a[1] = a[2] = 1という条件までは必要ないと思います。

    但し、漸化式を分数式から整式へ変形できるかどうかを論じているのであって、
    a[n]が全て整数となるかは度外視しています。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-9] [10-10]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47910 / 親記事)  (1/4)(3:4:5)
□投稿者/ めるかり 一般人(1回)-(2017/03/10(Fri) 14:40:24)
    座標平面上に原点O(0,0)、点A(4,0)、点B(0,3)がある。
    直交する直線2本によって△OABの面積を4等分するとき、
    これらの直線の方程式を求めよ。

    教えて下さい。
    お願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47912 / ResNo.1)  Re[1]: (1/4)(3:4:5)
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2017/03/11(Sat) 12:15:14)
    自作問題ですか?

    線分AB,線分OAと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
    3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s (1≦s≦2)… (1)
    線分OA,線分OBと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
    3x+2t^2y=6t (1≦t≦2)… (2)
    この2直線が直交するので
    3・3s^2+2t^2(4s^2-8)=0
    ∴t^2=9s^2/(16-8s^2) (→ 1≦s≦8/√41, 3√2/4≦t≦2)
    これを(2)に代入して整理すると
    (24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2) … (3)

    (1)と(3)の交点のy座標は
    {18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}
    (1)の傾きは
    3s^2/(8-4s^2)
    なので、2直線とx軸で囲まれる直角三角形の面積は
    {{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
    {3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}/2
    これが3/2でなければならないので
    {{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
    {3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}=3
    これを整理すると
    9649s^8-27392s^7-6400s^6+87552s^5-67456s^4-49152s^3+81920s^2-32768s+4096=0
    (2乗したので不適解を含む)
    数値的に解くと適解は
    s=1.190315408356102635648805458007…
    よって求める2直線はsをこの値として
    3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s

    (24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2)

    ちなみに
    2直線の交点は
    P(1.256834056326256745226150776051…,1.124846960943165497230454772467…)
    2直線とOAとの交点は
    C(0.639546147248281670517592509358…,0)
    D(3.306575622515343617176951966100…,0)
    直線とABとの交点は
    E(1.619369183287794728702389083984…,1.785473112534153953473208187011…)
    直線とOBとの交点は
    F(0,1.814566090412214061669002877310…)
    直線CEの傾きは
    1.822240391235455361214466451085…
    直線DFの傾きは
    -0.548775016078977902736900547199…
    で、検算したところ4つの領域の面積がすべて正しく1.5になっていました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47920 / ResNo.2)  Re[2]: (1/4)(3:4:5)
□投稿者/ めるかり 一般人(2回)-(2017/03/12(Sun) 10:45:15)
    数学パズルの本に、抽象的に解くと簡単(直交する直線の"存在")だけど、具体的には難しい問題として紹介されていたものです。


    こんなとんでもないことになるんですね。
    途中の8次方程式を解くなんて私には無理でした…。
    教えていただき有難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47905 / 親記事)  漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(1回)-(2017/03/07(Tue) 14:24:10)
    a[1]=1
    a[2]=1
    a[n+2]=a[n+1](a[n+1]+1)/a[n] (n≧1)
    であるとき、a[n]が自然数であること
    の証明を教えて下さい。お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■47907 / ResNo.2)  Re[2]: 漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(2回)-(2017/03/07(Tue) 20:43:42)
    有難うございます!
    a[n+2]=4a[n+1]-a[n]-1 が成り立つなんてとても気づきませんでした。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47908 / ResNo.3)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2017/03/08(Wed) 11:11:13)
    2017/03/08(Wed) 11:14:32 編集(投稿者)

    今更、横から失礼します。

    みずきさんは、もうこのスレ見てないかもしれないけど、
    私は「a[n+2] = a[n+1](a[n+1]+1)/a[n]」という漸化式から「a[n+2] = 4a[n+1]-a[n]-1」という漸化式を
    導いた過程に興味があります。
    (1)何らかの手法、アルゴリズムがある? 情報が記載されたサイトや書籍をご紹介願いたく。
    (2)出典、類題の解法からの推論で、導出過程はご存じない?
    (3)項を1, 1, 2, 6, 21, 77, 286・・・と書いていって、それを眺めていて閃いた!
    それ以外かもしれないけど、どうでしょう?

    それと、もしスレ主さんがまだ見ていたら、この問題の出典は何でしょう?
    テストや問題集の問題なら、出題者がみずきさんの解法を想定していたとは思えないのですが。
    或いは、漸化式の変形の導出過程を明記することを、出題者は期待すると思いますが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47909 / ResNo.4)  Re[2]: 漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(3回)-(2017/03/10(Fri) 09:21:27)
    今年の同志社の問題です。
    おかしげな誘導が付いていたので、もっと自然に解けないかと思って聞いたのですが…
    でもみずきさんの解答も私にはサーカス並です…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47913 / ResNo.5)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ みずき 一般人(5回)-(2017/03/11(Sat) 16:41:21)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47914 / ResNo.6)  Re[3]: 漸化式
□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2017/03/11(Sat) 16:46:10)
    No47909に返信(ハイポネックスさんの記事)
    > 今年の同志社の問題です。

