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■52758 / 親記事) 　余り
□投稿者/ リトアニア 一般人(1回)-(2025/03/17(Mon) 09:49:15)
    整数a,bは(1+2√(-3))^25=a+b√(-3)を満たすものとします。
    aとbを5で割った余りを手計算で求められますか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52774 / ResNo.1) 　Re[1]: 余り
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2025/03/18(Tue) 20:19:26)
    (1+2√(-3))^2=-1-√(-3)(mod5)
    (1+2√(-3))^3=2√(-3)(mod5)
    (1+2√(-3))^6=-2(mod5)

    a+b√(-3)
    =(1+2√(-3))^(25)
    ={(1+2√-3)^6}^4(1+2√(-3))
    =(-2)^4(1+2√(-3))
    =1+2√(-3)(mod5)

    aを5で割った余りは1
    bを5で割った余りは2

594×536 => 250×225

m2025031709.jpg/38KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52784 / ResNo.2) 　Re[2]: 余り
□投稿者/ リトアニア 一般人(2回)-(2025/03/20(Thu) 07:55:06)
    すごい…！
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52702 / 親記事) 　フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(1回)-(2025/03/04(Tue) 13:39:28)
    ※X^n+Y^n=Z^nのnは、4または奇素数の倍数なので、4と奇素数の場合を考える。　

    ※AB=CDが成り立つならば、A=kCのとき、B=D/kとなる。(A,B,C,Dは式)



    n=4のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

    X^4+Y^4=Z^4をy^4=(x+1)^4-x^4…(1)とおく。(y,xは有理数)

    (1)を(y-1)(y^3+y^2+y+1)=4(x^3+(3/2)x^2+x)…(2)とおく。

    (2)は(y-1)=4のとき、xに4および、6を代入しても、成り立たない。

    よって、(y-1)=k4のとき、(y^3+y^2+y+1)=(x^3+(3/2)x^2+x)/kとならない。

    ∴n=4のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。



    nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

    X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)

    (1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。

    (2)は(y-1)=nのとき、左辺は奇数、右辺は偶数となるので、成り立たない。

    よって、(y-1)=knのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)/kとならない。

    ∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス65件(ResNo.61-65 表示)]
■52778 / ResNo.61) 　Re[28]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(43回)-(2025/03/19(Wed) 15:50:02)
    n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
    X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
    (2)は(y-1)=3のとき、21≠(x^2+x)となる。
    よって、(y-1)(y^2+y+1)≠k3(x^2+x)/k…(3)となる。
    (3)は(y-1)=k3のとき、(y^2+y+1)≠(x^2+x)/kとなる。
    ∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52779 / ResNo.62) 　Re[29]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(44回)-(2025/03/19(Wed) 15:50:42)
    nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
    X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
    (2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)≠(x^(n-1)+…+x)となる。
    よって、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)≠kn(x^(n-1)+…+x)/k…(3)となる。
    (3)は(y-1)=knのとき、(y^(n-1)+…+y+1)≠(x^(n-1)+…+x)/kとなる。
    ∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52781 / ResNo.63) 　Re[5]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(47回)-(2025/03/19(Wed) 23:19:20)
    n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
    X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
    (2)は(y-1)=2のとき、4=xとなる。
    また、(y-1)(y+1)=k2x/k…(3)となる。
    (3)は(y-1)=k2のとき、(y+1)=x/kとなる。
    ∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52782 / ResNo.64) 　Re[28]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(48回)-(2025/03/19(Wed) 23:20:43)
    n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
    X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
    (2)は(y-1)=3のとき、21≠(x^2+x)となる。
    また、(y-1)(y^2+y+1)≠k3(x^2+x)/k…(3)となる。
    (3)は(y-1)=k3のとき、(y^2+y+1)≠(x^2+x)/kとなる。
    ∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52783 / ResNo.65) 　Re[29]: フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 与作 一般人(49回)-(2025/03/19(Wed) 23:21:48)
    nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
    X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
    (1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
    (2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)≠(x^(n-1)+…+x)となる。
    また、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)≠kn(x^(n-1)+…+x)/k…(3)となる。
    (3)は(y-1)=knのとき、(y^(n-1)+…+y+1)≠(x^(n-1)+…+x)/kとなる。
    ∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52759 / 親記事) 　有限小数
□投稿者/ 小野寺 一般人(1回)-(2025/03/17(Mon) 10:32:24)
    10進法で有限小数となる有理数全体はネーター環ですか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52780 / ResNo.1) 　Re[1]: 有限小数
□投稿者/ muturajcp 一般人(14回)-(2025/03/19(Wed) 19:49:52)
    R=[10進法で有限小数となる有理数全体]
    IをRのイデアル
    Iの生成元を
    x∈I
    y∈I
    とすると
    x=a/10^k
    y=b/10^k
    となる整数a,b,kがある
    aとbの最大公約数dが存在して
    ma+nb=d　となるような整数m,nがある
    ↓両辺を10^kで割ると
    ma/10^k+nb/10^k=d/10^k
    ↓x=a/10^k,y=b/10^kだから
    mx+ny=d/10^k
    ∴
    I=(d)は単項イデアルだから
    R=[10進法で有限小数となる有理数全体]
    は
    単項イデアル整域だから
    ネーター環である
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52772 / 親記事) 　klog(1+1/k) < 1を証明する
□投稿者/ 星は昴 一般人(3回)-(2025/03/18(Tue) 17:49:52)
    　kを自然数とするとき

