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整数問題(4) |

期待値(2) |

定積分(4) |

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lim[θ→0](θ/sinθ)(2) |

台形(1) |

設問ミスですか？それとも解けますか？(1) |

ζ関数(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(0) |

確率(2) |

約数の個数(5) |

52545の「約数の個数」の式変形について(4) |

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約数(0) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

i^iについて(2) |

(x+1)^n-x^n(1) |

■記事リスト / ▼下のスレッド

■52686 / 親記事)

　整数問題

□投稿者/ 三毛猫一般人(4回)-(2025/02/14(Fri) 00:19:12)

自然数a,bに対して(a^3+b^3)/(a^2*b^2+1)が自然数になるとき、
必ず3乗数になるらしいのですが、その証明はどうやるのでしょうか?

(a^2+b^2)/(ab+1)が自然数になるとき平方数になるというのはIMO過去問らしく、
解説はたくさん見つけられるのですが・・・。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52687 / ResNo.1)

　Re[1]: 整数問題

□投稿者/ 検索しただけの人一般人(1回)-(2025/02/14(Fri) 04:08:22)
http://artofproblemsolving.com/community/c6h349211p1879023

内容は確認してないけど…

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52690 / ResNo.2)

　Re[2]: 整数問題

□投稿者/ 三毛猫一般人(5回)-(2025/02/14(Fri) 21:10:29)

リンク先教えて頂きありがとうございます。
ただ、一部が書かれていないのか、表示されてないのか分かりませんが、
証明の全貌が見えません。
一応もう少し、リンク先の書き込みを参考に考えてみます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52693 / ResNo.3)

　Re[3]: 整数問題

□投稿者/ 検索しただけの人一般人(3回)-(2025/02/15(Sat) 07:52:32)

なぜ表示されないのかよく分からないけど、
考えてみると、なんとも便利なことに、
リンク先の掲示板からこの掲示板へ
丸ごとコピペできますね。

We have $2$ a = b, \; k=\displaystyle{\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}} \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow a=b=k=1=1^n$
Now assume that $2$a,b,k,n \in \mathbb{N}^+, \; a<b,\;n>1,\; a^n-k=(ka^{n-1}-b)b^{n-1}$
(1) If $2$k > a^n$ then $2$k > k-a^n = b^{n-1} (b-ka^{n-1}) \ge b^{n-1}$
$2$\quad \quad$ thus $2$b > ka^{n-1} \ge k > b^{n-1}$ . which cannot happen.
(2) If $2$k < a^n$ , then $2$ka^{n-1}-b = \displaystyle{\frac{a^n-k}{b^{n-1}}} < a$ , $2$ka^{n-1} < a+b$ , $2$(k-1)a^{n-1} < a+b - a^{n-1} \le b$
Thus $2$k > 1 \Rightarrow a^{n-1} \le (k-1)a^{n-1} < b \Rightarrow a^n-k = (ka^{n-1}-b)b^{n-1} \ge b^{n-1} >$ $2$ (a^{n-1})^{n-1} \ge a^n$ ,
that's wrong and so $2$k=1=1^n$
(3) If $2$k = a^n$ then $2$b=ka^{n-1}=a^{2n-1} \; b^n = a^{2n^2-n} = a^{2n(n-1) + n}$ hence $2$\displaystyle{\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}=\frac{a^n(1+a^{2n(n-1)})}{(a^{2n})^{n-1}+1}} = a^n$

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■52694 / ResNo.4)

　Re[4]: 整数問題

□投稿者/ 三毛猫一般人(6回)-(2025/02/15(Sat) 20:37:17)

再度対応ありがとうございます。
この掲示板にコピペして頂いた方も私の環境ではTeXが文字化けしてしまい読めませんでしたが、
ネットのTeXビューアに張り付けてなんとか読むことができました。
n≧3の場合、こんな初等的な方法で証明できるとは驚きです。
まだ完全に呑み込めていない部分もあるので精読したいと思います。

解決済み!

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-4]

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■52688 / 親記事)

　期待値

□投稿者/ ランダム一般人(1回)-(2025/02/14(Fri) 08:58:06)

2n+1枚のカードがあり、各カードにはそれぞれ異なる数字(1から2n+1まで)が書いてあります。
ここからランダムに3枚を取り出します。各カードの数の差(の絶対値)の最小値を得点とします。
たとえば、3枚が4,9,10なら、得点は1点です。さて、得点の期待値はいくらでしょう？

この問題を教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52689 / ResNo.1)

　Re[1]: 期待値

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2025/02/14(Fri) 19:57:06)

取り出し方は全部で(2n+1)C3通り
このうち、例えば「隣り合う数字がないような取り出し方」は、
1～2n-1が書かれた2n-1枚のカードから3枚選んで
最も大きい数字に2を足して2番目に大きい数字に1を足せばよいので、
(2n-1)C3通り
これは「得点が2点以上になる取り出し方」であり、同様にして
得点が3点以上になる取り出し方は(2n-3)C3通り、
得点が4点以上になる取り出し方は(2n-5)C3通り、・・・
従って
得点が1点となる取り出し方は
(2n+1)C3-(2n-1)C3=(2n-1)^2通り
得点が2点となる取り出し方は
(2n-1)C3-(2n-3)C3=(2n-3)^2通り
得点が3点となる取り出し方は
(2n-3)C3-(2n-5)C3=(2n-5)^2通り
・・・
のようになるので、求める期待値は
Σ[k=1～n]k*(2n-(2k-1))^2/(2n+1)C3=(n+1)(2n^2+2n-1)/{2(2n+1)(2n-1)}

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■52691 / ResNo.2)

　Re[2]: 期待値

□投稿者/ ランダム一般人(2回)-(2025/02/15(Sat) 06:55:15)

ありがとうございます。
とってもわかりやすかったです！

解決済み!

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■52681 / 親記事)

　定積分

□投稿者/ 三毛猫一般人(1回)-(2025/02/12(Wed) 19:22:37)