| ■50415 / ResNo.1) |
Re[1]: 無限和
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□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2020/07/21(Tue) 19:12:47)
 | s(x) = Σ[n=0, ∞]{x^(3n)} とおくと、等比級数の和より
s(x) = lim[n→∞]{(1-x^(3(n+1)))/(1-x^3)} です。
よって、|x| < 1 ならば、s(x) = 1/(1-x^3) となります。
F(x) = ∫s(x)dx = Σ[n=0, ∞]{(x^(3n+1))/(3n+1)} とおきます。
すると、求める無限和の値は -lim[x→-1]F(x) となります。
F(x) = ∫{1/(1-x^3)}dx
= (1/3)∫{1/(1-x)+(2+x)/(1+x+x^2)}dx
= (1/3)∫{1/(1-x)}dx+(1/3)∫{((1/2)(1+2x)+(3/2))/(1+x+x^2)}dx
= -(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/2)∫{1/(3/4+(x+1/2)^2)}dx
x+1/2 = ((√3)/2)u とおくと、dx = ((√3)/2)du なので、上記最後の積分は
(1/2)∫{1/(((√3)/2)^2+((√3)u/2)^2)}((√3)/2)du
= (1/√3)∫{1/(1+u^2)}du
= (1/√3)arctan(u)
= (1/√3)arctan((2x+1)/√3)
よって、
-lim[x→-1]F(x)
= -lim[x→-1]{-(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/√3)arctan((2x+1)/√3)}
= (1/3)log(|(-1)-1|)-(1/6)log(|1+(-1)+(-1)^2|)-(1/√3)arctan((2*(-1)+1)/√3)
= (1/3)log(2)-(1/6)log(1)-(1/√3)arctan(-1/√3)
= (1/3)log(2)+(1/√3)(π/6)
計算間違いしているかも知れませんので、スレ主さんの方でよく検算してみてください。
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高校数学 期待値の問題です(2)
