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■52879 / 親記事)  微分で関数の最大値を求める
□投稿者/ 星は昴 一般人(1回)-(2025/05/24(Sat) 18:30:11)
      f(x) = (n+mx)/√(1+x^2 ) = (n+mx)/(1+x^2 )^(1/2)   (n,m は正の定数:x>0)

      f'(x) = (m-nx)/{(1+x^2 )√(1+x^2 )} = 0

      x = m/n
      x<m/n⇒f'(x)>0
      x>m/n⇒f'(x)<0

     したがってf(x)はx = mnで極大値をとる。

      f(m/n) = √{(n^2+m^2)/n}  @

      lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = lim[x→∞](n/x+m)/√(1/x^2 +1) = m ……A

      lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = n ……B

     @が最大値であることを示すために、@ABの二乗を比較して@>A、@>Bを証明したいがうまくいきません。
     @とBを比較して

      {(n^2+m^2)/n}/n^2 = (n^2+m^2)/n^3

    とやっても、大小関係がわかりません。どうしたらいいでしょうか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52881 / ResNo.1)  Re[1]: 微分で関数の最大値を求める
□投稿者/ らすかる 一般人(30回)-(2025/05/24(Sat) 18:55:41)
    x<m/n ⇔ f'(x)>0
    x>m/n ⇔ f'(x)<0
    とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まりますので
    AやBの計算は不要です。

    また、@は間違っています。f(m/n)=√(n^2+m^2)です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52882 / ResNo.2)  微分で関数の最大値を求める
□投稿者/ 星は昴 一般人(2回)-(2025/05/24(Sat) 19:02:08)
     すばやい回答まことにありがとうございます。
    > x<m/n ⇔ f'(x)>0
    > x>m/n ⇔ f'(x)<0
    > とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まります
     極値(この場合極大値)が1つしかないからですか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52884 / ResNo.3)  Re[3]: 微分で関数の最大値を求める
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2025/05/25(Sun) 11:36:47)
    結果的にはそういうことになるかも知れませんが、そんな難しいことは考えていません。
    グラフで考えて
    f(x)はx<m/nで増加 → xをm/nから減らしていけばf(x)は減少し続ける → x<m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
    f(x)はx>m/nで減少 → xをm/nから増やしていけばf(x)は減少し続ける → x>m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
    ということですから、f(m/n)は最大値になります。
    # もちろん、これが言えるのはf(x)が連続だからです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52878 / 親記事)  自然数 階乗
□投稿者/ ココス 一般人(1回)-(2025/05/18(Sun) 09:05:47)
    a,b,c,dが自然数で
    a! b! +a = c! d! +c
    が成り立つとき
    (a,b) = (c,d)
    であると結論できますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■52877 / 親記事)  期待値と極限
□投稿者/ ニコイチ 一般人(1回)-(2025/05/15(Thu) 12:02:26)
    mを正の整数とし、nはm以上の整数とする。
    箱の中に1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ合計n枚入っている。
    箱からカードを1枚取り出し、数字を確認してから箱に戻すという試行をm回繰り返し、確認した数字のうち最大のものをXとする。
    次に箱から同時にm枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数字のうち最大のものをYとする。
    Xの期待値をE[X]、Yの期待値をE[Y]としたとき、lim[n→∞](E[X]/E[Y])^nの求め方を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■52866 / 親記事)  回転体の体積
□投稿者/ 筑波 一般人(1回)-(2025/05/10(Sat) 10:03:30)
    f(x)はx≧0で連続で、f(0)=0かつx>0においてf'(x)>0を満たすとする。t>0に対して、
    曲線y=f(x)とx軸および直線x=tとで囲まれる図形をx軸のまわりに一回転してできる立体の体積をX(t)、
    曲線y=f(x)とy軸および直線y=f(t)とで囲まれる図形をy軸のまわりに一回転してできる立体の体積をY(t)、
    とする。また、X(0)=Y(0)=0とする。このとき、t≧0で常にX(t)=Y(t)となるf(x)を全て求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■52870 / ResNo.2)  Re[2]: 回転体の体積
□投稿者/ 健作 一般人(5回)-(2025/05/10(Sat) 22:09:55)
    Y(t)はdxではなくdyでは?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52871 / ResNo.3)  Re[1]: 回転体の体積
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2025/05/11(Sun) 09:21:29)
    > Y(t)はdxではなくdyでは?
    仰る通りでした。申し訳ありません。

    y = f(x)がx > 0で一価関数と仮定し、y = f(x)の逆関数をx = h(y)とします。
    x = 0でy = f(0) = 0より、h(0) = 0です。
    また、dx/dy = (d/dy)h(y) = h'(y)です。
    # 上記のダッシュ「'」はyによる微分

    よって、
    Y(t) = π∫[0,f(t)]{x^2}dy
    = π∫[0,f(t)]{h(y)^2}h'(y)dy
    = (π/3)(h(f(t))^3)
    = (π/3)(t^3)

    # 以下「'」はtによる微分
    X(t) = Y(t)
    ⇒ πg(t) = (π/3)(t^3)
    ⇒ g'(t) = t^2 = f(t)^2
    ⇒ f(t) = t または f(t) = -t

    x > 0でf'(x) > 0より、題意を満たすのはf(x) = xのみとなります。

    # また間違ってたらごめんなさい!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52872 / ResNo.4)  Re[2]: 回転体の体積
□投稿者/ 健作 一般人(6回)-(2025/05/11(Sun) 16:59:09)
    x = h(y)とするなら
    Y(t) = π∫[0,f(t)]{h(y)^2}dy
    ではないのでしょうか?

    y=f(x)のとき
    X(t) = π∫[0,t]{f(x)^2}dx
    であるのと同様に
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52873 / ResNo.5)  Re[1]: 回転体の体積
□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2025/05/11(Sun) 18:51:56)
    成程。まるでどっちが質問して、どっちが回答してるのか分からなくなりました。

    h(t)^2の原始関数をH(t), H(0) = 0とすると、
    Y(t) = π∫[0,f(t)]{h(y)^2}dy = πH(f(t))

    X(t) = Y(t)
    ⇒ πg(t) = πH(f(t))
    ⇒ g'(t) = f(t)^2, H'(f(t))f'(t) = (h(f(t))^2)f'(t) = (t^2)f'(t)
    ⇒ f(t)^2 = (t^2)f'(t)

    f(0) = 0かつx > 0においてf'(x) > 0より、x > 0でf(x) > 0です。
    よって、t > 0のとき、
    ⇒ 1/t^2 = f'(t)/(f(t)^2)
    ⇒ -1/t+C = -1/f(t) (Cは積分定数)
    ⇒ t/(1-Ct) = f(t)

    0/(1-C*0) = 0 = f(0)だから、上記はt = 0でも成り立ちます。

    検算
    C = 0のとき、y = x, x = y
    X(t) = π∫[0,t]{x^2}dx = (π/3)(t^2)
    Y(t) = π∫[0,t]{x^2}dx = (π/3)(t^2)

    C ≠ 0かつ1-Ct ≠ 0のとき、y = x/(1-Cx) = (-1/C)(1+1/(Cx-1))
    (1-Cx)y = x ⇒ y = (Cy+1)x
    Cy+1 ≠ 0のとき、x = y/(Cy+1) = (1/C)(1-1/(Cy+1))

    X(t) = (π/(C^2))∫[0,t]{1+2/(Cx-1)+1/((Cx-1)^2)}dx
    = (π/(C^2))[x+(2/C)ln(|Cx-1|)-(1/C)/(Cx-1)]_[0,t]
    = (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-(1/C)/(Ct-1)-1/C}
    = (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-(1/C)(1+Ct-1)/(Ct-1)}
    = (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-t/(Ct-1)}
    = (π/(C^2)){t(Ct-2)/(Ct-1)+(2/C)ln(|Ct-1|)}

    Y(t) = (π/(C^2))∫[0,t/(1-Ct)]{1-2/(Cy+1)+1/((Cy+1)^2)}dy
    = (π/(C^2))[y-(2/C)ln(|Cy+1|)-(1/C)/(Cy+1)]_[0,t/(1-Ct)]
    = (π/(C^2)){t/(1-Ct)-(2/C)ln(|Ct/(1-Ct)+1|)-(1/C)/(Ct/(1-Ct)+1)+1/C}
    = (π/(C^2)){t/(1-Ct)-(2/C)ln(|1/(1-Ct)|)-(1/C)/(1/(1-Ct))+1/C}
    = (π/(C^2)){t/(1-Ct)+(2/C)ln(|1-Ct|)+t}
    = (π/(C^2)){t(2-Ct))/(1-Ct)+(2/C)ln(|1-Ct|)}

    ・・・とどうやら大丈夫そうです。
    但し、1-Ct = 0やCy+1 = 0の場合も積分範囲を分けて極限として吟味する必要があると思いますが、
    私はもう限界ですので、勝手ながらこれでこのスレの最後の発言とさせて頂きます。
    # 安直にこのスレに口を出したことを後悔しています。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52875 / ResNo.6)  Re[2]: 回転体の体積
□投稿者/ 筑波 一般人(2回)-(2025/05/14(Wed) 22:09:09)
    とても理解り易かったです。ご丁寧に有難う御座いました。
解決済み!
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■52863 / 親記事)  円と三角形、有理数と無理数
□投稿者/ タマヨ 一般人(1回)-(2025/05/09(Fri) 17:44:21)
    半径が√2の円に三辺の長さが相異なる有理数の三角形が内接することはありますか?
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52864 / ResNo.1)  Re[1]: 円と三角形、有理数と無理数
□投稿者/ らすかる 一般人(27回)-(2025/05/09(Fri) 20:07:17)
    あります。例えば3辺が(8/3,24/11,80/33)の三角形は外接円の半径が√2です。
    確認のため座標(の例)も求めました。
    円をx^2+y^2=2として
    A(1,1), B((-7-4√2)/9,(-7+4√2)/9), C((-23+84√2)/121,(-23-84√2)/121)
    とすると、A,B,Cは確かに円x^2+y^2=2上にあり、
    またAB=8/3, BC=80/33, CA=24/11となります。

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■52867 / ResNo.2)  Re[2]: 円と三角形、有理数と無理数
□投稿者/ タマヨ 一般人(2回)-(2025/05/10(Sat) 19:26:22)
    すごい…よく見つけられましたね。
    ありがとうございました。
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