数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 44]

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約数(0) |

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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

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複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

■51990 / 親記事)

　二次正方行列

□投稿者/ はへほ一般人(1回)-(2022/10/24(Mon) 12:05:23)

二次正方行列A,Bで
AB^2=B^2A
だが
AB≠BA
である例を教えて下さい

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51993 / ResNo.1)

　Re[1]: 二次正方行列

□投稿者/ X 一般人(6回)-(2022/10/24(Mon) 19:00:08)

B=M{(a,b),(c,d)}
とするとケーリー＝ハミルトンの定理により
B^2=(a+d)B-(ad-bc)E
(Eは単位行列)
これを
AB^2=(B^2)A
に代入すると
(a+d)AB-(ad-bc)A=(a+d)BA-(ad-bc)A
これより
(a+d)(AB-BA)=O
∴AB≠BAのときa+d=0

これを踏まえて例を考えると、例えば
A=M(1,1),(2,1)}
B=M{(1,1),(1,-1)}
のとき
AB=M{(2,0),(3,1)}
BA=M{(3,2),(-1,0)}
∴AB≠BA

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51994 / ResNo.2)

　Re[2]: 二次正方行列

□投稿者/ はへほ一般人(2回)-(2022/10/25(Tue) 10:26:10)

ありがとうございます
納得しました

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

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■51959 / 親記事)

　確率

□投稿者/ ピザ一般人(1回)-(2022/10/05(Wed) 11:11:08)

箱の中に1から8の整数が書かれた8個のボールがあり、
2個取り出して、2個の玉に書かれた|整数の差|が1であればその2個は捨て、
|整数の差|が1より大きければ2個とも箱に戻す、という行動を繰り返す。
n回行動をし終えた時点で箱が空になる確率を求めよ。

この問題が解けないので教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■51978 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/10/12(Wed) 18:54:03)

求める確率をP[n]とします。

ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
R[8,6]=4/(8C2)=1/7
R[6,4]=3/(6C2)=1/5
R[4,2]=2/(4C2)=1/3
R[2,0]=1
∴箱の中の玉の個数が
l回目の行動の前後で8個から6個に
l+m回目の行動の前後で6個から4個に
なり、
n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
である確率をQ[n,l,m]とすると
Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
=(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n

よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
q[n]=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l]Q[n,l,m]
=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
=(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1～n-l](6/5)^(m-1)
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
=(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)

∴
(i)n≧4のとき
P[n]=R[4,2]q[n-2]
=(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
(ii)n=1,2,3のとき
箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
P[n]=0
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51982 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ ピザ一般人(2回)-(2022/10/14(Fri) 10:36:45)

有り難うございます。
感激です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51984 / ResNo.3)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ nacky 一般人(1回)-(2022/10/18(Tue) 11:26:05)

■No51978に返信(Xさんの記事)
> 求める確率をP[n]とします。
>
> ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
> k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
> R[8,6]=4/(8C2)=1/7
> R[6,4]=3/(6C2)=1/5
> R[4,2]=2/(4C2)=1/3
> R[2,0]=1
> ∴箱の中の玉の個数が
> l回目の行動の前後で8個から6個に
> l+m回目の行動の前後で6個から4個に
> なり、
> n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
> である確率をQ[n,l,m]とすると
> Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
> ={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
> =(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
>
> よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
> q[n]=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l]Q[n,l,m]
> =Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
> =(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1～n-l](6/5)^(m-1)
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
> ={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
> =(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)
>
> ∴
> (i)n≧4のとき
> P[n]=R[4,2]q[n-2]
> =(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
> (ii)n=1,2,3のとき
> 箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
> P[n]=0
> (もっと簡単な方法があるかもしれません。)

1回目に (2,3) が取り出された場合,1 が今後取り出されることがなくなるので箱からすべての玉が取り出されることがなくなります。
この計算では個数のみを気にしていて取り出され方が加味されていないようなので先の例が起こることが加味されていません。
おそらくこの計算よりさらに複雑になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51989 / ResNo.4)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/10/20(Thu) 18:17:48)

＞＞nackyさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞ピザさんへ
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
nackyさんの仰る通りです。
私の回答は無視して下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51983 / 親記事)

　行列のノルム

□投稿者/ 学生一般人(1回)-(2022/10/17(Mon) 17:50:00)

sup(v≠0）|Av|/|v|=sup(|v|=1)|Av|
Aを複素数成分のk次正方行列とする
vは数ベクトル空間C^kを動く
これの証明をx=y⇄x<=yかつy<=xのような形の証明を教えてください

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51985 / ResNo.1)

　Re[1]: 行列のノルム

□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2022/10/18(Tue) 11:40:49)

まず実数からなる集合 $2$S,T$ が $2$S\subset T$ となっているとき $2$\sup S\leq\sup T$ が成り立つので
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}\geq \sup_{|v|=1}\frac{|Av|}{|v|}=\sup_{|v|=1}|Av|$
が成り立つ.

また $2$e>0$ を任意にとると上限の定義よりある $2$w\ne 0$ について
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}-e<\frac{|Aw|}{|w|}$
が成り立つ. ここで $2$u=\frac w{|w|}$ とおくと $2$|u|=1$ であり
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}-e<\frac{|Aw|}{|w|}=|Au|\leq\sup_{|v|=1}|Av|$
が成り立つ. $2$e>0$ は任意だったので $2$e\to 0$ と極限をとると
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}\leq\sup_{|v|=1}|Av|$
が得られる.

ちなみにですが実際は
$2$\left\{\frac{|Av|}{|v|}\middle|v\ne 0\right}=\{|Av|\ \mid\ |v|=1\}$
であることから求める等式は得られます.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51986 / ResNo.2)

　Re[2]: 行列のノルム

□投稿者/ 学生一般人(2回)-(2022/10/18(Tue) 12:28:20)

解答ありがとうございます。
とても理解しやすかったです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51979 / 親記事)

　不定積分

□投稿者/ 積分一般人(1回)-(2022/10/13(Thu) 12:42:40)

∫dx/√(x-√(x^2-1))を教えて下さい

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51980 / ResNo.1)

　Re[1]: 不定積分

□投稿者/ らすかる一般人(9回)-(2022/10/13(Thu) 14:21:12)

t=√(x-√(x^2-1))とおくと
x=(t^4+1)/(2t^2)
dx=(t^4-1)/t^3 dt
となるので
∫dx/√(x-√(x^2-1))
=∫(t^4-1)/t^4 dt
=t+1/(3t^3)+C
=√(x-√(x^2-1))+1/{3(x-√(x^2-1))^(3/2)}+C

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51981 / ResNo.2)

　Re[2]: 不定積分

□投稿者/ 積分一般人(2回)-(2022/10/13(Thu) 15:13:24)

なるほど…
このように大胆に置換すればよかったわけですか

ありがとうございました

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51975 / 親記事)

　解析学

□投稿者/ 数学を勉強する者一般人(1回)-(2022/10/11(Tue) 15:22:20)

(1-z)^(-k-1)=Σ（n=k→∞）（n,k)z^(n-k)
(n,k)は二項係数
kは0以上の整数で、開円板B(0;1)で成り立つことの証明を教えてください。