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■53024 / 親記事) 　3^n-nとn+5の2の指数
□投稿者/ みさえのバタフライ 一般人(1回)-(2026/01/21(Wed) 10:31:54)
    3^n-nが2で割り切れる回数とn+5の2で割り切れる回数は、
    なぜ多くの正の奇数で等しくなるのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53025 / ResNo.1) 　Re[1]: 3^n-nとn+5の2の指数
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2026/01/21(Wed) 16:38:50)
    m=n+5とすると
    3^(m-5)-(m-5) と (m-5)+5 すなわち
    3^(m-5)+5-m と m
    m=2^k・(奇数)としてkで場合分けして

    k=0すなわちm≡1 (mod2)のとき
    m-5≡0 (mod2)
    3^(m-5)≡1 (mod4)
    3^(m-5)+5≡2 (mod4)
    3^(m-5)+5-m≡1 (mod2)

    k=1すなわちm≡2 (mod4)のとき
    m-5≡1 (mod4)
    3^(m-5)≡3 (mod8)
    3^(m-5)+5≡0 (mod8)
    3^(m-5)+5-m≡2 (mod4)

    k=2すなわちm≡4 (mod8)のとき
    m-5≡7 (mod8)
    3^(m-5)≡11 (mod16)
    3^(m-5)+5≡0 (mod16)
    3^(m-5)+5-m≡4 (mod8)

    k=3すなわちm≡8 (mod16)のとき
    m-5≡3 (mod16)
    3^(m-5)≡27 (mod32)
    3^(m-5)+5≡0 (mod32)
    3^(m-5)+5-m≡8 (mod16)

    k=4すなわちm≡16 (mod32)のとき
    m-5≡11 (mod32)
    3^(m-5)≡59 (mod64)
    3^(m-5)+5≡0 (mod64)
    3^(m-5)+5-m≡16 (mod32)

    k=5すなわちm≡32 (mod64)のとき
    m-5≡27 (mod64)
    3^(m-5)≡59 (mod128)
    3^(m-5)+5≡64 (mod128)
    3^(m-5)+5-m≡32 (mod64)

    k=6すなわちm≡64 (mod128)のとき
    m-5≡59 (mod128)
    3^(m-5)≡59 (mod256)
    3^(m-5)+5≡64 (mod256)
    3^(m-5)+5-m≡0 (mod128)

    というわけで
    k≦5つまりn+5が64で割り切れなければ一致しますので、
    一致する割合が(たまたま)高くなるということですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53026 / ResNo.2) 　Re[2]: 3^n-nとn+5の2の指数
□投稿者/ みさえのバタフライ 一般人(2回)-(2026/01/22(Thu) 08:03:17)
    なるほど…
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52928 / 親記事) 　オイラー関数と余り
□投稿者/ 雷 一般人(2回)-(2025/08/22(Fri) 13:32:21)
    自然数nに対してφ(n)をnと互いに素なn以下の自然数の個数とします
    a,b,cはどの2つも互いに素な自然数とします
    a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab)をabcで割った余りの求め方を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■53023 / ResNo.1) 　Re[1]: オイラー関数と余り
□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2026/01/20(Tue) 16:19:39)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    φ(bc)は自然数ですから、
    a^φ(bc) ≡ 0 (mod a)

    cとaは互いに素であり、オイラーのトーシェント関数の性質より
    b^φ(ca) = (b^φ(a))^φ(c) ≡ 1^φ(c) ≡ 1 (mod a)

    同様にaとbも互いに素なので
    c^φ(ab) = (c^φ(a))^φ(b) ≡ 1^φ(b) ≡ 1 (mod a)

    以上から
    a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 0+1+1 ≡ 2 (mod a)

    bとcを法とした場合も同様に
    a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 1+0+1 ≡ 2 (mod b)
    a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 1+1+0 ≡ 2 (mod c)

    ・・・なので、中国剰余定理を持ち出すまでもなく、
    a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 2 (mod abc)
    と言えます。

    しかしながら a ≦ 2 の場合は
    a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 2 ≡ 0 (mod a)
    とも言えますので、厳密には以下の通りです。

    整数xを a ≦ 2 なら x = 0、a > 2 なら x = 2、
    整数yを b ≦ 2 なら y = 0、b > 2 なら y = 2、
    整数zを c ≦ 2 なら z = 0、c > 2 なら z = 2 とします。

    aとbcは互いに素なので、ある整数(自然数とは限らない)pとuが存在して
    pa+ubc = 1 とできます。
    bとcaは互いに素、cとabも互いに素なので、ある整数q, v, r, wが存在して、
    qb+vca = rc+wab = 1 とできます。

    すると、
    a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ xubc+yvca+zwab (mod abc)
    となる訳ですが、何だか上記の式の右辺は分かりづらいですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52978 / 親記事) 　極限
□投稿者/ 長所 一般人(1回)-(2025/11/21(Fri) 18:33:14)
    lim[x→0](xe^x-e^x+1)/(xe^x-x)
    は高校数学でどう求めるのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■53022 / ResNo.1) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2026/01/20(Tue) 16:17:00)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    lim[x→0]{(x(e^x)-(e^x)+1)/(x(e^x)-x)} の計算と解釈して回答します。

