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■52955 / 親記事) 　素数とcos
□投稿者/ ねこちぐら 一般人(1回)-(2025/10/02(Thu) 09:19:11)
    m,nは正の整数で
    整数a[0],a[1],…,a[m]が存在し、
    Σ[k=0,m]a[k]cos(2kπ/n)=0
    を満たすものとします。
    pをnと互いに素な素数とするとき、
    Σ[k=0,m]a[k]cos(2kpπ/n)=0
    となりますか？
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■52949 / 親記事) 　平行六角形
□投稿者/ ヘキサゴン 一般人(1回)-(2025/09/23(Tue) 10:31:09)
    以下の条件を全て満たす六角形は存在しますか？
    ・内角が全て等しい
    ・対辺の長さが等しい
    ・辺の長さが全て整数
    ・対角線の長さが全て整数
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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■52950 / ResNo.1) 　Re[1]: 平行六角形
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2025/09/23(Tue) 17:18:30)
    辺の長さN(Nは自然数)の正六角形が条件を満たします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52951 / ResNo.2) 　Re[2]: 平行六角形
□投稿者/ ヘキサゴン 一般人(2回)-(2025/09/23(Tue) 20:48:37)
    正六角形の連続する3つの頂点をA,B,Cとすると
    ACは整数ではないのでは？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52952 / ResNo.3) 　Re[1]: 平行六角形
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2025/09/24(Wed) 15:08:06)
    全内角が等しく対辺の長さが等しい、辺の長さが300万以下の整数である
    すべての六角形ABCDEFについて調べてみました。
    AC,BD,CE,DF,EA,FBがすべて整数になるものは多数あるのですが、その中で
    AD,BE,CFのうち一つでも整数になるものは1個もありませんでした。
    もしかしたら「存在しない」のかも知れませんが、もっと大きい整数で見つかるかも知れません。
    「存在しない」証明を考えた方が早そうですが、それも簡単ではなさそうです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52953 / ResNo.4) 　Re[2]: 平行六角形
□投稿者/ ヘキサゴン 一般人(3回)-(2025/09/25(Thu) 10:27:23)
    調べていただいてありがとうございます。
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■52954 / ResNo.5) 　Re[1]: 平行六角形
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2025/09/25(Thu) 18:42:46)
    ＞＞ヘキサゴンさんへ
    ＞＞正六角形の連続する〜
    ごめんなさい。その通りですね。
    対角線を正六角形の対称点を通るものに限定して考えていました。
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■52940 / 親記事) 　順列
□投稿者/ 純烈. 一般人(1回)-(2025/09/18(Thu) 10:08:21)
    1からn(≧2)までの整数の順列a[1],a[2],…,a[n]で
    a[k]<a[k+1]を満たさないkがただひとつだけある
    ものは何通りありますか？
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52943 / ResNo.1) 　Re[1]: 順列
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2025/09/19(Fri) 03:47:58)
    2^n-n-1通りです。
    基本的に1〜nを2つのグループに分けて
    一つ目のグループを昇順に並べたものの後に
    二つ目のグループを昇順に並べたものをくっつければ
    普通は条件を満たしますが、その方法で例外となるものは
    「一つ目のグループが0個」
    「一つ目のグループが1だけの1個」
    「一つ目のグループが1と2の2個」
    「一つ目のグループが1〜3の3個」
    ・・・
    「一つ目のグループが1〜n-1のn-1個」
    「一つ目のグループがn個」（二つ目のグループが0個）
    のn+1通りですから、
    1〜nを「一つ目のグループ」「二つ目のグループ」の二つに分ける
    2^n通りからn+1を引けば2^n-n-1という解になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52948 / ResNo.2) 　Re[2]: 順列
□投稿者/ 純烈 一般人(2回)-(2025/09/19(Fri) 17:02:58)
    すごくわかりやすい説明でした。ありがとうございました。
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■52937 / 親記事) 　2次不等式
□投稿者/ 埼玉 一般人(1回)-(2025/09/17(Wed) 20:20:44)
    xの2次不等式2x^2-4ax+a^2-b≦0が任意の実数aに対して整数の解をもつような実数bの値の範囲を求めよ。

    という問題なのですが、教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52938 / ResNo.1) 　Re[1]: 2次不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2025/09/18(Thu) 09:22:41)
    2025/09/19(Fri) 09:03:56 編集(投稿者)

    b＜0のときa=0とおくと不等式はx^2≦b/2となり解なし。

    b≧0のとき不等式の実数解は
    a-√(2a^2+2b)/2≦x≦a+√(2a^2+2b)/2

    0≦b＜1/4のときa=1/2とおくと不等式の解は
    1/2-√(8b+2)/4≦x≦1/2+√(8b+2)/4
    となり、0≦b＜1/4から√2≦√(8b+2)＜2なので
    0＜1/2-√(8b+2)/4≦x≦1/2+√(8b+2)＜1
    となって整数解を持たない。

    1/4≦b＜1/2のとき
    |a|＜1/2ならばa^2-b＜0なので
    不等式は整数解x=0を持つ。
    |a|≧1/2ならば√(2a^2+2b)≧1なので
    不等式の実数解の範囲の長さが1以上となり、必ず整数解を含む。

    1/2≦bのとき√(2a^2+2b)≧1なので上記と同様に必ず整数解を含む。

    よって条件を満たす実数bの範囲は b≧1/4。

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■52946 / ResNo.2) 　Re[2]: 2次不等式
□投稿者/ 埼玉 一般人(3回)-(2025/09/19(Fri) 07:26:16)
    なかなかこのようにスッキリとは考えられず、悔しいです。
解決済み!
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■52947 / ResNo.3) 　Re[3]: 2次不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2025/09/19(Fri) 09:07:00)
    私もこの解答をスラスラと書いたわけではないですよ。
    場合分けや式変形をあれこれ考え、あーでもないこーでもない
    こうすると綺麗などいろいろ試行錯誤してから
    整理した結果です。
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■52942 / 親記事) 　平方数
□投稿者/ 愛染 一般人(1回)-(2025/09/18(Thu) 18:35:45)
    a^2+ab+b^2,
    b^2+bc+c^2,
    c^2+ca+a^2
    が全て平方数になる自然数a,b,cは存在しますか？
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52944 / ResNo.1) 　Re[1]: 平方数
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2025/09/19(Fri) 04:05:43)
    存在します。
    a＜b＜cでcが最少の解は (a,b,c)=(195,264,325)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52945 / ResNo.2) 　Re[2]: 平方数
□投稿者/ 愛染 一般人(2回)-(2025/09/19(Fri) 04:46:09)
    ありがとうございます。
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