| ■53032 / ResNo.1) |
Re[1]: ガウス記号
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□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2026/02/11(Wed) 17:21:48)
 | べき乗演算子^及び平方根関数√は四則演算子より優先度が高いものとします。
「[x]はxの整数部分、{x}は小数部分を表しています。」では定義が曖昧です。
しかし、タイトルが「ガウス記号」となっている為、以下の定義と解釈して回答します。
[x] := {実数xを超えない最大の整数}
{x} := x-[x] つまり 0 ≦ {x} < 1 となります。
# [-1.2] = -2, {-1.2} = 0.8 となるなど x < 0 の場合は注意が必要です。
# とは言っても、本質問では x < 0 となることはないようなので取り越し苦労でしたが。
(x-1)(a-[x]) > [x]{x}
⇒ ([x]+{x}-1)(a-[x]) > [x]{x}
⇒ a[x]+a{x}-a-[x]^2-[x]{x}+[x] > [x]{x}
⇒ 0 > [x]^2+(2{x}-a-1)[x]+(a-a{x})
上記を[x]に関する2次不等式と見なし、[x]の範囲を求めると、
[x] = {-(2{x}-a-1)±√((2{x}-a-1)^2-4(a-a{x}))}/2
= {a+1-2{x}±√((4{x}^2+a^2+1-4a{x}-4{x}+2a)+(4a{x}-4a)}/2
= {a+1-2{x}±√((4{x}^2-4{x}+1)+(a^2-2a)}/2
= {a+1-2{x}±√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
よって、
{a+1-2{x}-√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2 < [x] < {a+1-2{x}+√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
⇒ {a+1-√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2 < [x]+{x} = x < {a+1+√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
となります。
(下界) := {a+1-√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
(上界) := {a+1+√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
とおきます。
ここで、
a^2-2a+1 = (a-1)^2
= {(1/2)(√n+1/√n)^2-1}^2
= {(1/2)(n+2+1/n)-1}^2
= {(1/2)(n+1/n)}^2
a^2-2a = (1/4)(n+1/n)^2-1
= (1/4)(n^2+2+1/n^2)-1
= (1/4)(n^2-2+1/n^2)
= {(1/2)(n-1/n)}^2
a+1 = (1/2)(n+2+1/n)+1
= (1/2)(n+1/n)+2
更に、
-1 ≦ 2{x}-1 < 1
⇒ 0 ≦ (2{x}-1)^2 ≦ 1
⇒ a^2-2a ≦ a^2-2a+(2{x}-1)^2 ≦ a^2-2a+1
⇒ (1/4)(n-1/n)^2 ≦ a^2-2a+(2{x}-1)^2 ≦ (1/4)(n+1/n)^2
⇒ (1/2)(n-1/n) ≦ √(a^2-2a+(2{x}-1)^2) ≦ (1/2)(n+1/n)
となりますので、
{(1/2)(n+1/n)+2-(1/2)(n+1/n)}/2 ≦ (下界) ≦ {(1/2)(n+1/n)+2-(1/2)(n-1/n)}/2
⇒ 1 ≦ (下界) ≦ (2+1/n)/2
⇒ 1 = [1] ≦ [(下界)] ≦ [1+1/(2n)] = 1
{(1/2)(n+1/n)+2+(1/2)(n-1/n)}/2 ≦ (上界) ≦ {(1/2)(n+1/n)+2+(1/2)(n+1/n)}/2
⇒ (2+n)/2 ≦ (上界) ≦ (2+n+1/n)/2 = a
⇒ [1+n/2] ≦ [(上界)] ≦ [1+(n+1/n)/2] = [1+n/2]
# n/2で0.5の端数が出る可能性ががあるが、n ≧ 3 より (1/n)/2 ≦ 1/6 である為
# {(n+1/n)/2} < 1 となります。
よって、
1 = [(下界)] ≦ [x] ≦ [(上界)] = [1+(n+1/n)/2]
⇒ 1 < x < 1+(n+1/n)/2 = a
# 最後の方はあまり自信が無いので、識者の方のツッコミをお願いします!
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極限(0)