| ■53047 / ResNo.1) |
Re[1]: 対数の不等式
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□投稿者/ WIZ 一般人(8回)-(2026/02/23(Mon) 18:05:33)
 | べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
任意の二項演算子#に対して f(a)#b で (f(a))#b を表すものとします。
f(t) = log(1+t)^2+log(1-t)^2+2log(1-t^2) とおくと、
f'(t) = 2log(1+t)/(1+t)-2log(1-t)/(1-t)-4t/(1-t^2)
= 2{(1-t)log(1+t)-(1+t)log(1-t)-2t}/(1-t^2)
1-t^2 > 0 なので、f'(t)の符号は分子だけで決まります。
g(t) = (1-t)log(1+t)-(1+t)log(1-t)-2t とおくと、
g'(t) = -log(1+t)+(1-t)/(1+t)-log(1-t)+(1+t)/(1-t)-2
= -log(1-t^2)+{(1-t)^2+(1+t)^2-2(1-t^2)}/(1-t^2)
= -log(1-t^2)+4t^2/(1-t^2)
0 ≦ t^2 < 1, 0 < 1-t^2 ≦ 1 より、
log(1-t^2) ≦ 0, t^2/(1-t^2) ≧ 0 ですので、g'(t) ≧ 0 となります。
特に t ≠ 0 ならば g'(t) > 0 です。
よって、g(t) は単調増加(t = 0 で変曲点)で、g(0) = 0 より、
-1 < t < 0 で g(t) < 0, 0 < t < 1 で g(t) > 0 となります。
以上から、
-1 < t < 0 で f'(t) < 0 なので f(t) は減少
t = 0 で f'(t) = 0 なので f(t) は極小 f(0) = 0
0 < t < 1 で f'(t) > 0 なので f(t) は増加
となり、
-1 < t < 1 で f(t) ≧ 0 といえます。
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で表示されます。
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グラフの凸(4)
