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□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(1回)-(2024/06/07(Fri) 19:39:01)
 | 自然数nで約数の個数が√(3n)以上となるものを全て求めよ。
お願いします。
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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
| ■52543 / ResNo.1) |
Re[1]: 約数の個数
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□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/06/11(Tue) 15:31:23)
| n=12の約数{1,2,3,4,6,12}の個数は6=√36=√(3*12)=√(3n)
だから
n=12
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| ■52544 / ResNo.2) |
Re[2]: 約数の個数
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□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(2回)-(2024/06/11(Tue) 20:22:47)
 | 他には無いのでしょうか？
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| ■52545 / ResNo.3) |
Re[3]: 約数の個数
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□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2024/06/12(Wed) 19:10:40)
| n=2^p・3^q・N（p,qは非負整数、Nは2でも3でも割り切れない自然数）とすると
Nの素因数は最小で5なのでNの素因数の個数はlog[5]N以下
Nの素因数がk個のとき、約数の個数が最大となるのは
k個の素因数がすべて異なるときで、2^k個
従って自然数nの約数の個数は
(p+1)(q+1)・2^(log[5]N)=(p+1)(q+1)・N^(log[5]2)以下
√(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと
N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)
f(p)=(p+1)^2/2^pはp=2/log2-1≒1.88539のとき極大でf(1)=2,f(2)=9/4,f(3)=2なので
非負整数pに対してf(p)の最大値はf(2)=9/4
g(q)=(q+1)^2/3^(q+1)はq=2/log3-1≒0.82048のとき極大でg(0)=1/3,g(1)=4/9,g(2)=1/3なので
非負整数qに対してg(q)の最大値はg(1)=4/9
1/(1-log[5]4)＞1なので
(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)＜1のとき(1)の右辺が1未満となり解なし
従って(1)を満たす解はp=2かつq=1かつN=1のみなので、元の問題の解はn=12のみ。
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| ■52546 / ResNo.4) |
Re[4]: 約数の個数
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□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(3回)-(2024/06/13(Thu) 13:23:05)
 | 理解出来ました。
有難うございます。
素因数の個数を(ω(n)ではなく)Ω(n)の意味で使っているんですね。
//ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0
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解決済み! |
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| ■52568 / ResNo.5) |
Re[3]: 約数の個数
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□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/07/14(Sun) 09:54:41)
| x(p)≧0は整数
n=Π[pは素数]p^{x(p)}
とする
√(3n)≦Π{pは素数}{1+x(p)}
↓両辺を2乗すると
3n≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
↓
3Π[pは素数]p^{x(p)}≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
↓
3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}
f{p}(x)=(1+x)^2/p^x
とすると
f'{p}(x)=(1+x){2-(1+x)logp}/p^x
x>2/logp-1のときf'{p}(x)<0だからf{p}(x)は減少
f{p}(0)=1
f{2}(1)=2
p=2のときx≧2>2/log2-1のときf{2}(x)は減少
(1+x)^2/2^x≦f{2}(2)=9/4
f{2}(x)はx=2で最大値9/4になる
p≧3のときx≧1>2/log-1のときf{p}(x)は減少
p=3のとき
(1+x)^2/3^x≦f{3}(1)=4/3
f{3}(x)はx=1で最大値4/3になる
p≧5のとき
f{p}(1)=4/p<1=f{p}(0)
(1+x)^2/p^x≦f{p}(0)=1
f{p}(x)はx=0で最大値1になる
3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}≦f{2}(2)f{3}(1)Π{素数p≧5}f{p}(0)=(9/4)(4/3)・1=3
∴
n=2^2・3^1=12
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1000×1000 => 250×250
m202406281353.jpg/99KB
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高校数学 期待値の問題です(2)
