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■48900 / 親記事)  たけしのコマ大数学科の問題・・・
□投稿者/ 数学科非常勤講師 一般人(1回)-(2018/11/20(Tue) 23:28:07)
    もし過去レスにあればすみません・・・。
    はるか昔に「たけしのコマ大数学科」という番組で放送されていた問題で,確かテーマは「角度」だったかと思います。その問題とは・・・

    「最小の内角が120°の多角形がある。それに続く内角がその前の角より5°ずつ大きい多角形を作るとき、その図形は何角形になるか?」

    という問題でした。

    求める多角形をn角形とすると,多角形の内角の和の公式,等差数列の和の公式を用いて方程式を立て,解を求めると,n=9,16となりますが,問題の答えは「九角形と十五角形」となります。十五角形となる理由は,5°ずつ角度が増えていくなかで,175°→180°→185°となる部分が直線になり,角度ができないということでした。
    しかし,よくよく考えると180°の部分が直線になるということは,題意にある「5°ずつ大きくなる」という条件を満たしておらず,十五角形はこの問題の答えから除外すべきということになるのではないかと思いました。
    この問題は「中村亨」先生という方がご担当されていた問題で,TVで放映されるくらいなのできちんと精査され,題意を満たさないような問題ではないのではないか?という疑問も残るところであります。

    そこで,詳しい方々の意見を頂戴したく,今回数年ぶりにレスさせて頂きました。
    たくさんの方からの見解をお聞かせ頂けたらと思います。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48901 / ResNo.1)  Re[1]: たけしのコマ大数学科の問題・・・
□投稿者/ らすかる 一般人(35回)-(2018/11/21(Wed) 01:29:08)
    私は「十五角形はこの問題の答えから除外すべき」だと思います。
    175°に続く内角は185°であり、10°大きいですから
    条件を満たしません。
    (辺の途中に頂点はありませんので、「内角」はありません。)
    従って答えは九角形だけだと思います。

    # もし辺の途中の180°を「内角」と言うのであれば、
    # 辺の途中に頂点があると考えているわけですから
    # 辺(頂点)は16個で16角形となるはずであり、
    # 15角形ならば「180°」を「内角」と数えていませんので
    # 「5°ずつ大きい」という条件を満たしません。
    # よって、「16角形」を答えに入れるのはまだ理解できますが、
    # 「15角形」はどう考えても矛盾しています。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48893 / 親記事)  整数の個数と極限
□投稿者/ ボンボニエール 一般人(1回)-(2018/11/17(Sat) 19:08:40)
    nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
    (C) 0≦k<n 
    (D) k/n≦1/m<(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
    条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
    lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))
    を求めよ。

    この問題を教えて下さい。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48896 / ResNo.1)  Re[1]: 整数の個数と極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(15回)-(2018/11/18(Sun) 21:25:42)
    nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
    (C) 0≦k<n 
    (D) k/n≦1/m<(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
    条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
    k<nだから
    k+1≦nだから
    k/n≦1/m<(k+1)/n≦1だから
    k/n≦1/m<1となる最大の1/mは1/2だから
    T[n]は
    k/n≦1/2となるkの個数となる
    k/n≦1/2となるkの最大値は
    k≦n/2となるkの最大値で
    n/2の整数部[n/2]=int[n/2]だから
    T[n]=[n/2]+1
    [n/2]≦n/2<[n/2]+1
    n/2<[n/2]+1≦n/2+1=(n+2)/2
    n/2<T[n]≦(n+2)/2
    (log(n/2))/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦(log((n+2)/2))/(log(n))
    {log(n)-log(2)}/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦{log(n)+log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    1-log(2)/log(n)≦(log(T[n]))/(log(n))≦1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    lim[n→∞]1-log(2)/log(n)≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦lim[n→∞]1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    1≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦1

    lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))=1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48897 / ResNo.2)  Re[1]: 整数の個数と極限
□投稿者/ らすかる 一般人(33回)-(2018/11/18(Sun) 22:25:44)
    (D)を逆数にするとn/(k+1)<m≦n/k
    k≦√(n+1/4)-1/2のときn/k-n/(k+1)≧1だから
    k≦√(n+1/4)-1/2を満たすkに対してはmが必ず存在し、
    これは[√(n+1/4)-1/2]+1個ある(+1はk=0の分)。
    k>√(n+1/4)-1/2で存在するmは[n/{√(n+1/4)-1/2}]-a個
    (aは√(n+1/4)-1/2が整数のとき1、そうでないとき2)
    なので、T[n]=[√(n+1/4)-1/2]+1+[n/{√(n+1/4)-1/2}]-a
    √n-2<[√(n+1/4)-1/2]<√n
    √n-1<[n/{√(n+1/4)-1/2}]<√n+1
    なので2√n-4<T[n]<2√n+1
    従って
    lim[n→∞]log(2√n-4)/log(n)≦lim[n→∞]log(T[n])/log(n)≦lim[n→∞]log(2√n+1)/log(n)
    から
    lim[n→∞]log(T[n])/log(n)=1/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48898 / ResNo.3)  Re[2]: 整数の個数と極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(16回)-(2018/11/19(Mon) 19:29:13)
    求めるのはmの個数ではなく
    kの個数です
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48899 / ResNo.4)  Re[3]: 整数の個数と極限
□投稿者/ らすかる 一般人(34回)-(2018/11/19(Mon) 21:19:36)
    > 求めるのはmの個数ではなくkの個数です
    私はkの個数を求めています。
    mの個数は無限個なので意味がないですね。

    例えばn=10000のとき
    m=2のときk=5000は条件を満たす
    m=3のときk=3333は条件を満たす
    m=4のときk=2500は条件を満たす
    ・・・
    m=100のときk=100は条件を満たす
    となり、k≧100で条件を満たすkは99個です。
    (2≦m≦100に対して、条件を満たすkは重複しません。)
    # m≦100では「条件を満たすmの個数」=「条件を満たすkの個数」なので
    # その部分から「mの個数を求めている」と感じられたのでしょうか。

    そしてk<100に対しては必ず条件を満たすmが存在しますので、
    k<100で条件を満たすのはk=0〜99の100個です。
    従ってn=10000のときはT[n]=99+100=199となります。
    この例のように、nが大きい時、T[n]は約2√nになりますので、
    求める極限値は1/2となります。

    上の解答は、この例をもう少し厳密に書いたものです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48875 / 親記事)  ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(3回)-(2018/10/27(Sat) 18:37:44)
    各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
    (2)四角形APRQの面積をtで表せ。
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■48879 / ResNo.3)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(5回)-(2018/10/30(Tue) 20:40:32)
    すみません。
    (1)
    基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
    定める例
    点OとOA↑,OB↑,OD↑
    点AとAO↑,AB↑,AD↑
    四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

    AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

    AR↑を(解答者任意に定める文字3つを使って)2つの方法で基本ベクトルで表す
    表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
    表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

    同じベクトルの基本ベクトルによる表し方は同じ基本ベクトルの係数が同じになるから
    連立方程式(3つの方程式)ができるので、解答者が定めた3つの文字が t で表せる

    表し方2を t で書いて終了

    (2) うまいやり方が思いつかなかったので地道に

    一般論 △ABCの面積は、AB↑,AC↑の大きさと内積が計算できれば求められます
    (計算が面倒)

    この問題 (1)で考えた基本ベクトルの和で各点は表せるのでベクトルの大きさと内積は計算できます

    解き方1(面倒な計算が2回)
    四角形を2つの三角形に分解して面積を合計

    解き方2(面倒な計算が1回)
    (1)の結果よりAP'↑=2*AP↑ となる点P'を考えると
    四角形APRQの面積は△AP'Q の面積から△PP'Rの面積を引けば求められて
    △AP'Qと△PP'Rの面積比が t を使った比で表せることから△AP'Qの面積を求めて比を使って四角形の面積を計算
    この通りにすべて解いていただけないでしょうか?
    教えていただけると幸いです。本当にすみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48888 / ResNo.4)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(6回)-(2018/11/11(Sun) 19:32:58)
    (2)の解き方2を教えていただければと思います。無理でしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48891 / ResNo.5)  Re[3]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(14回)-(2018/11/14(Wed) 21:47:43)
    AP'=2APとなる点P'をとると
    |△AP'Q|:|△PP'Q|=2:1
    |△PP'Q|:|△PP'R|=1+t:1
    だから
    |△AP'Q|:|△PP'R|=2(1+t):1
    だから
    |△PP'R|=[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
    だから
    |□APRQ|
    =|△AP'Q|-|△PP'R|
    =|△AP'Q|-[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
    =[(2t+1)/{2(1+t)}]|△AP'Q|

    |△AP'Q|
    =(1/2)|AP'||AQ|sin∠PAQ
    =|AP||AQ|sin∠PAQ
    =√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]

    △OABは辺長1の正3角形で
    APはAからOBへの垂直2等分線だから
    |AP|=(√3)/2
    |AP|^2=3/4

    △OADは辺長1の正3角形で
    ∠AOQ=∠AOD=60°
    |OA|=1
    |OQ|=t|OD|
    だから
    |AQ|^2
    =|OA|^2+|OQ|^2-2|OA||OQ|cos∠AOQ
    =t^2-t+1
    だから
    |AP|^2|AQ|^2=3(t^2-t+1)/4