    下記に同志社の問題と解答があります。(参考までに)
    http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/17/d02.html

    a[1],a[2] が他の整数値の場合は、各a[n] が整数にならない場合もあるようですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-6]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47892 / 親記事)  等比数列の問題です
□投稿者/ ふくろう 一般人(1回)-(2017/03/05(Sun) 19:33:41)
    問題:鋭角Θをなす半直線OX、OY上にそれぞれ点列A1、A2、A3、・・・・・・、およびB1、B2、B3、・・・・・を次の条件(1)、(2)、(3)を満たすようにとる。
    (1) OA1=OB1=1
    (2) 線分B1A2、B2A3、B3A4、・・・・・・・・、BnAn+1、・・・・・・・・・はすべてOX上に垂直
    (3) 線分A1B1、A2B2、A3B3、・・・・・・・・、AnBn、・・・・・・・・、は互いに平行
    このとき△AnBnAn+1の面積をSnとすると、Σ(n=1から∞)=1/3である。tanΘの値を求めよ。
    丸一日考えましたが解けません。どなたかわかりやすく教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47894 / ResNo.1)  Re[1]: 等比数列の問題です
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2017/03/05(Sun) 19:59:34)
    △A[n]B[n]A[n+1]:△B[n]A[n+1]B[n+1]=1:cosθ なので
    Σ[n=1〜∞]S[n]=△OA[1]B[1]/(1+cosθ)
    ∴(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
    これより tanθ=12/5

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47900 / ResNo.2)  Re[2]: 等比数列の問題です
□投稿者/ ふくろう 一般人(2回)-(2017/03/06(Mon) 09:56:32)
    No47894に返信(らすかるさんの記事)
    > △A[n]B[n]A[n+1]:△B[n]A[n+1]B[n+1]=1:cosθ なので
    > Σ[n=1〜∞]S[n]=△OA[1]B[1]/(1+cosθ)
    > ∴(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
    > これより tanθ=12/5
    >

    これだけではよく分かりません。私が不勉強だと重々承知しております。
    もう少し具体的に細かく説明をいただけませんか。
    ご多用のところ申し訳ありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47901 / ResNo.3)  Re[3]: 等比数列の問題です
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2017/03/06(Mon) 10:40:45)
    OB[n]cosθ=OA[n+1] なので OB[n]:OA[n+1]=1:cosθ
    △OA[n]B[n]∽△OA[n+1]B[n+1] なので A[n]B[n]:A[n+1]B[n+1]=1:cosθ
    A[n]B[n]とA[n+1]B[n+1]の間隔をH[n]とすると
    △A[n]B[n]A[n+1]:△B[n]A[n+1]B[n+1]
    =A[n]B[n]H[n]/2:A[n+1]B[n+1]H[n]/2
    =A[n]B[n]:A[n+1]B[n+1]
    =1:cosθ

    これより
    △A[n]B[n]A[n+1]={1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
    なので
    Σ[n=1〜∞]S[n]
    =Σ[n=1〜∞]△A[n]B[n]A[n+1]
    =Σ[n=1〜∞]{1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
    ={1/(1+cosθ)}Σ[n=1〜∞](台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
    ={1/(1+cosθ)}△OA[1]B[1]

    Σ[n=1〜∞]S[n]=1/3, △OA[1]B[1]=OA[1]・OB[1]・sinθ/2=sinθ/2 なので
    (sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
    sinθ/2=(1+cosθ)/3
    3sinθ=2(1+cosθ)
    (3sinθ)^2={2(1+cosθ)}^2
    9(sinθ)^2=4(1+cosθ)^2
    9{1-(cosθ)^2}=4{1+2cosθ+(cosθ)^2}
    13(cosθ)^2+8cosθ-5=0
    (13cosθ-5)(cosθ+1)=0
    cosθ=5/13,-1
    θは鋭角なので
    cosθ=5/13
    (tanθ)^2=1/(cosθ)^2-1=144/25=(12/5)^2
    θは鋭角なので
    tanθ=12/5

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47902 / ResNo.4)  Re[4]: 等比数列の問題です
□投稿者/ ・スモゑソス・ス・、 一般人(1回)-(2017/03/06(Mon) 16:02:14)
    問題が解けました。有難うございました。
    感謝 感謝です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-4]



■記事リスト / ▲上のスレッド
■47891 / 親記事)  3次方程式
□投稿者/ ramuniku 一般人(1回)-(2017/03/05(Sun) 15:45:19)
    f(x)はxの実数係数3次多項式で、以下の条件を満たしている。
    ・αがf(x)=0の解ならば、f(α^2-2)=0である。
    ・ある有理数βが存在して、f(β)=0である。
    このときf(x)を求めたい。(x^3の係数は1としてよい)

    お願いします!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■47895 / ResNo.2)  Re[1]: 3次方程式
□投稿者/ みずき 一般人(2回)-(2017/03/05(Sun) 20:17:05)
    横から失礼します。

    >>らすかるさん

    例えば f(x)=(x+2)(x-2)^2 も条件を満たしませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47896 / ResNo.3)  Re[2]: 3次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2017/03/05(Sun) 20:28:22)
    2017/03/05(Sun) 20:34:37 編集(投稿者)

    あ、そうですね。気付きませんでした。御指摘ありがとうございます。
    上の回答を直接修正しましたので、確認頂ければ幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47897 / ResNo.4)  Re[3]: 3次方程式
□投稿者/ ramuniku 一般人(2回)-(2017/03/05(Sun) 22:28:09)
    有難うございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47898 / ResNo.5)  Re[1]: 3次方程式
□投稿者/ みずき 一般人(3回)-(2017/03/06(Mon) 00:09:19)
    >上の回答を直接修正しましたので、確認頂ければ幸いです。

    私の計算では、条件を満たすf(x)は15個となりました。
    らすかるさんが挙げられた12個の他に

    (x+1)(x-1)(x+√3)
    (x+1)(x-1)(x-√3)
    x(x-2)(x+2)

    も条件を満たすと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47899 / ResNo.6)  Re[2]: 3次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2017/03/06(Mon) 00:27:48)
    確かにおっしゃる通りですね。
    考え落としが多すぎました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-6]






Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター