数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 4]

数学ナビゲーター掲示板

★ google検索	★ 掲示板備え付けのログ検索
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。	検索条件: 現在のログを検索過去のログを検索

■ 2006/2/20より、累計：

、本日：

、昨日：

■ 数式の記述方法
■TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
■ 携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは

で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは

で表示されます。

投稿順

レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

積分(0) |

確率(3) |

52545の「約数の個数」の式変形について(5) |

約数の個数(6) |

羅生門(1) |

高校数学確率の問題です。(2) |

(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

数字が重複しない積(1) |

自然数(2) |

余り(2) |

klog(1+1/k) < 1を証明する(2) |

約数(1) |

n乗根(1) |

lim[θ→0](θ/sinθ)(2) |

常微分方程式の基本的な質問(2) |

単位円と正三角形(2) |

証明微積(0) |

台形(1) |

設問ミスですか？それとも解けますか？(1) |

ζ関数(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

確率(2) |

体(3) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

■52663 / 親記事)

　漸化式と不等式

□投稿者/ 数列一般人(3回)-(2025/01/09(Thu) 17:16:37)

a[0]=1,a[1]=1/2,
(n+1)a[n+1]=(n+ 1/2)a[n] -na[n-1]
のとき,
a[n]^2>a[n+1]a[n-1]
の証明を教えて下さい.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52700 / ResNo.1)

　Re[1]: 漸化式と不等式

□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2025/03/02(Sun) 21:45:52)

2025/03/02(Sun) 21:50:38 編集(投稿者)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとする。
また、nは自然数で、以下の漸化式と解釈して回答します。
(n+1)a[n+1] = (n+(1/2))a[n]-n*a[n-1]

⇒ a[n] = {(n+1)a[n+1]+n*a[n-1]}/(n+1/2)
⇒ a[n]^2 = {((n+1)^2)a[n+1]^2+2(n+1)n*a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2}/{(n+1/2)^2}
⇒ a[n]^2-a[n+1]a[n-1] = {((n+1)^2)a[n+1]^2+((2n^2+2n)-(n^2+n+1/4))a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2}/{(n+1/2)^2}

ここで、上記の右辺分母は正ですから、左辺と右辺分子の符号は同じです。

{上記右辺分子} = ((n+1)^2)a[n+1]^2+(n^2+n-1/4)a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2
= ((n+1)^2)a[n+1]^2+2(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]*n*a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2
= ((n+1)^2-(n/2+1/2-1/(8n))^2)a[n+1]^2+{(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2
= (n/2+1/2+1/(8n))(3n/2+3/2-1/(8n))a[n+1]^2+{(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2
≧ 0

上記で等号が成立するのは、(n/2+1/2+1/(8n))(3n/2+3/2-1/(8n)) > 0であることから、
a[n+1]^2 = 0 かつ {(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2 = 0 のときであり、
整理すると a[n+1] = 0 かつ a[n-1] = 0 の場合です。
また、この場合、漸化式から a[n] = 0 です。
更に a[n] = 0 かつ a[n+1] = 0 ならば、漸化式より a[n+2] 以降の全ての項が0となります。

以下、連続する2項が0にはなり得ないことを示します。
a[0] ≠ 0 かつ a[1] ≠ 0 なので、mを2以上の自然数として a[m-1] ≠ 0 かつ a[m] = 0 であると仮定します。
漸化式から、(m+1)a[m+1] = m*a[m-1] つまり a[m+1] ≠ 0 となります。
同様に漸化式から、(m+2)a[m+2] = (m+1+1/2)a[m+1] つまり a[m+2] ≠ 0 となります。

a[m+3] = 0 か a[m+3] ≠ 0 かは漸化式からは決定できませんが、
a[m+3] 以降で最初に 0 となる項を a[p] とすれば、a[p-1] ≠ 0 ですので、
上記の「a[m-1] ≠ 0 かつ a[m] = 0 である～」の論法を繰り返すことにより、
a[p+1] ≠ 0 かつ a[p+2] ≠ 0 と言えますので、連続した2項が0になることはないと言えます。

以上から、不等式で等号は成立せず a[n]^2-a[n+1]a[n-1] > 0 となります。

# 計算間違いと、後半の論理には自信がありませんので識者の方のツッコミをお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■52537 / 親記事)

　約数

□投稿者/ 卵一般人(1回)-(2024/06/05(Wed) 09:45:38)