    (AP,AQ)
    =((1/2)OB-OA,tOD-OA)
    =(t/2)(OB,OD)-t(OA,OD)-(1/2)(OB,OA)+|OA|^2
    =(t/2)|OB||OD|cos∠BOD-t|OA||OD|cos∠AOD-(1/2)|OB||OA|cos∠AOB+1
    =(t/2)|OB||OD|cos90°-t|OA||OD|cos60°-(1/2)|OB||OA|cos60°+1
    =-(t/2)-(1/4)+1
    =3/4-t/2
    =(3-2t)/4
    だから
    (AP,AQ)^2=(3-2t)^2/16=(4t^2-12t+9)/16
    だから
    |AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2
    =3(t^2-t+1)/4-(4t^2-12t+9)/16
    =(8t^2+3)/16

    |△AP'Q|
    =√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
    ={√(8t^2+3)}/4

    |□APRQ|
    =[(2t+1)/{2(1+t)}]|△AP'Q|
    =[(2t+1)/{2(1+t)}]√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
    =[(2t+1)√(8t^2+3)]/{8(1+t)}
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48894 / ResNo.6)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(7回)-(2018/11/17(Sat) 20:58:30)
    ありがとうございます。
    (2)の解き方2を次の5つを使って示していただきたいのですが。本当にすみません。
    次の5つを示してください

    @(一般論)△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式

    A(この問題について)AQ↑、AP↑を
    HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
    点Hを正方形ABCDの対角線の交点として

    B(この問題)点Rは線分QP'をどのように内分しているか
    点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として

    C(この問題)△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式(Sとtで)

    D(この問題)(1)の答
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48895 / ResNo.7)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ 菩菩紙御炉 一般人(1回)-(2018/11/17(Sat) 22:01:02)
    No48894に返信(コルムさんの記事)
    > ありがとうございます。
    > (2)の解き方2を次の5つを使って示していただきたいのですが。本当にすみません。
    > 次の5つを示してください
    >
    > @(一般論)△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式
    >
    > A(この問題について)AQ↑、AP↑を
    > HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
    > 点Hを正方形ABCDの対角線の交点として
    >
    > B(この問題)点Rは線分QP'をどのように内分しているか
    > 点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として
    >
    > C(この問題)△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式(Sとtで)
    >
    > D(この問題)(1)の答
    > 教えていただけると幸いです。

    いくら何でもこれは

    ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/10825711.html

    で誠実に回答されている方に失礼だろう。

    ttps://6900.teacup.com/cgu135/bbs

    で 'ベクトルの割り算' でもしていてください(笑)



引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48889 / 親記事)  数列
□投稿者/ いらが 一般人(1回)-(2018/11/14(Wed) 11:54:47)
    数列a[n](n=1,2,3,...)を
    a[n]=n!*(Σ[k=n+1,∞]1/k!)
    と定めると、
    a[n]>a[n+1] (n=1,2,3,...)
    であることの証明を
    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48890 / ResNo.1)  Re[1]: 数列
□投稿者/ らすかる 一般人(32回)-(2018/11/14(Wed) 15:49:21)
    a[n]-a[n+1]
    ={n!Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)!Σ[k=n+2〜∞]1/k!}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    >n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=1〜∞]1/{(n+1)!(n+2)^k}}}
    ={n!/(n+1)!}{1-n{Σ[k=1〜∞]1/(n+2)^k}}
    ={1/(n+1)}{1-n/(n+1)}
    ={1/(n+1)}{1/(n+1)}
    =1/(n+1)^2
    >0
    なので
    a[n]>a[n+1]

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48892 / ResNo.2)  Re[2]: 数列
□投稿者/ いらが 一般人(2回)-(2018/11/15(Thu) 10:23:52)
    有り難うございます。
    大変助かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48850 / 親記事)  極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)
    x,y,zは0≦x,y,z<2πをみたす実数で、さらに
    数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
    n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48878 / ResNo.2)  Re[2]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)
    どういうことでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48880 / ResNo.3)  Re[3]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)
    x=0
    y=0
    z=0
    とすると
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
    cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
    lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
    sinnx+sinny+sinnzは0に収束する

    x=0
    y=0
    z=0


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48882 / ResNo.4)  Re[4]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
    sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
    が収束するならば、
    x=y=z=0である

    ことを示していただけませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48883 / ResNo.5)  Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)
    x,y,zがどんな値であっても、
    nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
    いくらでも3に近くすることができるから、
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
    よってx=y=z=0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48887 / ResNo.6)  Re[1]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1

    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
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