    　　klog(1+1/k) < 1 ……※

    を証明する。

    　　(1+1/k) > 1
    　　log(1+1/k) > log(1) = 0
    　　klog(1+1/k) > 0

    　ここまではわかるのですが※がどうしてもわかりません。

    具体的に計算すると

    　　1*log(1+1/1)≒0.693147180559945
    　　2*log(1+1/2)≒0.810930216216329
    　　3*log(1+1/3)≒0.863046217355343
    　　100*log(1+1/100)≒0.995033085316808
    　　1000*log(1+1/1000)≒0.999500333083533

    なので※が成り立つのは間違いなさそうですが・・・

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52773 / ResNo.1) 　Re[1]: klog(1+1/k) < 1を証明する
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2025/03/18(Tue) 18:20:10)
    x＞0に対して
    f(x)=log(1+1/x)-1/x
    とおくと
    f'(x)=1/(x^3+x^2)＞0
    であり
    lim[x→∞]f(x)=0
    なので
    f(x)＜0
    よって
    log(1+1/x)-1/x＜0
    log(1+1/x)＜1/x
    xlog(1+1/x)＜1
    従ってkが自然数ならば
    klog(1+1/k)＜1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52775 / ResNo.2) 　Re[2]: klog(1+1/k) < 1を証明する
□投稿者/ 星は昴 一般人(4回)-(2025/03/18(Tue) 20:27:16)
    　ありがとうございました。導関数の計算に戸惑っていました（笑）。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52701 / 親記事) 　積分の極限
□投稿者/ 東大志望 一般人(1回)-(2025/03/03(Mon) 20:31:16)


    の求め方を教えてください！
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52710 / ResNo.1) 　Re[1]: 積分の極限
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2025/03/09(Sun) 03:07:18)
    ((3√3)(4log2+log3)-18(√3-1)-6log2+π)/12 = 0.4934287954669775…
    という値になるようですが、計算方法はわかりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52756 / ResNo.2) 　Re[1]: 積分の極限
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2025/03/16(Sun) 14:05:49)
    横から失礼します。

    与式の被積分関数である
    nlog{{1+(x^3+x)}/2} (A)
    が積分区間である
    x:1→√3
    で一様収束するのであれば、
    lim[n→∞]
    を積分の中に入れることができますので
    ゴリゴリ極限を計算することで
    (与式)=(1/2)∫[x:1→√3]log(x^3+x)dx

    この積分を計算することで
    らすかるさんが提示された解答になります。
    (log(x^3+x)=log(x^2+1)+logx
    と変形して部分積分を使います。)

    問題なのは(A)が一様収束するか否かですが
    こちらではチェックできませんでした。
    参考までに。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52757 / ResNo.3) 　Re[2]: 積分の極限
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2025/03/16(Sun) 14:10:03)
    ごめんなさい。訂正します。
    誤：nlog{{1+(x^3+x)}/2} (A)
    正：nlog{{1+(x^3+x)^(1/n)}/2} (A)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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