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□投稿者/ +1 一般人(1回)-(2021/06/03(Thu) 16:14:39)
 | 素数p,q,rでp+1,q+1,r+1が等比数列となる
ものをp<q<r<100の範囲で全て求めよ。
教えて下さい。
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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
| ■50815 / ResNo.2) |
Re[2]: 素数
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□投稿者/ +1 一般人(2回)-(2021/06/03(Thu) 18:06:38)
| 公比が整数だとなぜ分かりますか？
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| ■50816 / ResNo.3) |
Re[3]: 素数
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□投稿者/ らすかる 付き人(54回)-(2021/06/03(Thu) 19:11:53)
| ごめんなさい、勝手に整数と思い込んでいました。
整数でない場合は公比をu/v（uとvは互いに素でv≧2）とすると
p+1はv^2の倍数でなければならないのでv≦10
v=10のときp=99となり不適
v=9のときp=80となり不適
v=8のときp=63となり不適
v=7のときp=48,97となり不適（∵97より大きい100未満の素数はない）
v=6のときp=35,71となりp=35は不適
p=71のとき(p+1)/v=12なのでu=7（∵u=8はvと互いに素でない）
このときq=(71+1)×(7/6)-1=83, r=(83+1)×(7/6)-1=97となり
(p,q,r)=(71,83,97)は解
v=5のときp=24,49,74,99となり不適
v=4のときp=15,31,47,63,79,95となりこのうち素数は31,47,79
p=31のとき(p+1)/v=8なのでu=5,7,9,11（∵偶数はvと互いに素でない）
u=5,7,9,11のとき順に
q=39,55,71,87となりこのうち素数は71
しかしr=(71+1)×(9/4)-1＞100となり不適
p=47のとき(p+1)/v=12なのでu=5,7（∵6,8はvと互いに素でない）
u=5,7のとき順にq=59,83となり両方とも素数
q=59のとき(q+1)×(5/4)-1=74となり不適
q=83のとき(q+1)×(7/4)-1＞100となり不適
p=79のとき(p+1)/v=20なのでu=5
しかしq=(79+1)×(5/4)-1=99なので不適
v=3のときp=8,17,26,35,44,53,62,71,80,89,98となりこのうち素数は17,53,71,89
p=17のとき(p+1)/v=6なのでu=4,5,7,8,10,11,13,14,16
このとき順にq=23,29,41,47,59,65,77,83,95となりこのうち素数は23,29,41,47,59,83
q=23のときr=(q+1)×(4/3)-1=31で適
q=29のときr=(q+1)×(5/3)-1=49で不適
q=41のときr=(q+1)×(7/3)-1=97で適
q≧47のときr≧100となり不適
よって(p,q,r)=(17,23,31),(17,41,97)が解
v=2のときpは8n-1型の素数なのでp=7,23,31,47,71,79
（8n-5型の素数のときr=(8n-5+1){(奇数)/2}^2-1が偶数になるので不適）
p=7のとき(p+1)/v=4,√{100/(p+1)}＜4なのでuは3以上7以下の奇数
u=3,5,7のとき順にq=11,19,27となり素数は11,19
q=11のときr=(q+1)×(3/2)-1=17で適
q=19のときr=(q+1)×(5/2)-1=49で不適
よって(p,q,r)=(7,11,17)が解
p=23のとき(p+1)/v=12,√{100/(p+1)}＜5/2なのでu=3
このときq=35となり不適
p=31のとき同様にu=3
このとき(p,q,r)=(31,47,71)となり適
p≧47のときr≧47×(3/2)^2＞100となり不適
従って公比が整数でないときの解は
(p,q,r)=(71,83,97),(17,23,31),(17,41,97),(7,11,17),(31,47,71)
なので、整数のときの解と合わせて昇順に並べると
(p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
(11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)
# 見落としなどあるかも知れませんので、内容はご確認下さい。
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| ■50817 / ResNo.4) |
Re[4]: 素数
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□投稿者/ +1 一般人(3回)-(2021/06/03(Thu) 21:37:50)
| ありがどうございました
色々な点でとても参考になりました
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| ■50818 / ResNo.5) |
Re[5]: 素数
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□投稿者/ らすかる 付き人(55回)-(2021/06/03(Thu) 22:33:34)
| 全く違う方法でも解いてみました。
100までの素数は
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
全部1足すと
3,4,6,8,12,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,54,60,62,68,72,74,80,84,90,98
素因数分解すると
3=3
4=2^2
6=2*3
8=2^3
12=2^2*3
14=2*7
18=2*3^2
20=2^2*5
24=2^3*3
30=2*3*5
32=2^5
38=2*19
42=2*3*7
44=2^2*11
48=2^4*3
54=2*3^3
60=2^2*3*5
62=2*31
68=2^2*17
72=2^3*3^2
74=2*37
80=2^4*5
84=2^2*3*7
90=2*3^2*5
98=2*7^2
2乗以上がない素因数(5,11,17,19,31,37)を含む数は、
同じ素因数を持つもの同士でしか等比数列をなし得ない。
素因数11,17,19,31,37を含むものは1個ずつしかないため、
38,44,62,68,74が等比数列に使われることはない。
素因数5を含むものは
20=2^2*5
30=2*3*5
60=2^2*3*5
80=2^4*5
90=2*3^2*5
の5個
このうち素因数3を含まないものと1個だけ含むものはそれぞれ2個しかなく、
3^2を含むものが90しかないため、自動的にr=90と決まる。
しかしqを素因数3を1個含む30,60のどちらにしてもpが存在せず不適。
よって素因数5を含む数の等比数列は存在しない。
素因数7を含むものは
14=2*7
42=2*3*7
84=2^2*3*7
98=2*7^2
の4個
3^1を含むものが2個、3を含まないものが2個なので
この4個の中だけで等比数列をなすことはないが、
7^0の項を追加すると等比数列をなす可能性がある。
一つは2*7^2と決まり、
もう一つを2*7とすると残りは2となり存在しない
もう一つを2*3*7とすると残りは2*3^2となり
(2*3^2,2*3*7,2*7^2)→(18,42,98)→(17,41,97)が適解
もう一つを2^2*3*7とすると残りは2^3*3^2となり
(2^3*3^2,2^2*3*7,2*7^2)→(72,84,98)→(71,83,97)が適解
残りは
3=3
4=2^2
6=2*3
8=2^3
12=2^2*3
18=2*3^2
24=2^3*3
32=2^5
48=2^4*3
54=2*3^3
72=2^3*3^2
の11個で素因数はすべて2と3
素因数の個数で表を作ると
□○①②③④⑤←2^n
○□□■■□■
①■■■■■□
②□■□■□□
③□■□□□□
↑
3^n
この表で3つが等間隔で直線上に並んでいるものは
横
3,2*3,2^2*3 → 3,6,12 → 2,5,11
3,2^2*3,2^4*3 → 3,12,48 → 2,11,47
2*3,2^2*3,2^3*3 → 6,12,24 → 5,11,23
2^2*3,2^3*3,2^4*3 → 12,24,48 → 11,23,47
縦
2*3,2*3^2,2*3^3 → 6,18,54 → 5,17,53
2^3,2^3*3,2^3*3^2 → 8,24,72 → 7,23,71
斜め45°
2^3,2^2*3,2*3^2 → 8,12,18 → 7,11,17
2^5,2^4*3,2^3*3^2 → 32,48,72 → 31,47,71
他の向き
2*3^2,2^3*3,2^5 → 18,24,32 → 17,23,31
従って解は以前と同じく
(p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
(11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)
の11個。
# 全く違う方法で同じ答えが得られましたので、
# おそらく合っていると思います。
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| ■50819 / ResNo.6) |
Re[6]: 素数
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□投稿者/ +1 一般人(4回)-(2021/06/07(Mon) 09:18:52)
| 遅くなってすみません。
ありがとうございました
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解決済み! |
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