    0/0型の不定形なので、ロピタルの定理を使っても良いのなら求められます。
    # 高校数学でも証明抜きでロピタルの定理の使用は認められていますよね?
    分母と分子を微分すると0/0不定形は解消されませんが、
    もう1回ずつ微分すると極限が1/2であることが示せます。

    lim[x→0](xe^x-e^x+1)/(xe^x-x)
    = lim[x→0](xe^x)/(xe^x+e^x-1) # ロピタルの定理の使用1回目
    = lim[x→0](xe^x+e^x)/(xe^x+2e^x) # ロピタルの定理の使用2回目
    = 1/2

    以下、ロピタルの定理を使わない場合の計算方法を示します。

    [補題1]
    e^x と 1+x+x^2/2 の大小関係は、
    x > 0 なら e^x > 1+x+x^2/2
    x = 0 なら e^x = 1+x+x^2/2
    x < 0 なら e^x < 1+x+x^2/2
    が成立する。

    [補題2]
    e^x と 1+x+(x^2/2)e^x の大小関係は
    x > 0 なら e^x < 1+x+(x^2/2)e^x
    x = 0 なら e^x = 1+x+(x^2/2)e^x
    x < 0 なら e^x > 1+x+(x^2/2)e^x
    が成立する。

    # 差を取り、導関数を(必要に応じて2次以降の導関数も)求めて
    # 増減を調べれば良いだけなので証明は割愛します。

    (1) x > 0 の場合
    補題1と補題2より、
    1+x+x^2/2 ≦ e^x ≦ 1+x+(x^2/2)e^x
    ⇒ 1+x/2 ≦ (e^x-1)/x ≦ 1+(x/2)e^x
    と言えます。

    {与式} = (xe^x-e^x+1)/(xe^x-x) = (e^x-(e^x-1)/x)/(e^x-1)
    ⇒ (e^x-(1+(x/2)e^x))/(e^x-1) ≦ {与式} ≦ (e^x-(1+x/2))/(e^x-1)
    ⇒ 1-(1/2)e^x*x/(e^x-1) ≦ {与式} ≦ 1-(1/2)x/(e^x-1)

    ここで、
    lim[x→0]{x/(e^x-1)} = lim[x→0]{1/{(e^x-e^0)/x}}
    上記は e^x の x = 0 の時の微分係数の逆数です。
    # 高校数学の範囲外ですが、厳密には lim[x→+0] なので右微分係数です。
    # e^x は任意の実数xで右微分係数と左微分係数が一致するので、微分係数としても大丈夫です。

    e^x の導関数は e^x なので、
    lim[x→0]{x/(e^x-1)} = 1/e^0 = 1/1 = 1
    となります。

    以上から、x→0 のとき
    1-(1/2)e^0*1 ≦ {与式} ≦ 1-(1/2)*1
    ⇒ {与式} = 1/2
    となります。

    (2) x < 0 の場合
    補題1と補題2より、
    1+x+(x^2/2)e^x ≦ e^x ≦ 1+x+x^2/2
    ⇒ 1+(x/2)e^x ≧ (e^x-1)/x ≧ 1+x/2
    # 負の数であるxで除算したため不等号の向きが反転しています。

    以降の式変形は x > 0 の場合とほぼ同じなので割愛します。

    補題1はともかく、補題2の不等式を思い付くのは難易度が高いと思います。
    # 私もgemini3に質問して、その誤った解法(!)からヒントを得ました!
    長文失礼しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■53019 / 親記事) 　極限
□投稿者/ 肉まん 一般人(1回)-(2026/01/19(Mon) 12:34:08)
    lim[n→∞] n Σ[k=n+1→2n]1/k^2

    の求め方を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53020 / ResNo.1) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2026/01/19(Mon) 19:12:46)
    lim[n→∞]nΣ[k=n+1〜2n]1/k^2
    =lim[n→∞]nΣ[k=1〜n]1/(n+k)^2
    =lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]1/(1+k/n)^2
    =∫[0〜1]1/(1+x)^2 dx
    =1/2
    となりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53021 / ResNo.2) 　Re[2]: 極限
□投稿者/ 肉まん 一般人(2回)-(2026/01/19(Mon) 19:44:12)
    ありがとうございます！！
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■53016 / 親記事) 　不等式
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2026/01/12(Mon) 18:33:25)
    ご教授ください。

    「実数x,y,z について、

    　x^3+y^3+z^3=xyz , x＜＝ｙ＜＝ｚ ⇒ x^3+y^3＜＝0」

    を証明してください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53017 / ResNo.1) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2026/01/12(Mon) 22:37:08)
    x≦y≦z かつ x^3+y^3＞0 を仮定すると
    x^3+y^3＞0 から x^3+y^3+z^3＞z^3
    x≦y かつ x^3+y^3＞0 から y＞0 なので x≦y≦z から xyz≦z^3
    よってx^3+y^3+z^3＞xyzとなりx^3+y^3+z^3=xyzを満たさないので、
    x^3+y^3+z^3=xyz かつ x≦y≦z ならば x^3+y^3≦0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53018 / ResNo.2) 　Re[2]: 不等式
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2026/01/13(Tue) 09:01:59)
    らすかく様

    素晴らしい証明有り難うございます。
    直接法で証明しようとしたのですが、中々上手くいかず、質問させて頂き増した。
    今後もよろしくお願いします。
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