数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 87]

数学ナビゲーター掲示板

★ google検索	★ 掲示板備え付けのログ検索
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。	検索条件: 現在のログを検索過去のログを検索

■ 2006/2/20より、累計：

、本日：

、昨日：

■ 数式の記述方法
■TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
■ 携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは

で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは

で表示されます。

投稿順

レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

高校数学期待値の問題です(2) |

二項係数(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

ζ関数(0) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(0) |

確率(2) |

約数の個数(5) |

52545の「約数の個数」の式変形について(4) |

体(3) |

約数(0) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

■50476 / 親記事)

　1/(z^2-1) を z = 1 でローラン展開する。

□投稿者/ Megumi 一般人(1回)-(2020/08/25(Tue) 20:18:57)

　　1/(z^2-1) = 1/(z-1)*1/(z+1)
　　1/(z+1) = 1/(z-1+2) = (1/2)( 1/(1+(z-1)/2) )
　ここからなんとかして 1/(z+1) を (z-1)^n で表したいのですが、行き詰まってしまいました。
　どうしたらいいでしょ？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50477 / ResNo.1)

　Re[1]: 1/(z^2-1) を z = 1 でローラン展開する。

□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2020/08/25(Tue) 21:32:11)

1/(1+(z-1)/2) = 1-(z-1)/2+((z-1)/2)^2-((z-1)/2)^3+・・・ = Σ[k=0,∞]{(-(z-1)/2)^k}
だから、
1/(z^2-1) = (1/(z-1))(1/2)(1/(1+(z-1)/2)) = Σ[k=0,∞]{((1/2)^(k+1))((-1)^k)((z-1)^(k-1))}
だと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50478 / ResNo.2)

　Re[2]: 1/(z^2-1) を z = 1 でローラン展開する。

□投稿者/ Megumi 一般人(2回)-(2020/08/25(Tue) 22:04:50)

　ありがとうございました。助かりました！

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50473 / 親記事)

　無限等比級数について

□投稿者/ あすなろ一般人(1回)-(2020/08/25(Tue) 11:45:35)

　変な質問ですみませんが、等比数列の和を教科書のスタイルと違って

　　 rS_[n] =　　 ar + ar^2 + ･･･････ + ar^(n-1) + ar^n
　　 -S_[n] = a + ar + ar^2 + ･･･････ + ar^(n-1)
　　-----------------------------------------------------
　　(r-1)S_[n] = ar^n - a = a(r^n-1)
　　S_[n] = a(r^n-1)/(r-1)
　　　　　= ar^n/(r-1) - a/(r-1)

としたときも、無限等比級数は |r| < 1 のとき
　　- a/(r-1) = a/(1-r)
に収束すると考えていいのですよね？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50474 / ResNo.1)

　Re[1]: 無限等比級数について

□投稿者/ らすかる一般人(9回)-(2020/08/25(Tue) 12:53:58)

どのように導き出すかとは関係なくa(1-r)に収束します。
もちろんそのように導き出しても問題ありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50475 / ResNo.2)

　Re[2]: 無限等比級数について

□投稿者/ あすなろ一般人(2回)-(2020/08/25(Tue) 19:41:14)

　回答まことにありがとうございました。安心しました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50470 / 親記事)

　cosの不等式

□投稿者/ 高校数学を忘れた人一般人(1回)-(2020/08/23(Sun) 12:00:02)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50471 / ResNo.1)

　Re[1]: cosの不等式

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2020/08/23(Sun) 13:55:27)

f(x)=|cosx|, g(x)=|cos2x|, h(x)=|cos4x|とする。
f(x)の周期はπ、g(x)の周期はπ/2、h(x)の周期はπ/4であり、
f(π-x)=f(x), g(π-x)=g(x), h(π-x)=h(x)だから、
0≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)＞1を言えば十分。
また、g(π/2-x)=g(x), h(π/2-x)=h(x)であり
f(x)は0≦x≦π/2で狭義減少だから、
π/4≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)＞1を言えば十分。
この範囲の符号はf(x)≧0, g(x)≦0,
π/4≦x＜3π/8でh(x)＜0, 3π/8≦x≦π/2でh(x)≧0だから
f(x)+g(x)+h(x)は
π/4≦x＜3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x-cos4x
3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x+cos4x
cosx=tとおくとcos2x=2t^2-1, cos4x=8t^4-8t^2+1だから
π/4≦x＜3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2