自然数n(≧2)の正の約数のうちnを除いたものの和τ(n)と
nの正の約数のうち素数であるものの個数ω(n)について
τ(n)<nω(n)
が成り立つことの証明を教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52698 / ResNo.1)

　Re[1]: 約数

□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2025/02/27(Thu) 13:05:48)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

n ≧ 2なので、nは1個以上の素因数を持ちます。m = ω(n)とすればmは自然数です。
nの素因数を小さい方からp[1], p[2], ・・・, p[m]とします。
また、各素因数の指数をe[1], e[2], ・・・, e[m]とすると、
n = Π[k=1,m]{p[k]^e[k]}・・・・・(1)
となります。

n自身を含めたnの正の約数の和は、
τ(n)+n = Π[k=1,m]{(p[k]^(e[k]+1)-1)/(p[k]-1)}・・・・・(2)
となります。

(1)(2)より、以下が示せれば良いことになります。
τ(n)+n < nm+n
⇒ Π[k=1,m]{(p[k]^(e[k]+1)-1)/(p[k]-1)} < (m+1)Π[k=1,m]{p[k]^e[k]}
⇒ Π[k=1,m]{(p[k]-1/(p[k]^e[k]))/(p[k]-1)} < m+1・・・・・(3)

ここで、p[1] ≧ 2, p[2] ≧ 3, ・・・, p[m] ≧ m+1ですので、
(p[k]-1/(p[k]^e[k]))/(p[k]-1) < p[k]/(p[k]-1) = 1+1/(p[k]-1) ≦ 1+1/((k+1)-1) = (k+1)/k
であり、これを(3)に適用すると、
Π[k=1,m]{(p[k]-1/(p[k]^e[k]))/(p[k]-1)} < Π[k=1,m]{(k+1)/k} = m+1
となり、(3)が成立することが分かります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■52686 / 親記事)

　整数問題

□投稿者/ 三毛猫一般人(4回)-(2025/02/14(Fri) 00:19:12)

自然数a,bに対して(a^3+b^3)/(a^2*b^2+1)が自然数になるとき、
必ず3乗数になるらしいのですが、その証明はどうやるのでしょうか?

(a^2+b^2)/(ab+1)が自然数になるとき平方数になるというのはIMO過去問らしく、
解説はたくさん見つけられるのですが・・・。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52687 / ResNo.1)

　Re[1]: 整数問題

□投稿者/ 検索しただけの人一般人(1回)-(2025/02/14(Fri) 04:08:22)
http://artofproblemsolving.com/community/c6h349211p1879023

内容は確認してないけど…

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52690 / ResNo.2)

　Re[2]: 整数問題

□投稿者/ 三毛猫一般人(5回)-(2025/02/14(Fri) 21:10:29)

リンク先教えて頂きありがとうございます。
ただ、一部が書かれていないのか、表示されてないのか分かりませんが、
証明の全貌が見えません。
一応もう少し、リンク先の書き込みを参考に考えてみます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52693 / ResNo.3)

　Re[3]: 整数問題

□投稿者/ 検索しただけの人一般人(3回)-(2025/02/15(Sat) 07:52:32)

なぜ表示されないのかよく分からないけど、
考えてみると、なんとも便利なことに、
リンク先の掲示板からこの掲示板へ
丸ごとコピペできますね。

We have $2$ a = b, \; k=\displaystyle{\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}} \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow a=b=k=1=1^n$
Now assume that $2$a,b,k,n \in \mathbb{N}^+, \; a<b,\;n>1,\; a^n-k=(ka^{n-1}-b)b^{n-1}$
(1) If $2$k > a^n$ then $2$k > k-a^n = b^{n-1} (b-ka^{n-1}) \ge b^{n-1}$
$2$\quad \quad$ thus $2$b > ka^{n-1} \ge k > b^{n-1}$ . which cannot happen.
(2) If $2$k < a^n$ , then $2$ka^{n-1}-b = \displaystyle{\frac{a^n-k}{b^{n-1}}} < a$ , $2$ka^{n-1} < a+b$ , $2$(k-1)a^{n-1} < a+b - a^{n-1} \le b$
Thus $2$k > 1 \Rightarrow a^{n-1} \le (k-1)a^{n-1} < b \Rightarrow a^n-k = (ka^{n-1}-b)b^{n-1} \ge b^{n-1} >$ $2$ (a^{n-1})^{n-1} \ge a^n$ ,
that's wrong and so $2$k=1=1^n$
(3) If $2$k = a^n$ then $2$b=ka^{n-1}=a^{2n-1} \; b^n = a^{2n^2-n} = a^{2n(n-1) + n}$ hence $2$\displaystyle{\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}=\frac{a^n(1+a^{2n(n-1)})}{(a^{2n})^{n-1}+1}} = a^n$

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52694 / ResNo.4)

　Re[4]: 整数問題

□投稿者/ 三毛猫一般人(6回)-(2025/02/15(Sat) 20:37:17)

再度対応ありがとうございます。
この掲示板にコピペして頂いた方も私の環境ではTeXが文字化けしてしまい読めませんでしたが、
ネットのTeXビューアに張り付けてなんとか読むことができました。
n≧3の場合、こんな初等的な方法で証明できるとは驚きです。
まだ完全に呑み込めていない部分もあるので精読したいと思います。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-4]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■52688 / 親記事)

　期待値

□投稿者/ ランダム一般人(1回)-(2025/02/14(Fri) 08:58:06)

2n+1枚のカードがあり、各カードにはそれぞれ異なる数字(1から2n+1まで)が書いてあります。
ここからランダムに3枚を取り出します。各カードの数の差(の絶対値)の最小値を得点とします。
たとえば、3枚が4,9,10なら、得点は1点です。さて、得点の期待値はいくらでしょう？

この問題を教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52689 / ResNo.1)

　Re[1]: 期待値

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2025/02/14(Fri) 19:57:06)

取り出し方は全部で(2n+1)C3通り
このうち、例えば「隣り合う数字がないような取り出し方」は、
1～2n-1が書かれた2n-1枚のカードから3枚選んで
最も大きい数字に2を足して2番目に大きい数字に1を足せばよいので、
(2n-1)C3通り
これは「得点が2点以上になる取り出し方」であり、同様にして
得点が3点以上になる取り出し方は(2n-3)C3通り、
得点が4点以上になる取り出し方は(2n-5)C3通り、・・・
従って
得点が1点となる取り出し方は
(2n+1)C3-(2n-1)C3=(2n-1)^2通り
得点が2点となる取り出し方は
(2n-1)C3-(2n-3)C3=(2n-3)^2通り
得点が3点となる取り出し方は
(2n-3)C3-(2n-5)C3=(2n-5)^2通り
・・・
のようになるので、求める期待値は
Σ[k=1～n]k*(2n-(2k-1))^2/(2n+1)C3=(n+1)(2n^2+2n-1)/{2(2n+1)(2n-1)}

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52691 / ResNo.2)

　Re[2]: 期待値

□投稿者/ ランダム一般人(2回)-(2025/02/15(Sat) 06:55:15)

ありがとうございます。
とってもわかりやすかったです！

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▲上のスレッド

■52681 / 親記事)

　定積分

□投稿者/ 三毛猫一般人(1回)-(2025/02/12(Wed) 19:22:37)

以下は計算できますか?
lim[ε→+0]∫[0,1-ε]{(x^((5-√17)/2)-x^((5+√17)/2))/(1-x)}dx

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52682 / ResNo.1)

　Re[1]: 定積分

□投稿者/ 計算機につっこんだだけの人一般人(1回)-(2025/02/12(Wed) 20:42:20)

$2$\large \frac{\sqrt{17}}{4} +\pi \tan \left( \pi \frac{\sqrt{17}}{2} \right)$ 　　

かな？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52683 / ResNo.2)

　Re[2]: 定積分

□投稿者/ 三毛猫一般人(2回)-(2025/02/12(Wed) 22:47:36)

計算の途中過程は分かりますか?
ネットのWolfram Alphaだと「時間が足りず極限は求められませんでした」となってしまうので。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52684 / ResNo.3)

　Re[3]: 定積分

□投稿者/ 計算機につっこんだだけの人一般人(2回)-(2025/02/13(Thu) 00:26:39)
http://manabitimes.jp/math/2898

リンク先の差の積分表示から公式2を使うとか？
私自身は全く計算してないのでどうだか知りませんが
なんとなくπtanが出てきそうですよね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52685 / ResNo.4)

　Re[4]: 定積分

□投稿者/ 三毛猫一般人(3回)-(2025/02/13(Thu) 10:34:32)

リンク先の内容はかなり難しいですね。
頑張って勉強しようと思います。
教えてくださりありがとうござました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-4]

＜前のスレッド5件 | 次のスレッド5件＞

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター