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■53044 / 親記事) 　対数の不等式
□投稿者/ Veno 一般人(1回)-(2026/02/21(Sat) 03:19:49)
    |t|<1のとき
    (log(1+t))^2+(log(1-t))^2+2log(1-t^2)≧0
    の証明を教えて下さい
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■53042 / 親記事) 　整数から実数への写像について
□投稿者/ glass 一般人(1回)-(2026/02/20(Fri) 21:32:27)
    整数から実数への写像で全単射であるものは存在しないと習った記憶がありますが、
    全射であるものは存在するのでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■53043 / ResNo.1) 　Re[1]: 整数から実数への写像について
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2026/02/20(Fri) 21:55:47)
    存在しません。
    整数は可算、実数は非可算なのですべての実数に整数を対応させることはできません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■53037 / 親記事) 　方程式と不等式
□投稿者/ スエーデン 一般人(1回)-(2026/02/17(Tue) 18:27:17)
    nを2以上の整数とし、xを
    x+x^n=1
    を満たす正の数としたとき、
    x^(n-1)-x^n<1/(n+1)
    が成り立つことを示して下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53040 / ResNo.1) 　Re[1]: 方程式と不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2026/02/18(Wed) 14:29:19)
    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

    0 < x^n = 1-x < 1 です。つまり 0 < x < 1 です。

    f(t) = t^(n-1)-t^n とおくと、
    f'(t) = (n-1)(t^(n-2))-n(t^(n-1)) = (t^(n-2))((n-1)-nt)
    となりますので、
    0 < t < (n-1)/n なら f'(t) > 0 なので f(t) は増加
    t = (n-1)/n なら f'(t) = 0 なので f(t) は極大
    (n-1)/n < t < 1 なら f'(t) < 0 なので f(t) は減少

    よって、0 < t < 1 なら
    f(t) ≦ f((n-1)/n) = {((n-1)/n)^(n-1)}(1-(n-1)/n) = {(n-1)^(n-1)}/(n^n)
    となります。

    {(n-1)^(n-1)}/(n^n) の逆数を考えると、
    (n^n)/{(n-1)^(n-1)} = n{(n/(n-1))^(n-1)} = n{(1+1/(n-1))^(n-1)}
    二項定理により
    n{(1+1/(n-1))^(n-1)} ≧ n{1+(n-1)(1/(n-1))} = 2n
    つまり
    {(n-1)^(n-1)}/(n^n) ≦ 1/(2n) < 1/(n+1)

    0 < x < 1 ですから、
    f(x) ≦ {(n-1)^(n-1)}/(n^n) < 1/(n+1)
    となり題意は成立します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53041 / ResNo.2) 　Re[2]: 方程式と不等式
□投稿者/ スエーデン 一般人(2回)-(2026/02/18(Wed) 14:44:11)
    ありがとうございました。
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■53034 / 親記事) 　平方数ではない
□投稿者/ 二条 一般人(1回)-(2026/02/17(Tue) 00:15:43)
    正の整数a,b,cがどの2つも互いに素のとき
    (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
    は平方数ではないことの証明を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53035 / ResNo.1) 　Re[1]: 平方数ではない
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2026/02/17(Tue) 11:05:47)
    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

    平方数の法4での値は、偶数なら 0^2 ≡ 0, 2^2 ≡ 4 ≡ 0 (mod 4)
    奇数なら 1^2 ≡ 1, 3^2 ≡ 9 ≡ 1 (mod 4) となります。

    題意より以下の2つの場合に分けて考えます。
    (1) 3個とも奇数の場合
    a^2+b^2 ≡ 1+1 ≡ 2 (mod 4) 同様に b^2+c^2 ≡ c^2+a^2 ≡ 2 (mod 4) となりますので、
    a^2+b^2, b^2+c^2, c^2+a^2 は2の1乗でのみで割り切れるといえます。

    よって、(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) は2の3乗で割り切れますが、
    2の4以上の偶数乗では割り切れないので平方数とはなり得ません。

    (2) 1個が偶数で、他の2個が奇数の場合
    aとbを奇数、cを偶数と仮定しても一般性は失われません。
    a^2+b^2 ≡ 1+1 ≡ 2 (mod 4), b^2+c^2 ≡ c^2+a^2 ≡ 1+0 ≡ 1 (mod 4) となりますので、
    (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) は2の1乗で割り切れますが、
    2の偶数乗では割り切れないので平方数とはなり得ません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53036 / ResNo.2) 　Re[2]: 平方数ではない
□投稿者/ 二条 一般人(2回)-(2026/02/17(Tue) 12:38:00)
    なるほど！！
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■53031 / 親記事) 　極限
□投稿者/ 鯖 一般人(1回)-(2026/01/31(Sat) 18:59:25)
    lim[n→∞]∫[1→2](cos(nθ)/θ)^2dθ を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■53033 / ResNo.1) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2026/02/15(Sun) 11:19:31)
    半角の公式と部分積分により
    ∫[1→2]{(cos(nθ)/θ)^2}dθ=(1/2)∫[1→2]{1+cos(2nθ)}/θ^2}dθ
    =(1/2)∫[1→2]dθ/θ^2+(1/2)∫[1→2]{{cos(2nθ)}/θ^2}dθ
    =1/4+(1/2)∫[1→2]{{cos(2nθ)}/θ^2}dθ
    =1/4+(1/2)[{sin(2nθ)}/(2nθ^2)][1→2]+{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ
    =1/4+{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ (A)

    ここでn→∞を考えるのでn＞0と考えてもよく、また
    -1≦sin(2nθ)≦1
    なので、
    -{1/(2n)}∫[1→2]dθ/θ^3≦{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ≦{1/(2n)}∫[1→2]dθ/θ^3
    ∴-3/(16n)≦{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ≦3/(16n) (B)

    (A)(B)から、はさみうちの原理により
    (与式)=1/4
    となります。
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