π/4≦x＜3π/8の場合
cosxはπ/4≦x＜3π/8で減少関数であり
cos(π/4)=√2/2＜3/4, cos(3π/8)=√(2-√2)/2＞3/8なので3/8＜t＜3/4
このとき
f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
=(3/4-t){8(t-3/8)^3+15(t-3/8)^2+(51/8)(t-3/8)}+(91/64)(t-3/8)+543/512＞1

3π/8≦x≦π/2の場合
cosxは3π/8≦x≦π/2で減少関数であり
cos(3π/8)=√(2-√2)/2＜2/5, cos(π/2)=0なので0≦t＜2/5
このとき
f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
=8(2/5-t)^2(5t+4)t/5+(2/5-t)(770t+311)/125+628/625＞1

従ってf(x)+g(x)+h(x)＞1は常に成り立つ。

# もう少しうまい方法がありそうな気がしますが、思いつきませんでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50472 / ResNo.2)

　Re[2]: cosの不等式

□投稿者/ 高校数学を忘れた人一般人(2回)-(2020/08/23(Sun) 15:28:04)

凄過ぎる解答をこんなにも早くありがとうございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50468 / 親記事)

　品質の服

□投稿者/ www.iwgoods.com/buranndo-108-c0/ 一般人(1回)-(2020/08/19(Wed) 12:19:05)

品質の服www.iwgoods.com/buranndo-108-c0/

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / ▲上のスレッド

■50458 / 親記事)

　複素平面上の円

□投稿者/ なたり一般人(2回)-(2020/08/15(Sat) 11:48:57)

$2$ \left| z-(2+i) \right| = 3$
から
$2$ \left| z + \frac{\triangle}{\triangle} \left( \triangle + i \right) \right| = \frac{\triangle}{ \sqrt{ \triangle}} \left| z \right|$
へ同値変形するのに大変てまどっています。
教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50462 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素平面上の円

□投稿者/ X 一般人(7回)-(2020/08/16(Sun) 00:27:23)

以下、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

|z-(2+i)|=3 (A)
が
|z+b(c+i)|=a|z| (B)
(a,b,cは実数、a＞0)
の形に同値変形できるとします。
(B)より
|z+b(c+i)|^2=(a|z|)^2
{z+b(c+i)}・\{z+b(c+i)}=(a|z|)^2
{z+b(c+i)}・{\z+b(c-i)}=(a|z|)^2
|z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+c^2+1=(a|z|)^2
(1-a^2)|z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+(c^2+1)b^2=0 (B)'
一方（A)から同様にして
|z|^2-(2-i)z-(2+i)\z-4=0 (A)'
(A)'(B)が等価なので、係数について
b(c-i)/(1-a^2)=-2+i (C)
b(c+i)/(1-a^2)=-2-i (D)
{(c^2+1)b^2}/(1-a^2)=-4 (E)
(C)(D)において複素数の相等の定義により
bc/(1-a^2)=-2 (F)
b/(1-a^2)=-1 (G)
(F)÷(G)より
c=2
これを(E)に代入して
(b^2)/(1-a^2)=-4/5 (E)'
(E)'÷(G)より
b=4/5
これを(G)に代入して
a=3/√5

以上から(A)は
|z+(4/5)(2+i)|=(3/√5)|z|
に同値変形できます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50467 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素平面上の円

□投稿者/ なたり一般人(3回)-(2020/08/17(Mon) 07:21:18)

手際よい変形の仕方そのものを教えていただき有難うございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

＜前のスレッド5件 | 次のスレッド5件＞

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター